積分核はu∈(0,1),x∈[0,1]で
√(1-x^2u)/(√u√(1-u)(1+x√u)
≦1/(2√u(1-u))
を満たし、よってx∈[0,1]で一様に可積分だからDCTよりRHSはx∈[0,1]の連続関数でありx=1のとき
∫[0,1](1-√u)/(√u(1-u)du = 2log2
である
よって
f(x)
=2K(x)/K'(x)+log(1-√x)/K'(x)+log(1+√x)/K'(x)
=2K(x)/K'(x)+log(1-x)/K'(x)
も(0,1]で連続でありf(1)=log(64)/πである(∵K'(x)=K(√(1-x^2))は(0,1]で連続、正値、K'(1)=K(0)=π/2)
ここにx=a[n]を代入
f(a[n])
= 2K(a[n])/K'(a[n])+log(1+a[n])
= 2K(a[0])/K'(a[1])×2^(n-1) + log(1+a[n])
はa[n]→1よりlog(64)/πに収束する
よって
lim log(1+a[n])/2^n = - K(a[1])/K'(a[1]) = -1
である