高校数学の質問スレ Part419

剰余定理で質問なんですけど、割り算で、余りの次数は商の次数よりも低くなりますか？

ここには面倒なルールは一切ありません。
自由に投稿しましょう。

>>2

剰余の定理は、高次式を1次式で割った
商×1次式+余(定数)
を示すこと

次数は当然商より低いし、次数0とかなしとかとらえられる

https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/k/k-kawanishi/20200413/20200413115751.png

θの計算方法がうろ覚えです

この式の場合、実際にθを代入して計算するとどういう途中式になるのでしょうか
たとえばr= 1 ,θ= 90° の場合

θは角度なのに()の中をどう代入するのか
sin90°が1なのは理解できるのですが
S = 1/2 × (90°- 1 )
となってしまうのですか？

>>4
xp(x)を(x−3)(x−2)^2で割った時の商をQ(x)、余りをR(x)とすると、
xp(x)＝(x−3)(x−2)^2Q(x)＋R(x)という式を作るのを目標にするという説明の後に、R(x)の次数<Q(x)の次数と書いてあったんですけど、余りの次数は商の次数よりも小さいとは限らませんよね？

>>4
(1)xの整式p(x)をx−3で割った余りは2、(x−2)^2で　割った余りはx＋1である。p(x)を(x−2)^2で割っ　た商をq(x)とするとき、q(x)をx−3で割った余り　を求めよ。
(2)p(x)は(1)と同じ条件を満たすものとする。この　とき、xp(x)を(x−3)(x−2)^2で割った余りを求め　よ。

問題文です

>>6
紛らわしいな

正式のの計算なら、商の次数が余りの次数より小さいことはあり得るよ

それと剰余の定理は別の話

正式を一次式で割り込んだ時、余は定数になるよね
それで一次式が0になる変数の値の時、元の正式の値は余りの定数になることを、利用しろってこと

>>5
そのHPの角度θの単位は度ではなくラジアン
つまり弧長/半径です
90度=π/2ラジアン

>>7
答えを知りたいのか、ヒントを知りたいのか？

(1)の結果により
q(x)=r(x)(x-3)-2
と置けることがヒント

複素数平面上の相異なる2点A(α)、B(β)を通る直線ABに原点から下ろした垂線の足をH(γ)とする。
γ=αβとなるために、α、βが満たすべき必要十分条件を求めよ。

xについての方程式
x^2+(cost)x+sint=0…(*)
について、以下の問に答えよ。

（1）tが0≦t<2πを動くとき、方程式(*)が実数解を持つようなcostの範囲を求めよ。

（2）tが0≦t<2πを動くとき、方程式(*)の解が存在する複素数平面上の領域を図示せよ。

(2)って何の絵を描けばいいの？

円に内接する六角形ABCDEFにおいて、3本の対角線AD,BE,CFは1点で交わり、かつ四角形BCEFは正方形であるという。
このとき、この六角形は正六角形と言えるか。

>>13
失礼しました、方程式(*)の解が存在する複素数平面上の領域です。

>>3
できました

単調関数の可積分性。fを単調増加とする。Iの任意の分割に対してm=f(x(k-1))、M=f(xk)
0≦S(⊿)-s(⊿)=
Σ[k=1, m](f(xk)-f(x-1))(xk-x(k-1))
≦Σ[k=1, m](f(xk)-f(x-1))d(⊿)
=d(⊿)(f(b)-f(a))→0となるから
リーマンの可積分条件が満たされる。

正解です。

>>14
できました

連続関数の可積分性。コンバクト集合I上で連続な関数fはI上で一様連続であることは証明済み。
従って任意の正数εに対して正数δが存在して|x-y|<δを満たす全てのx, y∈Iに対して|f(x)-f(y)|<εが成り立つ。
d(⊿)<δとなる任意の分割⊿をとると任意の区間|Ik|<δとなるので、x, y∈Ikの時, |f(x)-f(y)|<εとなる。
0≦Mk-mk=sup|f(x)-f(y)| (x, y∈Ik)<εとなる。
0≦S(⊿)-s(⊿)=Σ[k=1, m](Mk-mk)|Ik|<ε(b-a)→0。
ゆえにS(⊿)=s(⊿) (d(⊿)→0)
リーマンの可積分条件によりfはI上可積分である。

>>10
解説にR(x)の次数<Q(x)の次数となることに注意すると書いてあったので、xp(x)の次数が分からないのに、なんでそうなるのかを知りたかったです。

たぶん
・読み間違い
・解説を書いた奴が底抜けのバカ
のどっちか

>>19
で理解したのかな
>>4 と　>>8
でりかい

できるはず

ちなみに
xP(x)だと、P(x)より次数は一つ上がるね

質問です
f(x)=x^-1 (0<x)を積分するとF(x)=log(x)が得られるのは納得したのですがグラフから0<x<1の範囲でF(x)は負の値をとっています
F(x)はf(x)とx軸の面積の値ではないのですか？

