大学学部レベル質問スレ 18単位目

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dote ra.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

関連スレ
分からない問題はここに書いてね478
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1511604229/

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 17単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1637449244/

分からない問題はここに書いてねスレは現行落ちてるようですが、
消すのもなんだったので、前スレ>>1に書いてたのをとりあえずそのまま書いてます

>>991
>排中律と矛盾律の区別すらつかんのかおまえら
排中律
P∨¬P
（君の言うところの）矛盾律
¬(P∧¬P)
古典論理ではどちらも真
特にドモルガンの法則で同値変形できる
直観主義論理では前者は真ではなく後者は真
開集合とその補集合の内包の合併集合は一般に全体集合でないけれども
開集合とその補集合の内包の共通部分の補集合の内包は必ず全体集合になるからね

同様に
排中律の否定¬(P∨¬P)は古典論理ではもちろん直観主義論理でも偽
開集合とその補集合の内包の合併集合の補集合の内包は空集合だからね

三角形の五心（重心、垂心等々）のどれについても、３本の直線が１点で交わるのが不思議でなりません。
なにか深い理由があるのでしょうか？（個々の場合がそうであるのはもちろん分かるのですが）

((A→B)∧(¬A→B))→Bは直観主義論理でも成り立つのかどうか、考えたけどわからなかった

((A→B)∧(¬A→B))→B
=¬((¬A∨B)∧(¬¬A∨B))∨B
=¬((¬A∧¬¬A)∨B)∨B
=¬(¬(A∨¬A)∨B)∨B
=¬B∨B
成立するとは言えません

>>5
現実を受け入れましょう

>>5
マルチポスト

アホ死ね！アホ死ね！アホ死ね！

>>9
先の１か所では全く回答が得られなかったので

>>8
当然既知の問題だろうと思うのですがどこにも答えがみつかりません。
もしわかれば教えてください。

>>11
>当然既知の問題だろうと思うのですが
問題にしている人を見たことありません

>>12
答えは自明だということでしょうか？
疑問が問題として成立していないということでしょうか？
それとも超難問ということでしょうか？（それはないと思いますが）

どこかで話題にされていることだと思うのですが。

>>13
1点で交わることが証明できるので証明されたわけです
その「意味」を考えるのは「意味」があるのかどうか

3本の直線が1点で交わるような点を五心って呼んでるだけだろ

もちろん「意味」を考えようとするのは「無意味」ではないかもしれません
面白い解釈・説明を思いついたら教えてください

でもこのスレでなくて
より適切なスレがあるかも

>>16
「意味」というより、むしろ「形式」に関する不思議さという感じです。

>>17
そうですね。たしかに迷ったのですが。
数学基礎論？あるいは？
でも、そんなに珍しい問いとも思えないのですが

>>18
>「意味」というより、むしろ「形式」に関する不思議さという感じです。
形式とは？

>>18
>でも、そんなに珍しい問いとも思えないのですが
１＋１＝２になるのは不思議ですと言っているように見えますよ

>>15で終わってる話だとは思うが
>>5はEncyclopedia of Triangle Centersでも眺めとけば

分野的には総合幾何学 (synthetic geometry) だろうが現代的にはドマイナーだろ
（>>18は一体どっから基礎論出てきた？

△ABCで点の名前を取り替えても引かれる直線は同じだから
3直線の交点は一般には3点あるけど
点の名前を入れ替えても変わらないから実は1点
こういうことを言わせたかったのか

999 返信：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2022/04/28(木) 21:40:27.83 ID:+gaZyQqp [1/2]
>>996
だからAさんが計算したらJordanの標準形がXになりました
Bさんが計算したらYになりました
そんな事が起こるのかでしょ？
もちろん答えは起こらない、なぜか、で紹介されてる話が
XとYが同じ行列Aと相似ならXとYも相似にならざるをえず、その場合任意の整数kに対してrank(X^k)とrank(Y^k)は一致しないといけないでしょ？

ありがとうございます。

齋藤正彦著『線型代数演習』の一意性の説明を見て、分かりました。

たぶんそういう攻め方では示せないと思うけれど
期待しているのはそういう「原理」？

>>24
そうそう

>>25
簡単な証明が欲しいと泣いても仕方ありませんよ

齋藤正彦著『齋藤正彦 線型代数学』

以下の命題が当然成り立つと書かれています。
証明してください。

-----------------------------------------------

T を有限次元ベクトル空間 V 上の線形変換とする。
α を T の固有値とする。
m を α の重複度とする。
W(α) を α に属する広義固有空間とする。

dim W(α) ≦ m

が成り立つ。

>>27

あ、分かりました。

>>27

あ、やっぱり分かりません。

証明してください。

jordan分解したら当たり前
つまりそもそも質問する時にjordan分解使っていいのかを明示しとかんと質問にならん

>>30

Jordan分解というのはそれ以前に出てきていませんので、使ってはいけません。

>>27

齋藤正彦さんが、この命題が成り立つのは「当然」と書いているのは、有限次元のベクトル空間が広義固有空間の直和に分解できるという定理の証明の中でです。

T を有限次元ベクトル空間 V 上の線形変換とする。 T の異なる固有値の全部を β_1, …, β_p, それらの重複度を m_1, …, m_p とする。

V = W(β_1) (+) W(β_2) (+) … (+) W(β_p)

が成り立つ。

齋藤さんは、 dim W(β_i) ≧ m_i のほうは証明しています。

そして、 W(β_1) + W(β_2) + … + W(β_p) が直和であることも証明しています。


ちょっと思ったのですが、有限次元のベクトル空間が広義固有空間の直和に分解できるという定理を証明するためには、

dim W(β_i) = m_i であることを証明する必要はなく、 dim W(β_i) ≧ m_i が証明できさえすれば充分ですよね？

dim [W(β_1) (+) W(β_2) (+) … (+) W(β_p)] = dim W(β_1) + dim W(β_2) + … + dim W(β_p) ≧ m_1 + m_2 + … + m_p = n

から、 dim [W(β_1) (+) W(β_2) (+) … (+) W(β_p)] = n が分かりますし、結果的に、 dim W(β_i) = m_i となることも分かります。

>>32

> 齋藤さんは、 dim W(β_i) ≧ m_i のほうは証明しています。
>
> そして、 W(β_1) + W(β_2) + … + W(β_p) が直和であることも証明しています。

この２つ証明しててまだ分からないならその本にで出せるレベルにないよ

dim W(β_i) = m_i

が成り立つことは

>>33

に書いた通り、分かります。

分からないのは、齋藤正彦さんが dim W(β_i) ≦ m_i が成り立つのは「当然」と書いたことです。

訂正します：

dim W(β_i) = m_i

が成り立つことは

>>32

に書いた通り、分かります。

分からないのは、齋藤正彦さんが dim W(β_i) ≦ m_i が成り立つのは「当然」と書いたことです。

その２つ証明できてれば“当然”
アホか

齋藤正彦さんの本には、このような意味不明な記述が沢山あります。

完成度が佐武一郎さんの本に比べてずっと低いと思います。

>>36

齋藤正彦さんの有限次元のベクトル空間が広義固有空間の直和に分解できるという定理の証明の流れを書きます。
それを読めば、齋藤正彦さんが「当然」と書いたことが奇妙であることが分かると思います。

(1) V_p = W(β_1) + W(β_2) + … + W(β_p) が直和であることを証明している。
(2) V = V_p であることを示せば良いと書き、そのためには dim W(β_i) = m_i を示せばよいと書いている。
(3) dim W(β_i) ≧ m_i を証明し、逆の不等式は当然だから、 dim W(β_i) = m_i が成り立つと書いている。

もし、この証明が上のように書かれていなくて、以下のようだったなら、何も奇妙なところはなかったことになります：

(1) V_p = W(β_1) + W(β_2) + … + W(β_p) が直和であることを証明する。
(2) V = V_p であることを示せば良い。そのためには dim W(β_i) ≧ m_i を示せばよい。
(3) dim W(β_i) ≧ m_i を証明する。

>>38

そして、結果的に

dim W(β_i) = m_i

が成り立つことも分かるということになります。

だからそんな事書かなくてもそのレベルの本が読めるレベルの人間なら当たり前だって言ってるんだよバーカ

>>40

では証明してください。
以下の証明以外の証明をお願いします。


dim [W(β_1) (+) W(β_2) (+) … (+) W(β_p)] = dim W(β_1) + dim W(β_2) + … + dim W(β_p) ≧ m_1 + m_2 + … + m_p = n
∴ dim [W(β_1) (+) W(β_2) (+) … (+) W(β_p)] = n
∴ dim W(β_i) = m_i

結論としては、

(1) V_p = W(β_1) + W(β_2) + … + W(β_p) が直和であることを証明する。
(2) V = V_p であることを示せば良い。そのためには dim W(β_i) ≧ m_i を示せばよい。
(3) dim W(β_i) ≧ m_i を証明する。

と証明を書くべきところを、齋藤正彦さんはきちんと書けなかったということになります。

>>42
確かにお前の言う通りだ

>>40はどうしようもねーな
明らかで済んだら教科書は要らない

V = ⊕W(βᵢ)であるからn = ΣdimW(βᵢ)
miが多重度の全体だから n = Σmi
dimW(βᵢ)≧mi
∴ dimW(βᵢ)=mi (∀i)
バーカ

>>38
>(1) V_p = W(β_1) + W(β_2) + … + W(β_p) が直和であることを証明している。
>(2) V = V_p であることを示せば良いと書き、そのためには dim W(β_i) = m_i を示せばよいと書いている。
>(3) dim W(β_i) ≧ m_i を証明し、逆の不等式は当然だから、 dim W(β_i) = m_i が成り立つと書いている。
この流れで自然ですよ
>(1) V_p = W(β_1) + W(β_2) + … + W(β_p) が直和であることを証明する。
>(2) V = V_p であることを示せば良い。そのためには dim W(β_i) ≧ m_i を示せばよい。
>(3) dim W(β_i) ≧ m_i を証明する。
こちらでも結構ですよ

