石田信著『代数学入門』

「
しかし、 R が単位元をもつ環であっても、部分環 S は必ずしも単位元をもつとはかぎらない（例3参照）。
また部分環 S が単位元（≠ 0）をもっていても、それが R の単位元であるとはかぎらない（問5）。
」

この注意は必要ですよね。

松坂和夫著『代数系入門』では、単位元をもつ環のことを環と定義しています。
『代数系入門』での群 G の部分群の定義は、それ自身群になるような G の部分集合というものです。
部分環は、それ自身環になるような R の部分集合のこととは定義していません。
部分環とは、それ自身環になるような R の部分集合で、 R の単位元を含むものという定義です。

この定義は、

「また部分環 S が単位元（≠ 0）をもっていても、それが R の単位元であるとはかぎらない（問5）。」

↑のような S を部分環から排除したいためだと思いますが、このような例について『代数系入門』には記述がありません。

松坂和夫さんは一体何を考えていたのしょうか？

このような例は必ず書かなければならないものだと思います。