小平邦彦著『解析入門』

ψ(x) = 0 if x ≦ 0
ψ(x) = e^{-1/x} if x > 0

という関数が C^∞ 級ではあるが、実解析的ではない例として登場します。

もちろん、 C^∞ 級の関数なので、任意の n に対して、Taylorの公式

ψ(x) = (ψ^(n)(ξ) / n!) * x^n

が成り立ちます。

x > 0 とすると、

ψ(x) = (ψ^(n)(ξ) / n!) * x^n、 0 < ξ < x

です。

n → ∞ のとき、 (ψ^(n)(ξ) / n!) * x^n → 0 とならない。

当たり前のことが書いてあります。