>>43
>明らかで済んだら教科書は要らない
まあここは明かで十分ですかね

統失です。
球面は、正方形の角の軌跡の集合なのでしょうか？
いろんな角度で正方形を回転させる。

正四面体の角の中面の長さの軌跡と考える方が一般的です

『数学セミナー2022年03月号』の「圏論入門の足掛かり」に、

C を圏としたとき、 C における２つの射 f, g : X → Y とそのイコライザーとその普遍性を表した図式が可換だと書かれています。

f, g : X → Y という図式を考えると、一般に f ≠ g なので、この部分で可換であるという条件が満たされないように思うのですが、どうなんでしょうか？

可換の定義が厳密に書いてないため、判断できません。

e:Z→Xがf,gのequalizer
:⇔
(1) 図式
Z→X
↓ ↓
X→Y
が可換(ただしZ→Xはどちらもe、X→Yは片方fでもう一方がg
(2) 略
の図式の話やろ？
f,gが等しくなくても可換になることなんて山のようにあるでしょ？

イコライザーの図式で可換と言っているのは、普遍性を満たす3つの対象の図式であって、
全体の図式(X→→Yを含む)は可換ではない
確かに初学者には、はっきり書いたほうが分かりやすいかもしれない

>>50-51

ありがとうございます。

>>51
なに言ってんのか分からない

>>53
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E5%8C%96%E5%AD%90
の圏論における等化子の図式のうち、
普遍性を満足するO,E,Xの図式は（当然ながら）可換だが、
X,Yも入れたこの図全体の図式は可換ではない、ということ

>>54
ん？X→Yの2つの射のところのこと？
この図全体の図式が可換というのは
図のどの部分を抜き出しても可換図式であるという意図？
ID:2kUu3ZDv もそのように解釈してるのかな？
イコライザーに関しては
>>50の(1)が可換なときウィキペの三角が可換となるuが存在するわけで
可換というとこの2ヶ所つまり>>50の説明が普通だと思う>>49
ウィキペのような書き方も良くあるけど
Y←X
↑
X
のプルバックがイコライザという書き方にした方がいい
>>51で言っているのはそれ？

>>55

そうです。
図式を、対象を点、射を辺とする有向グラフと考えたときに、有向パスで結ばれた2点を任意にとるとその2点を結ぶ任意のパスに対応する射の合成がすべて
等しいとき可換図式というのかと思っていました。
X → Y には2つの射 f, g があるので、可換図式であるためには、 f = g でなくてはならないのかと思っていました。

まぁでもwikiに載ってる図式が可換と書いてあったらf=gになってしまう気はするけどな
wikiのレベルなんてそんなもん

>>56
グラフ理論の定義が上手くいくか自分は分からないが、考え方はそれで合ってる

『数学セミナー2022年03月号』の「ガウスの数論から現代数学へ（II）」（栗原将人）

「また、種の理論が相互法則だけで組み尽くせない力を持っていることも、わかっていただけると思う。高瀬正仁氏は[3]155ページで「ガウスの目には、
ガウス以前の素数の形状問題は特別な形で表現された平方剰余の理論のように映じたでしょう」と述べているが、これらの表はそうではないことを
語っていると思われる。」

脚注には、以下のように書かれています。

「[2]212ページには「ガウスの目には、素数の形状問題は平方剰余の理論の一区域のように見えたのではないかと思います」と同じ主張が述べられている。」


以下の文献を上の文章を書くためだけに引用しています。

[2] 高瀬正仁『ガウスの数論、わたしのガウス』筑摩書房（2011年）
[3] 高瀬正仁『ガウスに学ぶ初等整数論』東京図書（2017年）

>>56
>射の合成がすべて
>等しいとき可換図式というのかと思っていました。
可換な三角や四角は中に○矢印書くのが可換図式

>>57
イコライザの説明では良くある図ではある
ソースとターゲット同じ射f,gが（2点間の有向グラフとして）可換てのは
その通りf=gだよね
そういう無意味なことまで杓子定規に考えるのはよろしくなかろう

自分も>>51で終わったものを何故そこまでややこしくしたのか不思議でならなかったな

ちなみにイコライザーのwikipediaは一応きちんと「可換にする(eq○u=mを満たす)」と書いてある
読んでないが、引用を見る限り数学セミナーの書き方が混乱を招くものだったのかもしれない

正確に数式も併記しとけばいいんだよ
てかそもそも数式の方がメインで図式は参考図というのが基本
ましてや“辞書”として使える文章なら感覚的な捉えやすさと正確さの天秤は基本正確さの方を優先すべき
読者の感覚的理解も磨く事を目的ともする教科書とはそこが違う

正規形でないODEで重要なものってありますか？

>>65
「正規形」の定義を教えてください

>>66
連立一階常微分方程式です。

>>65
「重要」の定義も

>>68
ばぁ〜か🤪
うんこ食って寝ろ

T を T(x_1, x_2, x_3, …, x_n) = (x_1, 2*x_2, 3*x_3, …, n*x_n) で定義される C^n 上の線形変換とする。

T の不変部分空間をすべて決定せよ。

>>69
おまODE知らんのだろ
重要性って人によって全然違うんだが？

むしろ５ｃｈで微分方程式の知識を持ってる奴ほとんどいない

>>72
y''=1/xy
を解け。

やだ

>>74
やだやだゆうやつがやだ

2×2行列A、Bがいずれも逆行列を持たず、A+Bは逆行列をもち、さらに、AB=BAならば、AB=0であることを証明せよ。


この問題への以下の回答がよくわからないので
解説して下さい、よろしくお願いします


Tacosan
A は 2つの独立な固有ベクトル x, y をもち, これらはどちらも B の固有ベクトルでもある. で条件から Ax = By
= 0 としてよいので AB = O.

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12932948.html

AもBも固有ベクトル分解を持たないならいずれのJordan cellは[[0,1],[0,0]]と相似で特に冪零になる
すると
(A+B)(A-B)=A²-B²=O
からA=Bになってしまうので矛盾
よってAに関する固有ベクトル分解V = Fx⊕Fyを持つとしてよい
A,Bが可換だからこれはBに関する固有ベクトル分解にもなっている
実際x,yに対する固有値をl,mとして
ABx = BAx = lBx
∴BxはAの固有値lに対する固有ベクトル
∴Bx = ux (∃u)
同様にBy = vy
さらに仮定からkとl、uとvのいずれかが０だがk=u=0なら(A+B)x=0となって仮定に反する
∴k=0, v=0 or l=0, u=0
前者のとき
ABx = BAx = 0、ABy= 0
でAB=０
後者も同様

78が77に書いてある内容なの？

>>76
評価

>>77
A，Bがいずれも逆行列を持たないのでいずれも0を固有値に持つ
つまりAx=0，By＝0となるx≠0、y≠0がある
これらが両方の固有ベクトルであるかどうかはどうでもよくて
もしx，ｙが一次従属(つまり平行)ならば(A+B)x=0となってA+Bが逆行列を持つことと矛盾するからｘ，ｙは一次独立
なのでABx=BAx=0とABy=0よりAB=O

>>77が回答として適当かといわれると微妙なところだな
あまり分かってない人が書いてそう

一行目からなんかすごいこと言ってるし

微分形式がわかりません
わかりやすく教えて下さい
よろしくおねがいします！

>>85
なぜ群論を避けたいの？
もちろんガウスは群論無しで証明したけれどかなりまわりくどいよ

z/pzが体であることを認めれば書けないことはないくらいの分量になるが、群論が嫌なのに体論を使うのもおかしいしな。

有理数より無理数のほうが圧倒的に多いようですが
対角線論法では、有理数の数え上げでは取りこぼすような数が少なくとも１つは存在する
という結論となっており、有理数より無理数のほうが圧倒的に多いという考えに至りません。
どうすれば有理数より無理数のほうが圧倒的に多いということを実感できるでしょうか？

偶数と自然数の濃度は同じです
同様に、10000000000000000の倍数と自然数の濃度も同じ
有理数と自然数の濃度も同じですね

これらの数はどんなに頑張っても1個余ることすらもないのに、無理数だと1個余ってしまうのです

めちゃくちゃ多いような気がしませんか？

測度論を勉強する

Qは可算なのにR＼Qは非可算
Q～Nは例えばN×Nでも可算なので有理数を有理数個集めても無理数には全然足りない

それを言ったら、2つの素数で書ける自然数はN×N個だが自然数全体の中での密度はごく僅かだ。
実数濃度と可算濃度の違いは非構成的な概念を持ち出さないと実感できないと思う。

V を有限次元複素ベクトル空間とし、 T を V 上の線形変換とする。
T が対角化可能であるための必要十分条件は

V = Ker (T - λ*I) (+) Im (T - λ*I)

が任意の λ ∈ C に対して成り立つことであることを示せ。

>>86
>なぜ群論を避けたいの
すいません。
これは私が群論を理解出来ていないためです。

群論の初心者向けテキストなどを尋ねて、証明は参照しているサイトを見るべきでしたかね？

>>94
有限体は原始根を持つことさえ認めれば、>>85の質問は道具無しで証明できる

>>95
群論の考え方と原始根について理解できれば、もうそれだけで終わると言うことですかね。
ご対応ありがとうございました。
勉強します。

U を C 上のベクトル空間とする。

U ∋ x → ||x|| ∈ [0, +∞) をノルムとする。

||x|| = √(<x, x>) を満たすような U 上の内積が存在するための必要十分条件は、

||u + v||^2 + ||u - v||^2 = 2 * (||u||^2 + ||v||^2) が任意の u, v ∈ U に対して成り立つ

ことであることを示せ。

>>97
中線定理？

(x,y) := ( ||x||²+||y||²-||x-y||² )/2

I(n)=d^n/dx^n, [A,B]=AB-BAと定義して
[I(n), x]=n・I(n-1)
となるらしいんですが証明ってできますか？

>>100
ライプニッツの法則

>>100
ライプニッツルール
[ln,x]f=ln(xf)-xlnf=(nl(n-1)f+xlnf)-xlnf=nl(n-1)f

>>100
Leibniz rule

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E3%81%AE%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%97%E3%83%8B%E3%83%83%E3%83%84%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87