>>21
https://imgur.com/a/Pb206t3

>>25
解説の画像を載せたので、分かる方いらっしゃいましたら教えてほしいです

>>12
傑作です
よろしくお願いいたします

>>24
違います
符号付き面積です
x軸より下の部分はマイナス付きの面積が出ます

できました

リーマン・ルベーグの定理
I=[a, b]、fはI上可積分の時,
lim[t→∞]∫[a, b]f(x)sintadx、
sintxをcostxに変えても同様。
a=bの時, 自明。
a<bの時, 任意の正数εに対して正数δが存在して、d(⊿)<δとなるIの任意の分割⊿に対して
(1) 0≦S(⊿)-s(⊿)<ε/2となる。
fはI上可積分であるからfは有界である。すなわち正数Mが存在して
0≦|f|<Mとなる。a∈I。
今、(1)を満たす分割⊿を1つ固定する。t>0に対して
|costx|≦1、|sintx|≦1
|∫fsin|≦|Σ∫(f-fk)sin|+|Σ∫fksin|
≦Σ(Mk-mk)(xk-x(k-1))+
(M/t)|costxk-cost(k-1)|
≦(S(⊿)-s(⊿))+2mM/t
t0=4mM/εとおくとt≧t0で
|∫fsin|<ε/2+ε/2=ε

Σn/(n^2+k^2)=
Σ[k=1, n](1/n)(1/(1+(k/n)^2))
f(x)=1/(1+x^2)の区間I=[0, 1]をn等分して得られる分割⊿nに関するリーマン和の1つである。代表点ξk=k/nとした。
fはI上単調減少または連続であるから可積分である。積分を実行して、π/4。

正解です。

できました

指数関数の直交性。
複素数に対して内積を入れる。

F'=f、(F○φ)'(t)=F'(φ(t))φ'(t)
=f(φ(t))φ'(t)
φ(t)はJ上連続であるからf(φ(t))はI上連続で可積分であり、φ'(t)はI上可積分であるから
∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ'(t)dt
(積分区間は対応して変わる)
変数変換公式、置換積分法の公式

左辺の微分=fg'、
右辺の微分=g'f+gf'-gf'=g'f
部分積分法の公式

f(x)=(1/(x^2+2px+q))
D=0の時, -1/(x+p)
D>0の時, (1/2√(p^2-q))log|(x+p-√)/(x+p+√)|
D<0の時, {1/√(q-p^2)}Arctan((x+p)/√(q-p^2))

>>27
できました

x^2/(x+1)^2(x-2)
x^2=A(x-2)+B(x+1)(x-2)+C(x+1)^2
A=-1/3, C=4/9, B=5/9
1/3(x+1)+(5/9)log|x+1|+(4/9)log|x-2|

1/(x^3+1)
1=A(x^2-x+1)+(Bx+C)(x+1)
A=1/3、B=-1/3、C=2/3
(1/3)log|x+1|-(1/6)log|x^2-x+1|
(1/√3)Arctan((2x-1)√3)

>>26
ちょっと解説忘れよう

>>10 は理解できるか？

>>26
で、理解できたら
p(x)をr(x)含んだ式で書いてくれる

>>12(1)
D=cos^2t-4sint≧0
-2√sint≦cost≦2√sint
∴-2≦cost≦2
こうかな？

そいつは解説の「余りの次数<商の次数」の文言に疑義を呈しているのであって問題自体を教えてくれとは言ってないだろ
言い方は悪いが質問の意図すら理解できないヤツに「理解できるか？」と上から目線で講釈垂れられてるのはさすがに可哀想で見てられない

>>36
お前が教えてやれ

>>36
俺も質問者と同じ疑義持つよ

だけど解説に対して間違いだと言い切る根拠もない
だとしたら、解説考えるのやめて、別の解き方教えるのが良くない？

>>38
割る数が3次式なので結局、式を変形して余りを2次式以下にしないといけないことは理解しています。しかし，どうしても余りの次数<商の次数という文言が気になりました。おそらく解決しないようなので、問題の解説自体は大丈夫です。

>>36
R(x)はたかだか2次式確定だけど
Q(x)が1次式であること、解く前に否定できる？

>>39
理系数学入試の核心という定番の問題集なんで、流石に誤植というわけではいと思うんですけどね...

