d ∈ R[x] が d | q を満たすとする。

q = d * d' (d' ∈ R[x]）と書ける。

以下で、 d, d' がともに単元でないとして矛盾を導く。

(1) d, d' の次数がともに1以上の場合。

K[x] の単元全体の集合は K - {0} であるから、 d, d' は K[x] の単元ではない。
よって、 q = d * d' は K[x] において既約ではない。これは q についての仮定に反する。

(2) d, d' のどちらかが R の元である場合。

q は 1次以上の多項式であるから、 d, d' の片方は R の元であり、他方は1次以上の多項式である。
d, d' のうち R の元であるほうを a とし、1次以上の多項式であるほうを b とする。

q は原始多項式であるから、 a は単元でなければならない。
これは矛盾である。