[I(n),x]f
= I(n)(xf) - xI(n)f
= C[n,0] xI(n)f + C[n,1] 'I(n-1)f - xI(n)f (∵x'' = 0 )
= n I(n-1)f

なるほどxの2階以上の微分は0だから項が消えるんですね
ありがとうございました

任意のベクトル空間に基底が存在するという定理の証明が載っている本を松坂和夫著『集合・位相入門』以外で教えてください。

任意のベクトル空間に基底が存在するという定理の証明が載っている本を松坂和夫著『集合・位相入門』、『解析入門』以外で教えてください。

Zornの補題の証明も同時に載っている本でお願いします。

Zornの補題の証明
http://www.math.pku.edu.cn/teachers/anjp/Zorn.pdf
基底の存在の証明
https://www.math.ucla.edu/~tsmits/115B/115A/Zorn's%20Lemma.pdf

>>108

Zornの補題の証明
http://www.math.pku.edu.cn/teachers/anjp/Zorn.pdf

の最初の箇所について質問です。

以下はあっていますか？

A を X の全順序部分集合とする。
仮定により、 A には上界 b が存在する。
b ∈ A ならば、 b は X の極大元ではないから、 b < c となるような c ∈ X が存在する。
任意の a ∈ A に対して、 a ≦ b < c だから、 a < c が成り立つから c は A の上界である。
c ∈ A ならば、 c ≦ b < c となり矛盾するから、 c ∈ X - A である。

ゆえに、 {c ∈ X - A | c は A の上界である} は空集合ではない。

選出公理により、任意の X の空でない全順序部分集合 A に対して、 A の上界 g(A) ∈ X - A を選出できる。

訂正します：

>>108

Zornの補題の証明
http://www.math.pku.edu.cn/teachers/anjp/Zorn.pdf

の最初の箇所について質問です。

以下はあっていますか？

A を X の全順序部分集合とする。
仮定により、 A には上界 b が存在する。
b ∈ A ならば、 b は X の極大元ではないから、 b < c となるような c ∈ X が存在する。
任意の a ∈ A に対して、 a ≦ b < c だから、 a < c が成り立つから c は A の上界である。
c ∈ A ならば、 c ≦ b < c となり矛盾するから、 c ∈ X - A である。

ゆえに、 {c ∈ X - A | c は A の上界である} は空集合ではない。

選出公理により、任意の X 全順序部分集合 A に対して、 A の上界 g(A) ∈ X - A を選出できる。

>>109
教えてもらって礼も言わないんだな。
例の頭のおかしい人か。

微分形式がわかりません
高校生の僕にもわかるように教えて下さい

座標(x,y)と任意定数cを含む方程式
F(x,y,c)=0…(4)
両辺を微分して
∂F/∂x+∂F/∂y・y'=0…(5)
(4)と(5)から文字cを消去すればx,y,y'を含む方程式
f(x,y,y')=0
が得られる
とあったのですがなぜcを消去できるのですか？

>>113
F(x,y,c)=0を変形して（解いて）f(x,y)=cにしたら両辺微分してf_x+f_yy'=0になるよ

>>114
Fに何の条件も付けず、
「F(x,y,c)=0を変形して（解いて）f(x,y)=cに」出来るの？

陰関数定理の条件満たしていなければもちろんできないですけど、実用的には代替の場合は解けますよね
ある点だけでは解けなくても、その他大勢の場合は解けるという場合も多々あるかと思います

>>115
できる場合はってことだけど？

あるいはF(x,y,c)=0は(x,y,c)∈R^3において（一般には）2次元の曲面を意味していてcを(x,y)の陰関数と考えたのがf(x,y)=cと
具体的にf(x,y)が求まるかどうかはF(x,y,c)に依存する話だけど
陰関数を考えるのは自由だしね

あるいはF(x,y,c)=0からF_xdx+F_ydy+F_cdc=0でcが(x,y)に関して定数dc=0としたらF_xdx+F_ydy=0からF_x(x,y,c)+F_y(x,y,c)y'=0
これは(x,y,y',c)∈R^4の中でF(x,y,c)=0かつF_x(x,y,c)+F_y(x,y,c)y'=0の（一般には）2次元の曲面Sを表していて
cを固定する毎に(x,y,y')∈R^3の中の（一般には）1次元の曲線なのでc∈Rの全体で(x,y,y')∈R^3の中の（一般には）2次元の曲面
つまりSをR^4→R^3:(x,y,y',c)→(x,y,y')によって射影したものとなるけど

んー、知識がないのでよく分かりませんでしたすみません😣💦
もう少し勉強します
答えてくださりありがとうございました

>>120
f(x,y)=0がxy平面上の(一般には)曲線を表すこと
曲線上の点の座標x,yの間にはこの条件式で表せる一定の関係があること
関数f(x)=yもやはりx,yの間にfで表せる一定の関係があることを意味するという意味では同じであること
違いはxに対して
yの値をf(x)によって直接表せるか
f(x,y)=0を満たすyと間接的に決まるか
前者を陽関数後者を陰関数
f(x,y)=0はx,yの関係なのでxに対してyと考える代わりにyに対してxと考えても良い
同様に
f(x)=yもx,yの関係としてyに対してxと考えて逆関数と呼ぶ
少し拡張して
F(x,y,z)=0はxyz空間内の(一般には)曲面を表し
この曲面上の点のx,y,z座標にはこの条件で表せる一定の関係がある
f(x,y)=zもx,y,zの間にこの等式で表せる一定の関係があることは同じということ

>>120
(中略)
SをR^4→R^3で射影した(一般には)2次元の曲面も同じSで表せば
(x,y,z)∈Sであることをf(x,y,z)=0という関係が成立すると捉えることが出来ると
一般に具体的なfが得られるとは限らないけれど
たとえば(x,y,z)∈R^3とSと距離d(x,y,z)を想定して(x,y,z)∈Sをd(x,y,z)=0と

aは実定数、εは正定数、Tは対称作用素とし、
(a-ε,a+ε)⊂ρ(T)のとき、||(a-T)^(-1)||<1/ε となることを示せ、
という問題は示せますか？

複素変数zの関数w=f(z)が領域Dで正則であるとき、Dの任意の点zで、独立変数zの増分Δzにともなうwの増分をΔwとすれば
Δw=f'(z)Δz+ρ(z,Δz)Δzが成り立つ(ρ(z,Δz)→0 (Δz→0))
このΔw=の式がなぜ成り立つか教えてください

それが0に収束するのが微分可能の定義やん

>>125
Δz→0にすれば微分の定義式になるのは分かるのですが
Δw=f'(z)Δz+ρ(z,Δz)Δz
がΔz→0以外でどうして成り立つかが知りたいです
ちんぷんかんぷんなこと言ってたらすみません！

>>124
丁寧にかくなら

Δw = f(z+Δz) - f(z)
p(z,Δz) = (f(z+Δz) - f(z))/Δz - f'(z)

と定めれはこのとき

> Δw=f'(z)Δz+ρ(z,Δz)Δz

が成り立っていて、そして

(ρ(z,Δz)→0 (Δz→0))

にもなるって言ってるんだよ
ここまで丁寧に書いてくれる教科書はもう出てこないよ
この程度の行間は自分で埋めんとダメ

>>127
はー
p(z,Δz) = (f(z+Δz) - f(z))/Δz - f'(z)
ですかなるほど
先が思いやられます…
答えくださった方々ありがとうございます

ビブンケイシキガーさんはこのようなことすら理解できないのでしょうね
かわいそうな方達です

どんだけ劣等感強いんだこいつｗｗｗｗｗ

ルベーグ積分の定義において、被積分関数が可測という条件はどこで使われているのですか？
つまり、以下の(☆)がなくてもルベーグ積分は定義されると思うのですが、なぜ必要なのでしょうか？

以下、ルベーグ積分の定義


予備定義:

(X, M, μ)測度空間
sを可測単関数とする、すなわち

s = ∑[A∈I] α_A χ_A

ここでIはMの有限部分集合で、Iに属するどの2つの可測集合も共通部分を持たないとする。
α_Aは非負整数、χ_AはAの特性関数（ふなわち、x∈Aなら1、さもなくば0）
このとき、E∈Mに対して、sのE上のルベーグ積分を

∫_E s dμ := Σ[A∈I] α_A μ(A∩E)

で定義する。


定義:

(X, M, μ)を測度空間
「f: X → Rを可測関数」 ………… (☆) とする。
E∈Mに対して、fのE上のルベーグ積分を

∫_E f dμ := sup[s] ∫_E s dμ

で定義する。
ただし、sはEのすべての点xでs(x)≦f(x)となる、可測単関数全体を動く。

ああ、関数は全部非負です

α_Aは非負整数じゃなくて、非負実数です

>>131
どの文献にあった定義ですか？

>>131
定義出来たとして、積分の線形性とか示せるように思えないが。

単調収束定理を示すのに必要

(a, ∞]のfによる逆像が可測集合という議論が証明中に出てくる

可測性の仮定を入れないと、重要な定理のほとんどは示せないと思う

直接数学に関係ないし完全に数学素人の質問なんだけど適切な板とスレが見つからなかったからここで質問させてほしい。

戸田山和久の『科学哲学の冒険』のなかで、あらゆる科学的説明の共通点（条件？）として「反事実的依存関係」が挙げられてるんだけど、その意味するところはある科学上の仮説「PならばQ」の科学的な正しさは「PのときにQ」ということだけでなく「PでないときにはQでない」も成り立ってないといけないらしい。（反事実条件法）
他方で論理学の条件文の説明では、命題「PならばQ」の真偽に関して、前提Pが偽で結論Qが真の場合でも命題「PならばQ」は真であると説明されてるんだよね。
これって戸田山の言ってることと論理学の理屈が矛盾してない？
論理学の方はごく一般的な命題論理の説明だけど。

