よく見直してみたら、

＞ i ごとに lim[n→∞] ε_i(n)＝0 が成り立つので、

これだけだと、極限の入れ替えをやっても lim[n→∞] E(n)＝0 は示せないな。

lim[n→∞] (π√n)^{2i} ε_i(n) ＝ 0

まで言えてないとダメ。そこまで言えても、「形式的に極限を入れ替えれば lim[n→∞] E(n)＝0 」
が言えるだけであって、極限の入れ替えが本当に可能なのかは証明できてない。

ちなみに、ε_i(n) は 0 に行くオーダーがそんなによくないはずなので、
lim[n→∞] (π√n)^{2i} ε_i(n) ＝ 0 なんて言えないはず。
そうなると極限の入れ替え以前の問題なので、どのみち>>18の方針はかなり無理ゲーに見える。