証明について質問です
↓で『定理5.6.56』と、これの群論による証明があります
　https://pisan-dub.jp/doc/2011/20110114001/5_6.html
これを群論によらない形で証明できないでしょうか？　（背理法とか？）

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定理は以下の式についてのものです。
　X^n≡a (mod p)　（p：素数）

①この式が解を持つとき、解の個数はd個。
　　d=(n, p-1)　（d：GCD(最大公約数)）

②この式が解を持つ必要十分条件は、以下を満たすこと。
　　a^((p-1)/d)≡1 (mod p)

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特に上記の①について証明を知りたいです
（元の記述から①②の順番を入れ替えています）
よろしくお願いします