正直おれが論理学と科学（哲学）の関係をよく理解してないだけなんだろうけど、どうしても気になってしまう。

Gを群とする
Gの位数とは、Gの濃度のことである

別にこの定義をするのに、Gが群である必要ないが、それと同じようなものだろう

>>138
>科学上の仮説「PならばQ」の科学的な正しさは「PのときにQ」ということだけでなく「PでないときにはQでない」も成り立ってないといけないらしい
「ならば」をどう解釈するか
「科学上の仮説」とかいう概念における
その人の定義が普通と違うってことでは？
勝手にやらせておけばイイと思うよ

なんなら
「科学上の仮説」の場合は「PなばらQ」とでも呼べばいい
そうすれば「なばら」と「ならば」は字面の上でも違うから
意味が違って矛盾してるって悩まなくて良くなる

>>131
fが或る非可測集合の定義関数である場合、その定義はその集合の内測度を与える。
もちろん加法性はない。

>>138
日常生活での言葉遣いと論理学の言葉遣いが違うってのと同じような話
昼飯はラーメンまたはカレーを食うって言って両方食ったら変人だと思われるように
科学だとなにか予言できないような仮説は無意味だから
結論が予言できるような形の主張しか取り扱わないってだけ

>>143
本当に基礎的なとこから整理したんだけどこういう理解でいいのかな？
論理学の世界では↓
ニワトリならば卵を産む。ニワトリである、だから卵を産む。（妥当な演繹）
ニワトリならば卵を産む。ニワトリでない、しかし卵を産む。（裏は必ずしも真ならず）
このとき論理学では最初の命題「ニワトリならば卵を産む」は“形式上”偽にならない。

一方、科学的説明（現実の世界）の特徴は↓
「ニワトリならば卵を産む」という仮説の正しさは論理的形式が担保するものじゃないため、ニワトリでないのに卵を産む生物が実際に見つかってしまった場合その仮説は否定されてしまう。

これ、書いてて虚しくなるくらい当たり前なことなんだけど、単純にこれだけの話なのかな。
そうすると形式論理って一体どういう意味があるのか素人の俺にはよくわからない…

過不足なく説明されている必要があるかどうかって話じゃないの？

>>144
>このとき
このときって？
上に書かれてる2つの事柄がどちらも真であるとき？
>“形式上”偽にならない
形式上とは？
偽にならないってそもそも真であるときを考えてたんじゃないの？>「ニワトリならば卵を産む」という仮説の正しさは論理的形式が担保するものじゃないため、ニワトリでないのに卵を産む生物が実際に見つかってしまった場合その仮説は否定されてしまう。
なんで否定しなくちゃいけないの？
ニワトリでなくて卵を産むモノを排除しているようには読めないんだけど

まあいずれにせよどうでもいい話だな
勝手に考えて悩んでたらいいのではないかな

けっきょくその「ならば」は「iff」の意味で使っているってだけではないかな
それならば明確にそう書くべきではないかならば
通常の意味合いと異なる用語の使用ならば不親切だと思うね

>>146
このときってのは、「ニワトリでない（前件が偽）、しかし卵を産む（後件が真）」を指してる。形式上って書いたのは一般的な論理学で採用されてる二値原理（すべての命題は真か偽のいずれか）をもとにした条件法上、前件が偽で後件が真のとき元の命題は偽にならない（真になる）っていう原則のことを指してる。

否定のところだけど、まさにその部分と論理学の関係がわからなくて質問したわけよ。
戸田山は「科学的説明すべてに共通してるのは反事実的依存関係（反事実条件法）」だと明確に書いてる。
『科学哲学の冒険』p244

>>148
>このときってのは、「ニワトリでない（前件が偽）、しかし卵を産む（後件が真）」を指してる
「ニワトリでない」は偽と確定しないし「卵を産む」も真とは鍵らない
「ニワトリではないが卵を産む」とは
「「ニワトリではない」が真であるとき「卵を産む」が真である」という命題のことで
「「ニワトリではない」が偽であるかまたは「卵を産む」が真である」と同値
>否定のところだけど、まさにその部分と論理学の関係がわからなくて質問したわけよ。
このときというのが「ニワトリではないが卵を産む」が真であるという意味だとして
君は「ニワトリは卵を産む」もそもそも真であるとしているのでしょ？
それともこちらは真かどうか分からないと考えていて
「ニワトリではないが卵を産む」が真であることが「ニワトリは卵を産む」が偽であることを導くのではないかと疑問に思っているということ？
いずれにせよ
「ニワトリではないが卵を産む」が真であっても
「ニワトリは卵を産む」の真義には関係ない
なぜなら
後者が真であるとは
「ニワトリである」が偽であるかまたは「卵を産む」が真であるということ
「卵を産む」が真であれば両者とも真だし
「卵を産む」が偽であれば前者が真のとき後者は偽なのでね
>戸田山は「科学的説明すべてに共通してるのは反事実的依存関係（反事実条件法）」だと明確に書いてる。
勝手に言わせておけば？
「ならば」で悩むなら「科学的説明」の場合は「ならば」を「iff」（念のためだけど「if and only if」のことね）の意味で使うとその人は主張していると考えたら？
いずれにせよその主張は正しいと思えないけど別にどうでもいい

ついでに書くと
日本語では主語を省略することが多いし
量化子も明確に書かないのが普通（こちらは他の言語でもそう）
「ニワトリは卵を産む」はそれらの意味で曖昧
生物xがニワトリであることをP(x)
生物xが卵を産むことをQ(x)
として
「ニワトリは卵を産む」とは「P(x)→Q(x)がすべての生物について真である」
つまり
「∀x:生物(¬P(x)∨Q(x))」が真だってこと

>>149
ニワトリみたいな具体的な例を出したら逆に伝わりにくくなった気がする。
もう一度整理して疑問を書くわ。

論理学的には、ある命題「PならばQ」が真のとき、当然「裏」が真とは限らない。
しかし戸田山は科学的説明の特徴として、ある仮説（命題）「PならばQ」が真であったとしてもそれだけでは不十分で、「PでないならばQでない」も真である必要（特徴）があるという趣旨のことを主張してる。
しかし、Pが偽でQが真のとき（つまり¬Pが真で¬Qが偽のとき）PならばQは真になる一方で、¬Pならば¬Qは偽になる。
つまりこの場合はPならばQと¬Pならば¬Qは両立せず矛盾し合うから戸田山の言ってることはなんかおかしい気がするってことが言いたかった。

けどそのあと真理表を見て考えたら、Pが真でQが真のときはPならばQも真だし、¬Pならば ¬Qも真なんだよね。戸田山はこのことを指してるのかな。
つまり単に前件も後件もどちらも真でないといけないと言ってるにすぎないってこと？

そうするとおれの疑問は、PならばQが真で、¬Pならば¬Qも真になるときと、PならばQが真で、¬Pならば¬Qが偽のときとの違いがよくわからないってことになるわ。
自然言語で例えて説明してくれたら助かる。

素人だからレベルの低い質問してることは重々承知なんだけどどうしても気になってしまう

もう著者に直接ききなよ

>>151
あのね
その人が勝手に言っていることを解釈する手助けを求めているって自分でも分かってるだろうけど
意味ないことを他人に考えさせようとしてるってことだよ
手助けとしては随分前から書いているように
・その人の考えはどうでもいい（おかしくても正しくても別にどうでもイイってこと）
・その人の「ならば」は「iff」の意味に解釈したら？
これだけ
>そうするとおれの疑問は、PならばQが真で、¬Pならば¬Qも真になるときと、PならばQが真で、¬Pならば¬Qが偽のときとの違いがよくわからないってことになるわ。
PQ=真真・真偽・偽真・偽偽
P→Q=¬P∨Q=真・偽・真・真
¬P→¬Q=P∨¬Q=真・真・偽・真
P→Qが真で¬P→¬Qが真なのはPQの真偽が一致しているとき（これがiffね）
P→Qが真で¬P→¬Qが偽なのはPQの真偽が逆であるとき
>自然言語で例えて説明してくれたら助かる。
めんどくさい

>>154
>P→Qが真で¬P→¬Qが偽なのはPQの真偽が逆であるとき
違った
Pが偽でQが真の時だけ

「階段行列」って言葉は元になった英語の専門用語はあるんですか？

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Row_echelon_form

>>154
同値として解釈するということね
スレチなのにしつこく質問して申し訳なかった
回答ありがとう

科学的説明に限らず日常の条件のほとんどは裏も含んでると思うよ

60点以上なら合格
には
60点未満なら不合格
の意味も含まれている

>>159
プロスポーツの「明日勝てば優勝」は「明日勝てなかったら優勝できない」を意味しない

スポーツは科学ではないということだ

>>159
それは建前･･･でね

>>161
「明日雨が降ったら花見は中止」は「明日晴れたら必ず花見をする」を意味しない

>>163
それは意味してる
意味してなきゃ中止って言葉使わない

>>164
それは頭悪いぞ
大地震があっても中止だろ

天候の話で地震を持ち出すのは頭が悪いからなの？
そんなん確実なことが何一つ言えなくなるわ

t分布に従う事象。

>>166
日常の話だよ？天気に限定する必要ある？

なるほどこれが学部レベルの質問ですか

>>164と>>166は何がおかしいかというと
何かになるための条件をすべて枚挙できることなどごく限られた事象でしかないのに、「裏も言える」なんて簡単に考えている点

