N→{0,1}バージョンだけど収束しない例ができたかも。勘違いだったらすまん。

十分早く無限大に発散する整数列c_nを取って、次のように0,1の有限列の列a_n, b_nを定める：
a_1 = 0, b_1 = 1,
a_{n+1} = a_n b_n (a_n)^{c_n},
b_{n+1} = b_n a_n (b_n)^{c_n}.
(積の形に書いてるけど、有限列を並べるという意味)
a_{n+1}がa_nで始まってることに注意して、自然数mに対してa_mのm番目の数をf(m)とする。