>>5
[0,1] = ∪Fi を空でない閉集合による可算無限の非交和とする
UiをFiの内点としGi=Fi＼Uiとする
X=∪Giとする
xをXの閉包の元とする
仮定よりx∈Fiとなるiがとれる
x∈UiならUi∩Gi=φ、Ui∩Gj⊂Fi∩Fj=φ(∀j≠i)によりUiがXと非交和な開近傍となって仮定に反する
よってx∈Giでなければならずx∈Xとなる
よってXは[0,1]の閉集合となるので完備である
しかしGiは構成から内点を持てないのでベールのカテゴリー定理に反して矛盾