>>170
それ言い出したら表も言えるかどうか分からんようになるが？

>>171
戸田山はそこまで主張しているように思える。
私は戸田山の主張はおかしいと思う。

行けたら行く

>>161
スポーツは科学ではないという命題には
スポーツでないものは科学であるということも含んでいる！

ヒルベルト流ならぬ戸田山流

>>138
1+1=0ならば明日は日が昇る　は仮説として正しくないから排除って話では？

>>176
そもそも明日日が上るとは限らないのては？

それでいいのか？

ポアソン分布が参考書読んでもよく分かりません。
簡単に説明してもらえないでしょうか？

二項分布で成功確率pと試行回数nとの積が一定の下でpを0に近づけたもの

>>180
>成功確率pと試行回数nとの積が一定の下で
npは平均
すなわちその事象が平均何回起こるかを固定して
試行回数すなわちその事象が起こりえる機会を無限に増やした極限

p→0はイメージしにくいからn→∞の方が良くない？

(1+x^2)^aをweightに持つ直交多項式を探してるんですが、ご存知の方いますか？

(1+x)^aならJacobiでいいんですけど。

>>920
3点取られても同点で後攻、4点取られたら逆転される
ヒットアンドロールでもフリーズしたりうまく隠れたら1点か2点に抑える可能性はあった

>>184
すれ違いでした

>>183
区間は？

>>186
失礼しました
[-∞, ∞]です。

訂正
(-∞, ∞)です。

>>183
その区間だと多項式ではめっちゃ小さい空間しかはれないのでは？
∫[-∞,∞] Pm(x)Pn(x)/(1+x^2)^a dx
が内積とするとn次式がL^2に入るのはn^2<2a+1のときでヒルベルト空間のほんのちょっとにしかならない

>>189
なるほど。たしかにそうですね。
問題を勘違いしてるかもしれないです。

指摘ありがとうございます

>>181
なるほど

ありがとうございます

たまに使用するt検定ですが、その式の証明を高校数学レベルから理解したいのですが、
なかなか、高校数学レベルで理解できるような証明が載っているページが見つかりません、
あれば教えてください、本でもよいです。

>>192
>その式の証明を
その式とは？

可換環Rのイデアル I1，･･･，Ir（r≧2）について、
環準同型φ：R→R/I1×･･･×R/Ir が全射であることを仮定すると、
i ≠jのとき、Ii＋Ij＝Rが成立することを示せ.
という問題で次のように考えたのですが合っていますかね？
φが全射なので
x+Ii=1+Ii、x+Ij=1+1+Ij
となるx∈Rが存在
x=1+xi、x=1+1+xj (xi∈Ii、xj∈Ij)
1+xi=1+1+xj
xi-xj=1
よって1∈Ii+IjでIi＋Ij＝R

あってるけどやや無駄

x ≡ 1 ( mod Ii)
x ≡ 0 ( mod Ij ) ( ←≡2はあまり意味ない)

でいい
1-x∈Ii、x∈Ijなので
1 = (1 - x) + x ∈ Ii + Ij

あ、そういえば

あ、分かりました。

https://pbs.twimg.com/media/FUCkrdSWUAErF2z?format=png&name=small
これどうやって証明できますか？

ぱっと見楕円関数絡み

Bruce C. Berndt "Ramanujan's Notebooks Part II" p.261

ラマヌジャン案件か・・・

複素平面上のzを原点を中心に反時計回りに120度回転した点をz1 , 240度回転した点をz2とする.
任意のzに対してf(z)+f(z1)+f(z2)=0を満たす正則関数の非自明な例を挙げてください

齋藤正彦著『線型代数入門』

p.234 「実係数の多項式は、実数の範囲内で、一次式および二次式の積に分解される。」

この命題の証明に不備がありますね。

α を f(x) の虚根としたとき、

(x - α)^m * (x - conj(α))^n (m ≠ n) となる可能性がありますが、はじめからその可能性を考えていません。
そういうことが起こらないことも証明しなければならないのに。

訂正します：

齋藤正彦著『線型代数入門』

p.234 「実係数の多項式は、実数の範囲内で、一次式および二次式の積に分解される。」

この命題の証明に不備がありますね。

α を f(x) の虚根としたとき、

(x - α)^m | f(x) が成り立ち、 (x - α)^(m+1) | f(x) が成り立たない。
(x - conj(α))^n | f(x) が成り立ち、 (x - conj(α))^(n+1) | f(x) が成り立たない。
m ≠ n である。

このような可能性がありますが、はじめからその可能性を考えていません。
そういうことが起こらないことも証明しなければならないのに。

h(x) = (x - α) * (x - conj(α)) とおいて、

f(x) を h(x) で割ります。

f(x) = h(x) * g(x) + a * x + b

a, b は実数です。

a * α + b =0
a * conj(α) + b = 0

もしも、 a ≠ 0 ならば、 α = conj(α) となって矛盾。

よって、 a = b = 0

>>206
f(z)=g(z)-g(z exp(2πi/3)), g(z)は任意の正則関数

>>209
は？

ま
自明だからね

因数定理から、

f(x) = (x - α) * (x - conj(α)) * g_1(x)

を満たす複素多項式 g_1(x) が存在する。

g_1(x) は実は実多項式であるが、実多項式であることは本当に自明なことであろうか？

実多項式 × 実でない複素多項式 = 実多項式

が成り立たないことは明らかといえば明らかかもしれません↓

実でない複素多項式の実でない係数のうち最低次(= k とする）の係数を a とする。

実多項式 × 実でない複素多項式 の k 次の係数は明らかに実でない複素数。

h(x) = (x - α) * (x - conj(α)) とおいて、

f(x) を h(x) を実数の範囲内で割ります。

f(x) = h(x) * g(x) + a * x + b

h(x), g(x) は実多項式です。
a, b は実数です。

a * α + b =0
a * conj(α) + b = 0

もしも、 a ≠ 0 ならば、 α = conj(α) となって矛盾。

よって、 a = b = 0

よって、 f(x) = h(x) * g(x) が実数の範囲内で成り立つ。

α が g(x) の根ならば、上と同様にして、

g(x) = h(x) * g_2(x) と実数の範囲内で書ける。

これを繰り返せば、

f(x) = h(x)^n * g_k(x), （α は g_k(x) の根ではない）

と書ける。

もちろん、 conj(α) も g_k(x) の根ではない。

以上から、以下の可能性を排除できた。

(x - α)^m | f(x) が成り立ち、 (x - α)^(m+1) | f(x) が成り立たない。
(x - conj(α))^n | f(x) が成り立ち、 (x - conj(α))^(n+1) | f(x) が成り立たない。
m ≠ n である。

齋藤正彦さんは、 f(x) の根 α が n 重根ならば、 conj(α) も n 重根であることを証明することなしに認めたということですね。

>>208
f(x)は実係数多項式なので
(x - α)^n | f(x) ⇔(x - conj(α))^n | f(x)
となり自明

>>271

f(x)は実係数多項式なので
(x - α)^n | f(x) ⇔(x - conj(α))^n | f(x)

これを証明してください。

>>217

あ、分かりました。

斎藤正彦にごめんなさいは？

f(x) = f(conj(conj(x))) = conj(f(conj(x)))

から

f(x)は実係数多項式なので
(x - α)^n | f(x) ⇔(x - conj(α))^n | f(x)

は明らかですね。

>>220

いや、齋藤さんは

>>221

のような考察なしに、ただ成り立つに違いないと思いこんでいただけだと推測します。

>>222
推測で謝らないとか馬鹿か？

>>221が「考察」か……正に馬鹿の考え休むに似たりという言葉がぴったり

てか
実係数の方程式P(x)=0がx=αを解に持てばx=α̅も解である
は高校の教科書ですら定理として紹介されとるやろ

>>225

そして問題になるのが、それらの重複度が一致するか否かということです。

>>226
まだわかってないのかバーカ

佐武一郎さんの本も見てみました。

f(x) = (x-α) * (x - conj(α)) * f_1(x) と分解できる。
f_1(x) に対して同様の操作をくり返せばよい。

という説明です。

f(x) = (x-α) * (x - conj(α)) * f_1(x) と複素多項式の範囲内で分解できる。
f_1(x) に対して f(x) に対するのと同様の操作を適用するには、 f_1(x) が実多項式であることを示す必要があります。
佐武さんはこのことを自明と考えたのでしょうか？

実多項式 = 実多項式 × 複素多項式

と分解されることがないのはそんなに自明なことでしょうか？

p(x)が実係数で(x-α)(x-α̅)で割った商も実係数になる事がもう高校の教科書に載ってる、というより高校の教科書では実係数の多項式しか扱うことすらないわバーカ

実多項式 = 実多項式 × 複素多項式

これはいかにも成り立たないように見える等式です。
無反省に成り立たないと思う人が多いはずです。
ですが、証明が必要なのではないでしょうか？
もしかしたら、うまく右辺の複素係数の項がすべて消えてしまうかもしれません。

証明は以下のようにできます：

実でない複素多項式 a_0 + a_1*x + … + a_n * x^n の実でない係数のうちインデックスが最小のものを a_k とします。

実多項式 × 実でない複素多項式 の k 次の係数は実でない複素数なります。

これは右辺が実多項式であることに矛盾します。

訂正します：

実多項式 = 実多項式 × 複素多項式

これはいかにも成り立たないように見える等式です。
無反省に成り立たないと思う人が多いはずです。
ですが、証明が必要なのではないでしょうか？
もしかしたら、うまく右辺の複素係数の項がすべて消えてしまうかもしれません。

証明は以下のようにできます：

実でない複素多項式 a_0 + a_1*x + … + a_n * x^n の実でない係数のうちインデックスが最小のものを a_k とします。

実多項式 × 実でない複素多項式 の k 次の係数は実でない複素数になります。

これは左辺が実多項式であることに矛盾します。

>>229

高校の教科書ではどのように証明しているのでしょうか？

>>230
だから本来そんなもん高校数学の時点で
「なんでA(x) = B(x)Q(x) + R(x)のQ(x)とかR(x)となる実係数の整式がとれるんだろう？」
と思ってなかったアンポンタンだからだよ能無し君

