前スレの>>909
総和の各項をマクローリン展開して、同じ次数の項の和をとる
S_n = 納k=1,n]sin(π√k) /√n
=納k=1,n]{π√k -(1/3!)(π√k)^3 +(1/5!)(π√k)^5...}/√n
={納k=1,n]π√k - (1/3!)納k=1,n](π√k)^3 +(1/5!)納k=1,n](π√k)^5+...}/√n
=n (1/n)(π√(k/n)) - (1/3!)n^2(1/n)(π√(k/n))^3 + (1/5!)n^3(1/n)(π√(k/n))^5-...
n→∞で
S_n → πn∫[0→1]x^(1/2)dx - (1/3!)π^3n^2∫[0→1]x^(3/2)dx +(1/5!)π^5n^3∫[0→1]x^(5/2)dx-...
= (1/π)(π√n)^2・(2/3) - (1/3!)(1/π)(π√n)^4・(2/5) + (1/5!)(1/π)(π√n)^6・(2/7) -...
= (2/π)(1/2!)(π√n)^2・(1-1/3) - (2/π)(1/4!)(π√n)^4・(1-1/5) - (2/π)(1/6!)(π√n)^6・(1-1/7)..
　　= (2/π){ -1 + (1/2!)(π√n)^2 - (1/4!)(π√n)^4 + (1/6!)(π√n)^6 -...}
+(2/π)(1/π)(1/√n)){ π√n - (1/3!)(π√n)^3 +(1/5!)(π√n)^5 -(1/7!)(π√n)^7 +...}
= -(2/π)cos(π√n) + (2/π)(1/π)(1/√n)sin(π√n)
　　= -(2/π)cos(π√n)

n1=(2m)^2, n2=(2m+1)^2 とすれば、m→∞でS_n1→-2/π, S_n2→2/πとなり、S_n1〜S_n2はこの間の値をとる。
またn→∞でS_n - S_(n-1) = sin(π√n)/√n - (1 -√(n-1))/√n)・S_(n-1) →0となり、有限の隙間は生じない。