>>39
私も正直、疑義持ちます。
でも間違いと言い切る根拠がない。

だとしたら解説無視したらとしか言いようがない。

https://imgur.com/a/A7QRpWZ
いちおう答えも載せておきます。

xp(x)かQ(x)の次数のどちらかを確定することができる方法があれば、解決できると思います。

>>44
どうなんだろね
解決できないんじゃない？

初めからわかるって、問題の意義なさないし
余りがたかだか2次式しか、言えないでしょ

問題が解けてるなら、正直言うことなし

>>36
でさ
お前、解説に即した解答してみろよ

可哀想で見てられないんだろ

参考書や問題集って、結構誤植や誤りってあるんだよ
でも、正面切って否定できる根拠がなければ、別の解き方教えるのが建設的なんだって

今回の場合、誤植ってレベルでなく誤りっぽいんだけど、それ証明する手間暇考えたら、別の解き方したらにしたほうがいいんじゃないかって、それだけの話さね

>>18
リーマンって言葉普通の高校生知らんぞ
それ高校数学の話か？

>>24
まず主題とは関係ない間違いとして、1/x(0<x)の原始関数F(x)は
F(x)=log(x)+C(Cは積分定数)だね

んで端的に説明すると、不定積分と定積分を混同してる
不定積分で出てくるのは、原始関数であり、これ自体は面積では無い

面積S=∫[a→b]f(x)dx=F(b)-F(a)だから

つまり面積の符号は、ある点におけるF(x)の符号じゃなくて、原始関数の増減で判断できる

log(x)は狭義単調増加するからF(b)-F(a)は正となって、1/xのグラフを書いた時に期待できる面積の符号が正であることとも合致する

小学生での四角形上の点の速度なんかの問題は
あれ、数学じゃなく、微積や物理の問題だよね

まだ、物理、数学に分化してないレベルだからしょうがないけど

>>26
できました

その解説は誤りである。
以下の解答により、商の次数が不要であることを示す。

mod (x-2)^2(x-3)で考える。
2つの条件より
p(x)≡-2(x-2)^2+x+1とおける。
∴xp(x)≡-2x(x-2)^2+x^2+x
≡-6(x-2)^2+x^2+x
=-5x^2+25x--24 (答え)

この解答には商が出現しない。
この問題は「p(x)を適当な多項式によって分類する問題(剰余類)の問題」なので商は関係ない。従ってその解説は誤りである。

>>24
できました

以下最後まで、x>0、0<a≦bとする。
関数f(x)=1/xは単調減少関数または連続関数なのでx>0の適当なコンパクト集合上で可積分である。

y=1/xとx軸、縦線x=a、x=bで囲まれた部分の面積は∫[a, b]dx/xで表される。→定積分。
この場合、コンパクト集合I=[a, b]というのが前提で、∫[a, b]f=-∫[b, a]fが成り立つ。

ご質問のケースではx>0において
logx=∫[1, x]dt/tから出発して、x>1では正、x<1では負、x=1では0になると考えると良い(不定積分の下端をx=1に固定する)。logxの符号は関数f(x)=1/xをコンパクト集合[1, x]で積分するか[x, 1]で積分するかの違いに相当する。コンパクト集合というのはここでは積分区間(有界閉区間)のこと。

ついやってもうたてへぺろな間違いじゃなくて、ものすごく頭の悪そうな間違いだよね

>>36 が何に憤りを覚えてんのか知らんが
可哀想と思うなら自分で教えろって

参考書に従った解答示せよ

できました

tan(x/2)=tとおく
dx=2dt/(1+t^2)、cosx=(1-t^
2)/(1+t^2)で変数変換する。
2(1-a)/(1+a)dt/
(1-a)^2/(1+a)^2 +t^2
2Arctan{(1+a)/(1-a) tan(x/2)}

tanx=tとおく
dx=dt/(1+t^2)で変数変換する。
(dt/b^2)/(a^2/b^2+t^2)
(1/ab)Arctan(btanx/a)

t=√(x-α)/(x-β)とおく
x-β=(α-β)/(-t^2+1)
dx=(α-β)2tdt/(1-t^2)^2で変数変換する
dx/t(x-β)=2dt/(1-t^2)
log|(√x-α+√x-β)/(√x-α-√x-β)|

if関数の意味を教えて下さい
floorとはなんですか？また、どうして数式内に以上、以下があるのでしょうか？

m,nともに任意の自然数であるとき、
10^mn+10^n=1≡mod 10^n-1は値を問わず成り立ちますか?

>>56
エクセルの話かな
①if関数の意味を教えて下さい
→ある条件を設定して合致した時としなかった時で処理を変えてくれる関数

②floorとはなんですか？
→入力された値を任意の基準値の倍数に最も近い値へと端数処理してくれる関数

③どうして数式内に以上、以下があるのでしょうか？
→たとえば会計が1万円「以上」の場合10%割引
9999円「以下」の場合5%割引という条件設定して①で処理する
さらに割引後の金額をうん十円を切って端数をうん百円で揃えて提示したい時②の基準値を100に設定し処理すればよい

>>57
10^mn+10^n=1≡mod 10^n-1は値を問わず成り立ちますか?