>>226
だからそれが>>217

>>230
多項式g(x)に対し、各項の係数をその複素共役にしたものをconj(g)(x)と書くと
conj(g)(conjx)=conj(g(x))なのと
実係数多項式f(x)に対してconj(f)(x)=f(x)であることからわかる

>>235

高校の教科書でもそのような証明をしているのでしょうか？

それは知らない
本題ではない

>>235
私もちゃんとわかってなかった。重複度についてはこれでは駄目だな。
conj(fg)=conj(f)conj(g)がわかればよくて、これは自明。

重複度なんか関係ないだろ

>>222
これは恥ずかしい言い訳だな（笑）
いつもこの調子だろこの馬鹿は

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12973611.html
この質問に対する回答者の主張が全体的によく分からないんですけど、
AなのはBだけである
という予想については、Bの要素でAとなるものが存在することが必須である、というのが大学数学では一般的なのでしょうか？

具体的な問題への質問ではないのですが、教えて下さい
よろしくお願いします

ma-kun....love....という質問者がおかしな人みたいだな

「回答へのお礼」を見たら完全に狂人だった

BlockedOldMan という回答者の方がおかしいな

すみません、理由もお願いします

>>244
>BlockedOldMan という回答者の方がおかしいな
そっかな
別におかしく思わなかったが
質問者の人は質問したいことをこねくりすぎて無用な文章付けすぎかなとは思った

>>245
回答者の主張を忖度無しに知りたいなら直接本人に聞いたらどうかな
その質問と回答とは面倒くさくてどうでも良いけど
>>241
>AなのはBだけである
>という予想については、Bの要素でAとなるものが存在することが必須である、というのが大学数学では一般的なのでしょうか？
君がこれだけ質問したのなら答えたくなる人も多かったはず

これはどう見ても回答者がおかしいだろ

ふと気になったことがあるのですが教えて下さい

例えば
AなのはBだけである
という予想があったとします
このときこの予想には、Bの要素でAとなるものが存在することが必須である、というのが大学数学では一般的なのでしょうか？

具体的な問題への質問ではないのですが、よろしくお願いします

そもそもAとなる事があるかないか解っていないこともあるが、その場合はまず「Aとなる事があり得る」という予想が立てられる。

↑
ハア？ww

何言ってんだコイツwwwww

>リーマンゼータなら、実軸 と 実部=1/2 上に
>実際に零点を持つため、どちらの「だけ」でも
>文の意味は違わないのですが。


回答者の理屈が謎すぎる。

何を言ってるかと言うと、Aとなることがなければ「AなのはBだけである」という命題は真だけどBの要素でAとなるものはない、ということ。

2^n+1が素数なのはnが2の巾乗の時だけである(これは正しい)
したがって「nが33以上のとき2^n+1が素数なのはnが2の巾乗の時だけである」も正しい
しかしnが6以上のとき2^(2^n)+1の形の素数が存在するかどうかは未解決である

そもそも非自明零点無限にあるんだからRHが正しければre=1/2上に無限に零点あるわな

>>254続き
予想として提出するならば
「nが33以上のとき2^n+1が素数なのはnが2の巾乗の時だけである」という形ではなく
「nが33以上のとき2^n+1の形の素数が存在する」
または(こちらが普通)「nが6以上のとき2^(2^n)+1の形の素数が存在する」という形になる

質問者が言ってるのは
2^(2^n)+1の形の素数が存在するのはn<10^100だけである
みたいな予想じゃない？

そして回答者が言ってる
n<10^100に2^(2^n)+1の形の素数が存在する
とか、それによって だけ の意味が変わるとかは
私にも理解出来ない

直観主義論理では帰納法が成立しないと書いてる人がいたのですが、帰納法は成立しますよね？

((P → R) ∧ (Q → R)) → (﹁R →﹁ P ∧﹁ Q)


この論理式の証明図を誰か書いてくれませんか？

>>258
なんで？

>>259
最後の一つ前が
¬R→¬P∧¬Q
てことはその一つ前が
¬P∧¬Q
てことはその一つ前が
¬Pと¬Q
てことはその一つ前がどちらも人
その仮定はそれぞれがPとQ
Pから人を出すには
P→RのMPと¬Rを使えば良い
Qからも同様
もうわかりましたね？

1，((P → R) ∧ (Q → R)) ・・・・仮定
2，﹁R・・・・・・・・・・・・・仮定
3，P・・・・・・・・・・・・・・仮定
4，P → R・・・・・・・・・・・・1より∧除去
5，R・・・・・・・・・・・・・・3，4より→除去
6、矛盾・・・・・・・・・・・・・2と5より
7，¬P・・・・・・・・・・・・・3と6より¬導入
8，Q・・・・・・・・・・・・・・仮定
9，Q → R・・・・・・・・・・・・1より∧除去
10，R・・・・・・・・・・・・・・8と9より→除去
11，矛盾・・・・・・・・・・・・10と2より
12，¬Q・・・・・・・・・・・・・8と11より¬導入
13，﹁ P ∧﹁ Q・・・・・・・・・・7と12より∧導入
14，﹁R→（﹁ P ∧﹁ Q）・・・・・2と13より→導入
15，((P → R) ∧ (Q → R))→(﹁R→(﹁ P ∧﹁ Q))・・・1と14より→導入

6の矛盾も11の矛盾もnot Rのやつですか？

ごめんなさい自分でも何言ってるか分からなかった

>>262
()がつく仮定の番号が分からないのですが何でしょうか

((P → R) ∧ (Q → R))が仮定1

﹁ Rが仮定2

Pが仮定3

Qが仮定4

で合ってますか？

>>260
なんで？というのはつまり必ずしも成立しないという意味ですか？
成立するという言葉がまずかったのかな
直観主義論理は排中律を受け入れないだけで、帰納法を受け入れないわけではないと理解してるのですが、これは間違ってますか？

>>267
俺の知ってる帰納法の証明だと排中律ていうか背理法使ってるけどな
帰納法
P(1)∧∀n∈N(P(n)→P(n+1))→∀n∈N(P(n))

変数 x1, x2,x3, ... すべて0以上の整数とする。

今、 zの目標値を
・ z_target = z_t = 1240
とする。
また、 zの実効値 z_effective = z_eff を以下のように変数x の組であらわす。
・　z_eff = A*x1 + B*x2 + C*x3.......

・z_eff は z_t よりも大きくなければならない。
・また、そのうちでもっとも小さいzの値をzの実効上の最適値とする。

Q.1 z_eff = 120*x1 + 180*x2
この時、実効上の最適値 z_eff の値と その時の (x1,x2) を求めよ。

Q.2 z_eff = 120*x1 + 180*x2 + 211*x3
この時、実効上の最適値 z_eff の値と その時の (x1,x2,x3) を求めよ。

補足: Q.1 は高校レベル？ の1変数の操作にして解けると思うけど
Q2 は多分、高校レベルじゃ無理ぽ！？

証明
P(1)∧∀n∈N(P(n)→P(n+1))∧∃n∈N(¬P(n))→人

>>270
言われてみるとたしかに…
自然数全体の集合Nに関する命題P(n)について、帰納法は全てP(n)か¬P(n)かを言ってることになりますね…

Curry-Howard同型対応の文献で、直観主義一階述語論理を帰納法が成立するよう拡張する部分の説明を勘違いしました
つまり帰納法が成立するのはあくまで拡張であって、本来の直観主義論理ではないということですか

>>270
これは何？
これは帰納法の証明？
帰納法って証明できるん？

完全に構成的なら限定算術なんて分野は存在しなくなるよな

>>272
対偶法
(¬Q→¬P)→(P→Q)
証明
P∧¬Q∧(¬Q→¬P)→P∧¬P→人
P∧(¬Q→¬P)→¬¬Q→Q
(¬Q→¬P)→(P→Q)

>>271
P(1)∧∀n∈N(P(n)→P(n+1))∧∃n∈N(¬P(n))→人
P(1)∧∀n∈N(P(n)→P(n+1))→¬∃n∈N(¬P(n))→∀n∈N(¬¬P(n))
（DNE）→∀n∈N(P(n))
と思ったのだが
無限の証明を許す無限論理だと
P(1)∧(P(1)→P(2))∧(P(2)→P(3))∧…∧(P(n)→P(n+1))∧…→P(1)∧P(2)∧P(3)∧…∧P(n)∧…
でいいのかも？

>>271
>本来の直観主義論理ではない
ブラウワーはおそるらく無限に長い証明は駄目って宣うんじゃなかろかなあ

あと
>>275
>¬∃n∈N(¬P(n))→∀n∈N(¬¬P(n))
のところ
¬(P∨Q)→¬P∧¬Q
からきてるけど
もしかしたらたしかこれも排中律必要だったとかも？

>>277
>¬(P∨Q)→¬P∧¬Q
P∧¬(P∨Q)→(P∨Q)∧¬(P∨Q)→人
¬(P∨Q)→¬P
Q∧¬(P∨Q)→(P∨Q)∧¬(P∨Q)→人
¬(P∨Q)→¬Q
¬(P∨Q)→¬P∧¬Q
ここはいらんかったわ

>>274
イヤ、じゃなくて>>270は帰納法を“証明”してるの？

>>279
>>275
分からなかったらイイヤ

”ペアノの公理”なんだから証明できないやろ？

>>281
ZFで先にNを作っておいてそれが公理を満たすって流れなのでは？

リーマンの再配列定理(条件収束数列は和交換で任意の値に収束させられる)がありますが
リーマンゼータにでてくる、収束しない級数も任意の値に収束させられるとおもうのですが違いますか? 解析接続でつかう関数を別にすれば
リーマンゼータは物理でも使われますが、
リーマンゼータがたまたま良く研究されてたので、物理で使われたのか、リーマンゼータで計算した値が正しいからこれなんですか?


