大学学部レベル質問スレ 17単位目

g を G の任意の元とする。

f_P は全射だから、 f(g) = f_P(p) となるような P の元 p が存在する。

よって、 f(g) = f_P(p) = f(p) より、 f(g - p) = 0 だから、

g - p ∈ N

g- p = n for some n ∈ N

以上より、 G = P + N が成り立つことが分かった。

x ∈ P ∩ N とする。

f_P(x) = f(x) = 0

f_P は単射だから、 x = 0

∴ P ∩ N = {0}

∴ G = P (+) N