Σ[k＝1〜n] sin(u(k)) とか Σ[k＝1〜n] e^{i * u(k)} という和は
exponential sum と呼ばれていて、これ単独で1つの小さな分野に
なってるくらいには奥が深い。

この手の和は条件収束はするかもしれないが絶対収束はしないので、
「各項の正負が絶妙に絡み合って高度な打消し合いが起こる」という状況を
いかに精密に計算できるかがポイント。当然ながら難しいわけで、
一般論としては、やはりオイラーの和公式が基本となり、そのあとさらに
stationary phase method とか Van der Corput's method とか
マニアックな手法が使われる。オイラーの和公式が基本となる理由は明らかで、
そもそもオイラーの和公式自体が「正負の打ち消し合い」を巧妙な部分積分によって
最初から組み込んでいるから。

素数定理に対応した exponential sum を深く解析すると、
素数定理の剰余項の割とシャープな結果が得られたりするので、
この分野はマニアックではあるが無視はできない。