1+2+3+4+… - Wikipedia
一見するとこの級数が意味のある値を持つことは全くないように思われるが、これに数学的に意味のある値を結びつける方法があり、そうして得られた値は複素解析や、物理学における場の量子論、特に弦理論などの分野において応用がある。
様々な総和法を用いることで、上記のごとき発散級数にさえ有限な数値を割り当てることができ、特にゼータ関数正規化やラマヌジャン総和法では-1/12 を値として割り当てる。

>>282
ZFの中で自然数作ってそれがペアノ算術の公理満たすって話はならそりゃそうだけど、それならそれで>>270は証明になってないのでは？

>>284
NがP(1)∧∀n∈N(P(n)→P(n+1))→∀n∈N(P(n))を満たすことを示すには
必然的に
P(1)∧∀n∈N(P(n)→P(n+1))∧∃n∈N(¬P(n))→人
を示すことになるんじゃないの？
でそこではDNE使うと思うので直観主義論理じゃだめじゃないかってことだけど

ZFで作ったN={0,1,2,…}だと
部分集合（B）に最小値（∩B）が存在することと
0以外のnに前者（n=m∪{m}）が存在することが証明できて
それが
P(1)∧∀n∈N(P(n)→P(n+1))∧∃n∈N(¬P(n))→人
を示すことになるて流れで

>>285
イヤ、公理的集合論の中でのωの定義はa≦bを
a≦b :⇔ a=b or a∈b
で定義して
aが順序数:⇔(a,≦)がwell ordered set
と定義してωの定義は最小の無限順序数として定義する
このωぎペアノの公理を満たすのはφが
φ(0)∧φ(x)→φ(x+1)
を満たす述語のとき

w' = { x∈ω | φ(x) }
とすればω'は順序数かつ無限集合であるからωの最小性よりω=ω'

なんじゃないの？

ああこちらのNはN={1,2,3,…}
ZFのNと0が入る入らないが違う

>>287
>w' = { x∈ω | φ(x) }
>とすればω'は順序数かつ無限集合であるからωの最小性よりω=ω'

調べてみるとこれは、
ω'がωより小さければωの最小性に矛盾する、よってω=ω'

という最小性を使った背理法が帰納法に紛れ込んでいると
言われているようです

>>289
イヤ
ωの定義が

0∈ω、x∈ω→x+1∈ω、∀ω'(0∈ω'、x∈ω'→x+1∈ω')→ ω⊂ω')

でここ背理法関係ありません

>>290
すみません、>>289は注意しないと背理法が紛れ込むという文脈のようでした
基礎知識足りてないのでもう黙っときます…

>>270
P(1)∧∀n∈N(P(n)→P(n+1))∧∃n∈N(¬P(n))→人

>>270
P(1)∧∃n∈N(¬P(n))→∃n∈N(P(n)∧¬P(n+1))
が論理だけで証明できますか？
だったら帰納法は公理として必要ないですね

>>267
古典論理でも数学的帰納法は証明できません
一方直観主義論理で数学的帰納法を公理として
追加しても排中律は証明できません

>>294
最初の方は当たり前
論理学で自然数論が展開できたらおかしい

背理法って、設定した仮定から帰結された結論が誤っていれば、
設定した仮定が誤っている、という論法のようだけど
誤った仮定から正しい結論を導くことも可能ではないでしょうか？

>>294,295
>>287で良いんじゃ無いの？

>>296
論理式で書いて
背理法を書くと
(¬P→人)→P

>>297
それは集合論からペアノ数論が展開できるという話

>>299
それでいいんじゃ無いのってことだけど
論理学だけで帰納法証明できるわけでないってことでしょ？
素朴なイメージのNで背理法で帰納法証明するのも
Nがどういうものかイメージがあってのこと
厳密にするなら>>287で良かろうという話で
P(0)∧∀n∈ω(P(n)→P(n+1))→∀n∈ω(P(n))
が証明されたってことでは？

R^nの部分集合Sがデカルト積であることを示すにはどうすればいいですか？

示すことはできません

>>296
>背理法って、設定した仮定から帰結された結論が誤っていれば、
>設定した仮定が誤っている、という論法のようだけど
それは違くて
(P→人)→¬P
は背理法でなくてただの否定の定義（¬P≡P→人）
背理法は
(¬P→人)→P
で二重否定の除去と同値
>誤った仮定から正しい結論を導くことも可能ではないでしょうか？
言いたいことが分からないので
論理式で書いて欲しい

その上で
背理法とどう関係する疑問なのかも説明して欲しい

>>287
>aが順序数:⇔(a,≦)がwell ordered set
これだと{0,2}も順序数？そう定義すると最小はどう定義する？
{0,2,4,6,…}の方がある意味小さいけど
普通はx∈y∈a→x∈aかつ∈(<)についてwell orderedだと思うけど
>φ(0)∧φ(x)→φ(x+1)
>を満たす述語のとき
>w' = { x∈ω | φ(x) }
>とすればω'は順序数かつ無限集合
ω'が順序数であることの証明は
well orderedだけならωの部分集合だからいいけれど
x∈y∈ω'→x∈ω'も必要なら
y∈ω'からφ(y)は真だけどx∈y(x<y)のxについてφ(x)が真であることに背理法は使わないかな？yが有限回（y回）で0から+1で届く（y∈ω'⊂ωだから）から大丈夫かな？
こうしたらどうかな
φを
∀y∈ω(∀x∈y(φ(x))→φ(y))
を満たす述語として
ω''={y∈ω|∀x∈y(φ(x))}
とするとx∈y∈ω''→x∈ω''も言えるから順序数かつ無限公理を満たしてω''=ωになるし
∀y∈ω(∀x∈y(φ(x))→φ(y))→∀x∈ω(φ(x))
のタイプの帰納法を成立させることになるし

>>305
>ω''={y∈ω|∀x∈y(φ(x))}
>とするとx∈y∈ω''→x∈ω''も言えるから順序数かつ無限公理を満たしてω''=ωになるし
>∀y∈ω(∀x∈y(φ(x))→φ(y))→∀x∈ω(φ(x))
φの条件から
ω''={y∈ω|∀x∈y(φ(x))}⊂ω'={y∈ω|φ(y)}
なのでωの最小性より
ω⊂ω''⊂ω'⊂ω
で
ω=ω''=ω'
なので
∀y∈ω(∀x∈y(φ(x))→φ(y))→∀x∈∀y∈ω(φ(x))→∀x∈ω(φ(x))

【鉄緑】鉄緑会（東京限定）情報交換
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35 名前：実名攻撃大好きＫＩＴＴＹ[] 投稿日：2022/06/05(日) 07:17:06.43 ID:2ieTF67y0
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>>287
直観主義集合論使ってもええけど
選択入れたら排中律、証明できてまうで
ま、今では古典論理でもCurry=Howard成立するって
分かったから直観主義論理に固執せんけどな

>>305
>∀y∈ω(∀x∈y(φ(x))→φ(y))→∀x∈ω(φ(x))
>のタイプの帰納法を成立させることになるし
∀y∈ω(∀x∈y(φ(x))→φ(y))
が成立しているときy=0={}については∀x∈{}(φ(x))=∀x(x∈{}→φ(x))は真なので∀x∈0(φ(x))→φ(0)が真とはすなわちφ(0)が成立することであるし
n∈ωについて∀x∈n+1(φ(x))→φ(n)は真なので
φが
∀n∈ω(φ(n)→φ(n+1))
を満たしていれば
∀n∈ω(∀x∈n+1(φ(x))→φ(n+1))
も満たすので
φが
φ(0)∧∀n∈ω(φ(n)→φ(n+1))
を満たしていれば
(∀x∈0(φ(x))→φ(0))∧∀n∈ω(∀x∈n+1(φ(x))→φ(n+1))
すなわち
∀n∈ω(∀x∈n(φ(x))→φ(n))
も満たすから
∀y∈ω(∀x∈y(φ(x))→φ(y))→∀x∈ω(φ(x))
のタイプの帰納法が成立するとき
φ(0)∧∀n∈ω(φ(n)→φ(n+1))→∀n∈ω(φ(n))
のタイプの帰納法も成立する

φ(0)∧∀n∈ω(φ(n)→φ(n+1))→∀n∈ω(φ(n))
のタイプの帰納法も成立するとき
∀y∈ω(∀x∈y(φ(x))→φ(y))→∀x∈ω(φ(x))
のタイプの帰納法も成立すると思うけど
どう示せば良いのかよく分からないや
∀y∈ω(∀x∈y(φ(x))→φ(y))
が成立しているとき
∀n∈ω(φ(n)→φ(n+1))
も成立することがいえればいいんだろうけど
（φ(0)≡∀x∈0(φ(x))→φ(0)なのでφ(0)は成立する）

なんか
n∈ωによって異なる長さの証明ってのが無限論理みたくてちょっといや
ω無矛盾とかもこの違いを言っているわけだし

双対空間がよくわかりません
これって単なる座標変換のことかと思ってるんですがあってます？

空間が座標変換とはどういう意味？
汎関数の空間でしょ

>>313
反変ベクトル空間とか共変ベクトル空間のようなものですか？

>>314
はい共変ベクトルの空間です

そしてごめん関数空間を念頭において汎関数とかいっちゃったけどただの係数体への線形写像の空間やね

>>258
要するに直観論理は数学的議論に使うには貧弱過ぎるということね。

>>315
ありがとうございます

>>316
さすがにそれは乱暴すぎると思うよ

>>316
埋め込み定理があるから
古典論理の立場からすれば
それほどの違いは無いかと

>>316
だが現状の計算機言語は基本有限の立場だ。
いちばん実用的ともいえる。

カリーハワード同型って
結局のところ
P→Q
が写像（プログラム言語での関数）と見なせて
MPはその適用るってことしか言ってないよな

これの証明教えてください( ; _ ; )
https://i.imgur.com/gOQMpTk.jpg

f(x) = - [ -x]で成立せんやろ

>>322
デルタ関数の表現の一つである
δ(x)＝lim[t→+0](1/π)*{t/(x^2＋t^2)}
を使うと示せます

テスト関数の空間がなんでもいいなら成立せんやろ

いちゃもんつける前に答の本質部分を書けよ無能

>>322
失礼しました、これだけでは上手くいかないですね…
f(x)は[a,b]上連続です、よろしくお願いします

>>324
ありがとうございます
色々調べてみましたがデルタ関数がよく分からなくて理解できませんでした
学部1年生なので色々至らずすみません

δ関数がわからないということがわかったのであれば、調べれば良いのでは。

間違えるので式変形を手でやりたくないです
式変形チェッカーとか式変形してくれるソフトないでしょうか
できれば無料で

をるふらむあるふぁ？

みてみます
ありがとうございます

>>333
意味分からん

連続関数は原始関数存在しますが不連続関数は全て原始関数は存在しないと言う事でいいですかね？

f(0) := 0
f(x) := 2*x*sin(1/x) - cos(1/x) for x ∈ [-1, 0) ∪ (0, 1]

