たとえば、もし

ε_i(n) ＝ (−1)^{i−1} (1/n^2) ＋1 / n

だったとすると、iごとに lim[n→∞] ε_i(n) ＝ 0 が成り立っている。
さらに、ε_i(n)≧0 すら成り立っている。しかし、

Σ[i＝1〜∞] ((−1)^{i−1} (π√n)^{2i} / (2i−1)！) ε_i(n)

＝ (1/n^2)Σ[i＝1〜∞] (π√n)^{2i} / (2i−1)！

＋(1/n)Σ[i＝1〜∞] (−1)^{i−1} (π√n)^{2i} / (2i−1)！

＝ (π/(n√n)) Σ[i＝1〜∞] (π√n)^{2i−1} / (2i−1)！

＋(π/√n) Σ[i＝1〜∞] (−1)^{i−1} (π√n)^{2i−1} / (2i−1)！

＝ (π/(n√n)) (e^{π√n}−e^{−π√n}) / 2 ＋ (π/√n) sin(π√n)

→ ＋∞

なので、lim[n→∞] E(n) ＝ 0 どころか lim[n→∞] E(n) ＝ ＋∞ になっている。
こういうことが起きてないことを全く証明できてないのに「納得がいく」はあり得ない。