>>27

齋藤正彦さんが、この命題が成り立つのは「当然」と書いているのは、有限次元のベクトル空間が広義固有空間の直和に分解できるという定理の証明の中でです。

T を有限次元ベクトル空間 V 上の線形変換とする。 T の異なる固有値の全部を β_1, …, β_p, それらの重複度を m_1, …, m_p とする。

V = W(β_1) (+) W(β_2) (+) … (+) W(β_p)

が成り立つ。

齋藤さんは、 dim W(β_i) ≧ m_i のほうは証明しています。

そして、 W(β_1) + W(β_2) + … + W(β_p) が直和であることも証明しています。


ちょっと思ったのですが、有限次元のベクトル空間が広義固有空間の直和に分解できるという定理を証明するためには、

dim W(β_i) = m_i であることを証明する必要はなく、 dim W(β_i) ≧ m_i が証明できさえすれば充分ですよね？

dim [W(β_1) (+) W(β_2) (+) … (+) W(β_p)] = dim W(β_1) + dim W(β_2) + … + dim W(β_p) ≧ m_1 + m_2 + … + m_p = n

から、 dim [W(β_1) (+) W(β_2) (+) … (+) W(β_p)] = n が分かりますし、結果的に、 dim W(β_i) = m_i となることも分かります。