と f を定義すると

F(0) := 0
F(x) = x^2 * sin(1/x) for x ∈ [-1, 0) ∪ (0, 1]

は f の原始関数になるが、 f は x = 0 で不連続。

>>336
おお素晴らしい！
有り難うございます！

A, Bはn×nの正方行列
Sは集合{1,...,n}のべき集合
s⊂Sに対してA_sとB_sはsに含まれる行と列を取り出した小行列　(たとえばs={1,2}なら、A_sはAの1行目2行目、1列目2列目からなる2×2の行列)
s'はSの補集合
とした場合に、
Σ_{s⊂S} det(A_s) det(B_{s'})
ってnの多項式時間で計算できますか？
または、別のシンプルな形に書き換えられたりしますか？

s'はSの補集合　→s'はsの補集合
です

係数環によるやろ
係数環が体に埋め込まれるケースとかならいけるけどそうでないなら無理やろ

>>340
実数または複素数で考えてるのですが、もし計算できるなら計算方法教えていただけると嬉しいです

ハルモスのの言葉を思い出した。応用数学者から質問を受けた経験から得た教訓。
Whatever you do, don't solve the problem you're asked about.

Don't answer the client's question, but, instead, help him to formulate it.

結果それdet(A+B)計算してるだけちゃうの？

>>343
？

行列A
wx
yz
と
行列B
WX
YZ
で>>338の定義で考えると
(wz-xy) +wZ+Wz + (WZ-YZ)
だけど
det(A+B) =(w+W)(z+Z) - (x+X)(y+Y)
とは違う

(a11+b11)(a22+b22)-(a12+b12)(a21+b21)
≠(a11a22-a12a21)1+(a11b22)+(a22b11)+1(b11b22-b12b21)

あらホント
んなに甘くないな

まぁしかしとりあえず列変形で値が不変なのは当たり前だからそれでなんとかなりそうではある

あれ？行変形でも不変かな？
だったらこの手の変形の標準形が見つかってるからそれでいけるはずだけど

どういう流れから生じた問題なのか知りたい。
大体の場合知りたいことと問題の設定がズレている。

>>333
∧

実数xおよび自然数nが与えられたとき、
Σ(k=1,n-1)[x+k/n]=[nx]
が成り立つ事を証明せよ。

解答で
x＝m+a/n(0≦a<n,[a]＝u)と置いて解いてるのですが実数xに対してこう置いても問題ないのはなぜですか？

順にｍを決めてａをｎ（ｘ－ｍ）とすればいい。
あと問題がおかしい。

距離空間の完備化で、もとの空間が完備化した空間の中で稠密になります。この性質をなぜ完備化の条件に課すのですか？
単にもとの空間を完備にするだけではだめなんですか？

x = q + r/n + ρ(ρ ∈ [0,1) )、x₀= q + r/nとすれば
x→x₀としても左辺も右辺も値は変わらない

距離空間Sの完備化S*の定義：
(1) S*は完備空間である。
(2) S*⊃Sである。
(3) S*の真部分集合は完備ではない。

この定義では駄目ですか？

>>356
「Sを含む最小の完備空間」っていう定義が既にあって、それと同値。

駄目。

>>356
＞(3) S*の真部分集合は完備ではない。

一点集合も駄目となるとどうしようもねえなこれ

距離空間Sの完備化S*の定義：
(1) S*は完備空間である。
(2) S*⊃Sである。
(3) S*の真部分集合でSを含むものがあればそれは完備ではない。

この定義では駄目ですか？

>>359
なるほど。
>>360
ではどうですか？

ID:JMskhT+zは何がしたいのだろう？
何に拘っているんだろう？

Sを含む最小の完備空間S*をSの完備化と定義したいのですが、それだと駄目なので、
>>360
ではどうかという質問です。

駄目じゃないよ
Sが一点集合ならSの完備化はS自身で、その真部分集合はSを含まない

「Sの完備化=Sを含む最小の完備空間」は正しい
>>356の駄目なところは「Sに含まれる完備空間が存在しない」という条件を与える(3)

というか元々の>>354見るに完備性と稠密性の定義がわかってないようにしか見えん

「Sの完備化=Sを含む最小の完備空間」は正しい

S=[0,1)とする。
S1*=[0,1]はSの完備化
S2*=[0,1)∪{2}はx∈[0,1)に対してd(x,2)=|x-1|, d(2,2)=0と定義すれば、Sの完備化
S1*⊂S2*でもS2*⊂S1*でもないので、最小の完備化は存在しない。

だからホントにちゃんと理解するにはuniversalityを勉強しないとダメ

距離を変えたらその完備化が変わるのは当たり前だろ。
馬鹿を相手にしてたのか、あ〜あ。

>>368
これが松坂くんクオリティだ
どんまい

可分な距離空間の位相同型類の種類は連続濃度です
可分な位相空間の位相同型類の種類は自明な位相空間だけ考えるだけでもずっと大きい事が分かります
可分なハウスドルフ空間やT0空間、T1空間の位相同型類の種類の濃度はどうなるのでしょうか

>>370

> 可分な距離空間の位相同型類の種類は連続濃度です

え？
そんなのどうやって証明するんですか？

可分だから可算個の稠密集合とってその間の距離関数作ってでなんとなく連続濃度^可算になりそうではあるけど
例えばこの構成で出てるやつは全部非同型とは限らないし
しかもコレで完全にパラメトライズされてる？

>>370
やっぱり嘘やろコレ
(m,n)∈ℕ²に対してℝ²の部分集合C(m,n)を中心(m+1/2,n+1/2)、半径1/2の円とする
0,1の無限列𝕒=aᵢに対して空間x(𝕒)を
x(𝕒) = ℝ×{0} ∪ (∪[i∈ℕ、a=1ᵢ1≦j≦pᵢ] C(2u,j)
と定める(ただしpᵢはi番目の素数)
例えば𝕒=1010101...
だったらX(𝕒)は

│◯◯ (𝕒₁=1 なのでp₁=2個の◯が繋がってる部分を持つ)
│
│◯◯◯◯◯　(𝕒₃=1 なのでp₃=5個の◯が繋がってる部分を持つ)
│
│◯◯◯◯◯◯◯◯◯◯◯
│

みたいな空間とする
違う列は違う空間の同型類を与えてコレらは全部非同形てとりあえずこの時点で連続体無限個ある
さらに𝕒に対して実数r(𝕒)を
r(𝕒)の小数第2i桁=1 iff 𝕒ᵢ=1
r(𝕒)の小数第奇数桁=0
で定めてℝ³の部分集合S(𝕒)を
S(𝕒) = { ( r(𝕒), y,z ) | (y,z) ∈ X(𝕒) }
と定める
次に01列の集合𝔸に対して空間X(𝔸)⊂ℝ³を
X(𝔸) = ∪[𝕒∈𝔸]S(𝕒)
で定める
X(𝔸)の連結成分に含まれてるS(𝕒)にどんなものが入っているかで元の𝔸が完全に復元される、すなわち対応𝔸→X(𝔸)は01列の集合の冪集合からℝ³の部分空間の同型類への単射を与える
ここでℝ³は可分距離空間だからその部分集合も可分距離空間(ソースwiki)
すなわち可分距離空間の同型類の全体は少なくとも2^連続体濃度より大きい

>>333
>>334
野矢「まったくゼロからの論理学」の中の問題？
哲学的論理学？

X := {1, 2, …, n}
T := {S ∈ 2^(2^X) | S に属する集合の要素の数は奇数。S に属する任意の2つの集合の共通部分の要素の数は偶数。}
T に属する集合の中でその要素数が最大であるものの要素数を求めよ。

>>375

T := {S ∈ 2^(2^X) | S に属する集合の要素の数は奇数。S に属する任意の2つの集合の“相異なる”共通部分の要素の数は偶数。}

だとしてmax{ ♯S | S∈T } = 2^n
(証) Sが条件を満たすには任意のA∈Sに対して
A＼∪[B∈S,B≠A]B ≠ Φ
が必要
よってSの各元Aに対してA＼∪[B∈S,B≠A]B の元を選択する関数をとることができて明らかに単射
∴ ♯S≦2^n

>>376
Sが条件を満たすには任意のA∈Sに対して
A＼∪[B∈S,B≠A]B ≠ Φ
になるのはなぜですか？

S ∈ 2^(2^X)

すなわち、

S ⊂ 2^X

であり

#(2^x) = 2^n

なので、

＃S ≦ 2^n

は明らかです。

>>375
解答がない場合には、解答を書き込みます。

>>375

問題を訂正します：

X := {1, 2, …, n}
T := {S ∈ 2^(2^X) | S に属する集合の要素の数は奇数。S に属する任意の異なる2つの集合の共通部分の要素の数は偶数。}
T に属する集合の中でその要素数が最大であるものの要素数を求めよ。

S := {{1}, {2}, …, {n}}

とすると、

S ∈ T

です。

よって、

答えは n 以上になります。