→ 10^mn+10^n≡1 (mod 10^n-1)が成り立つかという質問でいいのかな

m=n=1のとき
10^1+10^1=20
mod 10^1-1=9
∴20≡2 (mod 9)

じゃないかな

sin1°、cos1°の少なくとも一方は無理数であることを証明せよ。

ともに有理数だと仮定するとtan1°が有理数となり
その倍角も有理数となるのでtan64°とtan4°も有理数となり
加法定理よりtan(64°-4°)=√3が有理数となるので矛盾

結局倍角公式の他に加法定理も使うなら、最初から使えばいいのに

確かに

>>58
ありがとうございました

できました

x+1=1/tとおくとdx=-dt/t^2、
-dt/√(t-1/2)^2+3/4
-log|t-1/2+√(t^2-t+1)|
-log|(-x+1+2√(x^2+x+1))/2(x+1)|

楕円積分((1-x^2)/(1+x^2))/√(1+x^4)
x+1/x=1/tとおくと
((1-x^2)/x^2)dx=dt/t^2
(dt/1-2t^2)=
(1/√2)Arcsin(√2x/(x^2+1)

部分積分法、漸化式
s^(n-1)c'=(n-1)s^(n-2)-ns^(n)
I(n)=(n-1)/nI(n-2)-s^(n-1)c/n
これでn=0, 1, -1, -2に帰着させる

定積分I(n)=((n-1)/n)・I(n-2)
I(2n)=(2n-1)!!/(2n)!!・π/2
I(2n+1)=(2n)!!/(2n+1)!!・1
t=π/2-xと変数変換するとI(n)=J(n)が示せる。

A=[0, 1)でfは連続であるから任意のu∈Aに対してfは[0, u]上可積分である。π/2、広義積分は収束する。

A=[0, ∞)でfは連続であるから任意のu∈Aに対してfは[0, u]上可積分である。広義積分はπ/2に収束する。

A=(0, 1]でfは連続であるから任意のu∈Aに対してfは[u, 1]上可積分である。広義積分は-1に収束する。

a[n+1]=a[n]/{a[n]+n!}
の一般項を求めることは可能ですか？

初項がないので無理

半径1、中心Oの円Cがある。
Cの1つの半径上に点AをOA=a(0<a<1)となるようにとる。
C上を点Pが動くとき、△OAPの面積の最大値をaで表せ。

>>67
ご指摘ありがとうございます、a[1]=1です。

逆数は
1/a[n+1] = n!/a[n] + 1
1,2,5,31,745,89401,64368721...
なんも思いつかんな
無理ちゃう？

>>68
底辺OAがa、高さOPはOAと直交するとき最大で1だから△OAPの最大はa/2

>>71
間違えた
✕c[n+1](n+1)-c[n]n?n!=(n+1)?(c[n+1]-c[n])　だから　c[n+1]-c[n]=1/(n+1)?
○c[n+1](n+1)?-c[n]n?n!=(n+1)?(c[n+1]-c[n])　だから　c[n+1]-c[n]=1/(n+1)?

少なくともexplicitには解けないんやろな
https://oeis.org/A051399/internal

実数から実数への、恒等関数でない関数f(x)で、3回合成関数f(f(f(x)))が恒等関数になるものはありますか？

>>75
ないんじゃないの
三次関数の解の公式求める際に同じこと議論しないかい

>>75
x=0 のとき 0 で、それ以外では 1-1/x　とか

>>77
ゴメン、それ恒等関数？

f○f(x)で、x-1が分母に表れてしまうんですね。手直しします。、

x=0 のとき 0 で、x=1のとき 1で、それ以外では 1-1/x

要するにRを３つA,B,Cに分けて全単射p : A→B、q : B→Cをとってきて r = (qp)⁻¹と定めて
f(x) = p(x) ( if x ∈ A )
q(x) ( if x ∈ B )
r(x) ( if x ∈ C )
にすればいい
A = ∪[3n,3n+1)
B = A+1,
C = B+1
でp,qはx+1をA,Bに制限してすればいい

△OAPにおいて∠POAをθ(0°≦θ≦360°)とおくと、
△OAP=(1/2)OA・OPsinθ=asinθ/2
θ=90°,270°のとき
△OAP=a/2(最大値)
sin270°=-1だけど図は最大だからOK

a[1]=1
a[n+1]={a[n]}^3+1
で与えられる数列がある。
このときa[n]をa[k](k=1,...,n-1)で割った余りを求めよ。

1

今日明日の天気、週間天気、ピンポイント天気で共通する主な天気マークです。
１晴れ
２くもり
雨は降らない
３雨
４雪
５くもり
雨の可能性あり
６大雨
７大雪
８暴風雨
９暴風雪
この９つのうち全てのパターンを教えてください。

