なので、しきり直し。

-1≦x≦1の範囲にあるxを固定して、aを変化させることを考えると、曲線上の点は
|x|≦a≦1を満たすaにおいてのみ題意を満たす部分を構成する。このとき、
f(x)=x^3 - a^2(3x-1) より、f(x)の値はg(x)=x^3-|x|^2(3x-1)からh(x)=x^3 -(3x-1) までのすべての値をとるので、
求める面積=∫[-1,1] |h(x)-g(x)|dx
=∫[-1,1] |-(3x-1)+x^2(3x-1)|dx
=∫[-1,1] |(x+1)(x-1)(3x-1)|dx
=∫[-1,1/3] (3x^3-x^2-3x-1)dx -∫[1/3,1] (3x^3-x^2-3x-1)dx

で、>>580の結果と同じになるね。
ファクシミリの原理って何？