斎藤毅著『線形代数の世界』

定義1.4.1

V を K 線形空間とする。 W が V の K 部分空間（subspace）であるとは、 W が V の部分集合であって、次の条件をみたすことである。

(1) W の任意の元 x, y に対し、 x + y も W の元である。
(2) K の任意の元 a と W の任意の元 x に対し、 a*x も W の元である。
(3) V の零元 0 は W の元である。

空集合は条件(1)と(2)をみたすが、(3)をみたさない。

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「{} の任意の元 x, y に対し、 x + y も {} の元である。」という文があったとします。

これだけ見ると、「+」って何？という話になると思います。


{} ⊂ V と考えると、

「{} の任意の元 x, y に対し、 x + y も {} の元である。」の「+」は V での加法演算のことなので、問題ないと思います。


空集合 {} は一つしかないわけですが、それを V の部分集合と考えると「{} の任意の元 x, y に対し、 x + y も {} の元である。」が意味をなしますが、
空集合 {} を {バナナ, りんご, いちど} の部分集合と考えると「{} の任意の元 x, y に対し、 x + y も {} の元である。」は意味をなしませんよね？

このあたりはどのように考えたら良いのでしょうか？