なお、主な予報の種類は以下のパターンになります。

『のち』： 前半と後半で天気が変化するときに用います。

『時々』： 天気が断続的に変わります。断続的な天気の合計時間は予報期間の1/2未満です。

『一時』： 一時的に天気が変わります。一時的な天気は予報期間の1/4未満です。

ルールが全く分からん
使える単語は
雨のち雨一時雨時々雨
とかもいいのか？
晴れ一時曇り時々雨
とかもいいの？
つまり“のち”、“時々”、“一時”は好きな回数使ってよくて“晴れ”、“雨”、“曇り”は自由に入れていいの？
こんな気象用語のルールなんか知らないよ

例えば基本晴れだけど断続的な雨が1/10くらいはあって一時的に1時間ほどずっと雨の状態が1/10両方ある場合に「晴れ時々雨一時雨」もありなん？

>>85
失礼。
言いたいことは雨のち晴れとか
晴れのち雨とかに使います。
ただ雨のち雨は無効でお願いします。
それなら雨のみなので。
また雨ときどき曇りとか
曇りときどき雨とかも含まれます。
また一時雨とかそういうものも含まれます。
他に質問はないでしょうか？
宜しくお願いします。

>>86
基本晴れなら晴れ一時雨です。
宜しくお願いします。

>>87
イヤ、分からんところ山ほどあるけど
例えば
・午前中は基本晴れ、一時的に雨、でも曇りになる時もちらほら
・午前中は基本雨、一時的に晴れ、でも曇りになる時もちらほら
なら

晴れ一時雨時々曇り、のち雨一時晴れ時々曇り

はありなん？
とりあえずホントの気象庁のルールはともかくとして、数学の組み合わせの問題として答え出したいならその辺のルールは自分でキチンと決めとかないと答えなんか出せるはず無いよ
基本ルールは
・A、A一時B、A時々C、A一時B時々Cの4パターン、そこにA,B,Cに晴れ、雨、曇りが入る(同じのは入らない)
・上でできる3+6+6+6=21パターンが午前と午後で切り替わって21×20通りもあり得る
だけ？他にない？

nについての帰納法は

induction on n ですか
induction over n ですか

>>89
・午前中は基本晴れ、一時的に雨、でも曇りになる時もちらほら
こちらは晴れのち雨もしくは曇りで大丈夫そうです。
基本条件としては定義をするなら

前回にあるように

『のち』： 前半と後半で天気が変化するときに用います。
『時々』： 天気が断続的に変わります。断続的な天気の合計時間は予報期間の1/2未満です。
『一時』： 一時的に天気が変わります。一時的な天気は予報期間の1/4未満です。
これだと９かける８＝７２通りが３つで２１６通りで
あったますでしょうか？自信がないです。

1/4円 の重心の求め方を教えてください

>>91
考えてみたけどもっとめんどくさい

9種類の果物で100mlのミックスジュースを作る
この時配合割合によって名前が変わる
ベース=b
時々=c
一時=d

1種類=9
2種類=9*8*3
3種類bcc=9*(8C2)
3種類bcd=9*8*7
3種類bdd=9*(8C2)

4種類、この時25パーずつをどう捉えるか

天気に戻すと
晴れ、雨、雪、くもりがそれぞれ6時間の場合
これをccccとしてカウントするのか
bcccとして「晴れ時々雨時々雪時々くもり」
「雨時々晴れ時々雪時々くもり」と朝一の天気で名前を変えるのか

とここまで考えたがめんどくさくなって諦めた
もっと簡単な考え方があるかも？

時刻0に、xy平面上の原点(0,0)が赤く塗られている。
時刻n+1において、時刻nの時点で赤く塗られている格子点に隣接する格子点を赤く塗る。
たとえば時刻1においては、4点(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)が赤く塗られる。
時刻nにおいて、何個の格子点が赤く塗られているか。nで表せ。

前>>81
>>94
n=3のとき4×4+3×3
∴nに対し(n+1)^2+n^2=2n^2+2n+1

>>93
んあー
3種類の時も4:4:2の時をbcdとしてカウントしちゃってるしやっぱりこれじゃダメだ

時刻ｔに第一象限にある赤い点の個数をa(t)とする
原点でないx軸上の赤い点の個数をb(t)、原点でないy軸上のそれをc(t)とする
a(1)=0、b(n)=n、c(n)=n　は明らか
a(t+1)は時点tにおける第一象限と原点でないx軸上にある赤点全体を一つ上に
ずらしたものなのでa(t+1)=a(t)+b(t)=a(t)+t
ゆえにn>1のとき　a(n)=a(1)+Σ[t=1,n-1]n=n(n-1)/2
題意の数は　n>1のとき4a(n)+2b(n)+2(c)+1=2n(n-1)+2n+2n+1=2n(n+1)+1

