「堀田良之著 代数入門ー群と加群ーのp68の定理12.1にて単因子の一意性が
示されているが、定理12.3（PID上の有限生成加群の構造定理）の一意性の証明に、
定理12.1の一意性ではなく、別の証明方法で一意性が示されている。
定理12.1の一意性が定理12.3の一意性の証明に使えない理由は何ですか？」
という質問がありました。

これに対して
「定理12.1の一意性は行列Fが与えられた時のもの。
一方、定理12.3の証明中に
「f：R^n → R^mを自然な基底で表示した行列をF∈Mm,n(R)とおく。」とあるが、
このFが一つに決まることは示されてない。
証明でMの生成系をx1,x2,..,xm としているが、生成系の取り方は１つだけではなく、
生成系が変わればgも変わる。Kergの生成系の取り方も１つだけでなく、
それによってfも変わり、それによってFも変わるから。」という回答がありました。
この回答は基本的に正しいと考えてよいでしょうか？