>>5
そのやり方はダメ。(1/n)Σ[k＝1〜n] √(k/n) や (1/n)Σ[k＝1〜n] (√(k/n))^3 などは、
n→∞ のとき確かに積分に近づいていくが、

ε_i(n) ＝ (1/n)Σ[k＝1〜n] (√(k/n))^{2i−1}−∫[0,1] (√x)^{2i−1}dx (i≧1)

と厳密に誤差項を定義してから厳密に計算すると

S_n ＝ −(2/π)cos(π√n) ＋ 2(sin(π√n)−1) / (π^2√n) ＋ E(n),

E(n) ＝ (2/π) ＋ (1/π)Σ[i＝1〜∞] ((−1)^{i−1} (π√n)^{2i} / (2i−1)！) ε_i(n)

となって、E_n が n→∞ のときに良い振る舞いをすることが証明できない。
ε_i(n) をそれぞれオイラーの和公式で表現し直せば何とかなる可能性はあるが、
それなら最初から前スレのオイラーの和公式で終わる話。