間違えた
✕原点でないx軸上の赤い点の個数をb(t)
○x軸上の正の部分にある赤い点の個数をb(t)

1種類=9
2種類=9*8*3
3種類bcc=9*(8C2)
3種類bcd=9*8*7
3種類bdd=9*(8C2)

これの合計ってわかりますか？

>>99
> 1種類=9
> 2種類=9*8*3=216
> 3種類bcc=9*(8C2)=252
> 3種類bcd=9*8*7=504
> 3種類bdd=9*(8C2)=252

合計=1233だけども

上は晴れ4割くもり4割雨2割とかの時が場合分けされてる総パターンで以降も4種類〜9種類までの場合分けも考えなきゃいけないしあんまり役立たないと思う
なんかのテキストの問題なら多分他の計算方法があるはず

１００さん。
ありがとうございます。
合計=1233ですね。

家に松坂和夫の解析入門という
全6巻の本があります。
父が昔読んだそうです。
30年ぐらい前の本です。

これは今売ってる松坂の数学入門全6巻と
内容は同じでしょうか？

どうして解析入門から数学入門へと
タイトル変えたのでしょうか？

a,b,c,dは自然数でA(a,b),B(a+c,b+d).C(c,d).Ｏ(0,0)とする。これらを頂点とする平行四辺形OABCの周を除いた内部をSとするとき、
ad-bc＝2のとき、Sの中に格子点があれば、それは平行四辺形の対角線の交点であることを示せ

この式の因数分解を教えて下さい

https://i.imgur.com/CPr5vH1.jpg

>>104

x-y が因数になるよ

1項2項5項と3項4項を分けて考える

↑(a,b)と↑(c,d)の張る平行四辺形の面積の平方は両ベクトルのなす角をtとするとき
両ベクトルの長さの二乗の積*(sint)^2=両ベクトルの長さの二乗の積*内積の二乗
=(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2=(ad-bc)^2
ゆえに格子点が作る平行四辺形の面積の最小は1で格子点が作る三角形の最小は1/2
そしてad-bcは題意の平行四辺形の面積となるので面積は2

仮にSに格子点ｐがあるとすると△POA、△POB、△POC、△PODがあるが
これら面積の和が題意の平行四辺形の面積である2を超えないためには
これら4つの三角形の面積は全て等しく1/2であることが必要
もしpが対角線の交点になければ面積の等しくない三角形があることになるので矛盾

>>107
自然数で三角形の最小値は1/2にはならんやろ

考え方はいいけど

あ、なるか、すまん、ゴメン

>>107
ありがとうございます。

一つ質問なんですが、解答だとOAを底辺としてPの高さがCの高さの半分…�@、OCを底辺と見ればPの高さはAの高さの半分…�A
この2つの点を満たすPは明らかに平行四辺形なら対角線の交点である。

と解答に書いてあるんですがなんかこの�@かつ�Aっていうのがいまいちしっくりこないです。�@または�Aじゃないですか？�@を考えたときに高さ半分のところに格子点があれば良いだけであって一つしか格子点がないとも限らなくないですか？
申し訳ないんですけど回答お願いします。

文字化けすみません

一つ質問なんですが、解答だとOAを底辺としてPの高さがCの高さの半分…1、OCを底辺と見ればPの高さはAの高さの半分…2
この2つの点を満たすPは明らかに平行四辺形なら対角線の交点である。

と解答に書いてあるんですがなんかこの1かつ2っていうのがいまいちしっくりこないです。1または2じゃないですか？1を考えたときに高さ半分のところに格子点があれば良いだけであってその直線上に一つしか格子点がないとも限らなくないですか？

間違えた
✕△POA、△POB、△POC、△POD
○△POA、△PAB、△PBC、△PCO

>>110
＞�@または�Aじゃないですか？
�@だけだと△POA=△BPCが言えるだけでなのでもし�Aを満たさない場合は
△PAB＝△PCOが言えなくなるのでこのうちのどちらかは1/2を超える
つまり4つの三角形の面積の和は2を超えて矛盾なので�Aも満たす必要がある

>>110
しっくりこなくていいよ
そんなもん解答になってない

「明らかに」がいい感じに胡散臭さにのスパイスになってるね

あー格子点の三角形の面積の最小値が1/2なのに＝じゃないって事はもう片方は1/2よりは大きくなるって事か
結果的にかつじゃないとダメって事ですね
わかりました。ありがとうございます。
他の回答してくれた方もありがとうございます。

