>>537
>定義域がコンパクトなんだから最大が存在するから始めて隅っこにこない限り最大にはなれない事だけ確認すれば良いだけの問題
>しかし高校数学ではこの論法は使えない

ふーん、そういうもんなの。俺は数学科出てないからわからんけど。

高校生にわかるように、まずは境界上（辺上）の点で考えればいいことを示すには、次のような感じになるのかな？

正方形内に３点A,B,Cをとる。正方形の辺に一番近いところにある点をAとして、Aがその辺に接するまで、Aからその辺への垂線の方向に３点を平行移動してA',B',C'とすると、B',C'は正方形内か辺上にある。続いて、A'を中心としてB',C'のいずれかが正方形の辺に接するまで同じ角度だけ回転させる。接した点をB''とするれば、C''は正方形の内部か辺上にあるが、内部にある場合、C''を通りA'B''に下ろした垂線を反対側に延長した直線と正方形の辺が交わる点をDとすれば、A'D>AC, B''D>BCとなる。
したがって、正方形の内部のいかなる３点をとっても、その間の距離がいずれも同じか上回るような３点を正方形の辺上にとることができる。
つまり、正方形内部の３点の距離をすべて一定の値より大きくはとれないことを示すには、辺上の点に限定して示せればよいことになる。
めんどくさいわーｗ