>>105
？
その因数を使ってどのように因数分解するんでしょうか？

あ、ごめんなさい>>116ですがやっぱ出来そうです
ありがとうございました

>>104が(x-y)二乗-z(x-y)になったのですがこれで完成ですか？
あとどうすれば良いでしょうか

よく見ろ

ここから括り方が分かりません

放物線y=x^2で、点(0,0)は頂点と呼ばれますが、双曲線やだ円でも頂点と呼べる点はありますか。

たとえば双曲線xy-1=0では(±1, ±1)は頂点でしょうか。
だ円x^2+(y/2)^2=1で(±1,0)や(0,±2)は頂点でしょうか。

>>119
(x-y)が共通因子なので括りましょう

=(x-y)(x-y-z)

一個ずれた

仮説検定の基準となる確率って
いったいどこから湧いてくるんですか？
(´・ω・｀)

>>124
1%,5%のこと？

前>>95
>>104
与式=(x-y)^2-z(x-y)
=(x-y)(x-y-z)

>>122
>>126
ありがとうございます！

実数xおよび自然数nが与えられたとき、
Σ(k=1,n-1)[x+k/n]=[nx]
が成り立つ事を証明せよ。

解答で
x＝m+a/n(0≦a<n,[a]＝u)と置いて解いてるのですがこう置いても問題ないのはなぜですか？

放物線C:y=x^2上に2点A(a,a^2),B(a+1,(a+1)^2)をとり、C上に∠APB=90°となるように点Pをとる。
このような点Pは各aの値に対して何個あるか。

正の実数x,y,zが
(x+1/x)^2+(y+1/y)^2+(z+1/z)^2=4+(x+1/x)(y+1/y)(z+1/z)
を満たすとき, xyz=1を示せ

https://www.wolframalpha.com/input?i=factor+%28x%2B1%2Fx%29%5E2%2B%28y%2B1%2Fy%29%5E2%2B%28z%2B1%2Fz%29%5E2-%284%2B%28x%2B1%2Fx%29%28y%2B1%2Fy%29%28z%2B1%2Fz%29%29&lang=ja

一辺の長さが1の正五角形の周および内部に含まれる正方形で、面積最大のものの面積を求めよ。

この証明をお願いします
sin(x) cos(x) (tan(y) + tan(x + y)) - sin(y) cos(y) (tan(x) + tan(x + y)) = sin(x + y) cos(x + y) (tan(x) - tan(y))

https://www.wolframalpha.com/input?i=sin%28x%29+cos%28x%29+%28tan%28y%29+%2B++tan%28x+%2B+y%29%29+-+sin%28y%29+cos%28y%29+%28tan%28x%29+%2B+tan%28x+%2B+y%29%29+-+sin%28x+%2B+y%29+cos%28x+%2B+y%29+%28tan%28x%29+-+tan%28y%29%29&lang=ja

これ因数分解できるのか、、手計算の加法定理や和作積公式の変形は嵌ってぜんぜんできんが、
sin(x) cos(x) (tan(y) + tan(u)) - sin(y) cos(y) (tan(x) + tan(u)) - sin(u) cos(u) (tan(x) - tan(y))
=sec(u) sec(x) sec(y) sin(u + x) sin(u + y) sin(x - y) sin(u - x - y)

u= x+y のとき sin(u - x - y)=0

重心と垂心と外心の重心座標から３点が一直線上（オイラー線）にあることの証明のために
行列式を手計算で出来なかったのでした.
Determinant({{1,1,1},{sin(2A),sin(2B),sin(2C)},{tan(A),tan(B),tan(C)}})=
-2 sec(A) sec(B) sec(C) sin(A - B) sin(A - C) sin(B - C) sin(A + B + C)

>>136
sin(B - C) (sin(A))^3 + sin(C - A)(sin(B))^3 + sin(A - B)(sin(C))^3 = sin(A - B) sin(A - C) sin(B - C) sin(A + B + C)

(n+1)^2+1がn^2+1の倍数となるような正整数nをすべて決定せよ。

>>133>>135
>この証明をお願いします
>sin(x) cos(x) (tan(y) + tan(x + y)) - sin(y) cos(y) (tan(x) + tan(x + y)) = sin(x + y) cos(x + y) (tan(x) - tan(y))

まず、方針を立てた方が良い。チャート式として
＜チャート式＞
1）式をにらむ。式複雑。で等号証明問題だと分かる
2）複雑→簡単 の式変形は楽。例えば、二つの式のかけ算を展開するとかは単純計算だ。逆は難しい、例えば因数分解は展開より難しい。
3）等号証明問題の場合、a)左辺→右辺、b)右辺→左辺、c)左辺→簡単な左辺、右辺→簡単な右辺として、簡単な左辺＝簡単な右辺を示す

＜具体的当て嵌め＞
1）再度式をにらむ、まず右辺 sin(x + y) cos(x + y) は加法定理で、二つの式のかけ算にして展開する
　左辺 tan(x + y)も、加法定理でバラス。但し、このとき tan(x + y)＝sin(x + y)/cos(x + y)とする方が良いことに気づく（下記）
　tan(x)とかtan(y)も、sin(x)/cos(x)、 sin(y)/cos(y) にして、sinとcos の式だけにして単純化するべし
（単純化がキーワードです。tan(x)＝sin(x)/cos(x)は気づかないと。テクニックとして常に意識するべし）
2）上記1）の方針で、左辺をばらして、sin cos の順で、べきも昇べき順に整理するべし。右辺も同様
　整理した左辺と右辺を比べる。「同じ式になった。よって等号成立。」と書く
3）”これ因数分解できるのか”>>135 は、受験テクニックとしては、方針違い。積の展開を優先すべき。受験外として、因数分解を考えるのは楽しいかも

>>134
WOLFRAM か。面白いね
”結果 0”とあるから、上記方針でばらしていけば、0じゃないかな

通りすがりですが
この方針でやれば、出来るはず（やってないけど）
やってみてください

>>139
＞ 3）等号証明問題の場合、a)左辺→右辺、b)右辺→左辺、c)左辺→簡単な左辺、右辺→簡単な右辺として、簡単な左辺＝簡単な右辺を示す

補足
等号証明問題の場合、方針が3つあるってことね
・左辺が複雑で、右辺が簡単なら、左辺→右辺
・逆なら、右辺→左辺 （同じ等式でも、こっちの方が 少しだけ難易度上かも）
・両方複雑ならば、複雑→簡単 の方針で、各辺をばらして比較する
ってことね

任意の正整数nに対して、方程式
x^n-nx+p=0
が整数解を持つような0でない整数pが存在することを示せ。
また、そのようなpは無数に存在するかどうか答えよ。

p=0のみ

「音声の時代が来る」ボイシーＣＥＯ、緒方憲太郎さん

音声の時代を予感したのは、技術への着眼もある。
「動画は映画、テレビ、ユーチューブ、ティックトックと
新しいフォーマットが次々と出てきたが、音声はラジオのままだった」
ネットの時代に合った音声フォーマットを作れば、需要はあると
踏んだのだ。歩きながらでも、家事をしながらでも、音声は聞く
ことができる。テキストや映像より身体拘束が少ない。
「歴史的に人は、情報を得る手間を省いてきた。情報との接点が
より自然になると、音声はもっと生活の中に入ってくると思う」
ボイシーを起業後、スマートスピーカーやワイヤレスイヤホンなど、
音声機器が急速に浸透してきた。
音声との接点が増え、追い風が強くなっている。時代があとから
ついてくるのは、起業家の醍醐味(だいごみ)だろう。
月収６００万円を稼ぐパーソナリティーも出てきた。

(a+b+c)(ab+bc+ca)+kabc
が因数分解できるような整数kの値をすべて求めよ。

なんであっても因数分解はできるんじゃね？

pが素数のとき、C[p-1,k] (0≦k≦p-1) はmod p で1か-1になるといえますか

言える

甥っ子に質問受けて全然覚えておらず、、、どなたか助けてくださいm(__)m

・1/10の確率で当たるくじを30回引くとき、当たりくじの本数がa本となる
確率、期待値、分散、標準偏差を求めよ。

確率が30Ca×(1/10)*a×(9/10)*(30-a)だとは思うのだけど、期待値でΣに
落とし込むのがもう思い出せぬ。ましてや文系出身で分散、標準偏差もほぼ壊滅、
お願いしますm(__)m

事象の確率はあるが事象の期待値、分散、標準偏差などない

aの取りうる値全体を確率変数と考えれば
値は求まるでしょ

まあ、次からは
問題文を正確に書いた方がいい

>>150
その用語の使い方もおかしい
まずそもそもこんな数学Aで習う範囲の用語すらまともに意味わかって無くて理解なんぞできるハズない
そんな付け焼き刃で身内とはいえど数学指導するなどもってのほか

>>148の質問自体は普通に意味の通る質問でしょう。

>>149 はこのスレで回答者となるためにはちょっとエスパー能力が低いかな。
>>150 は確率変数という言葉を不用意に使っている点で、うっ？　だね。

>>152
問題の意味ももちろんわかる
しかしこのレベルの質問者に答えの出し方だけ教えてもかえって逆効果
あまりにもひどすぎる
そもそも指導してるなら手元に高校の教科書あるんやろそこに書いてあるレベルのしかもごく初歩の用語がわかってない
おそらくこのレベルだと教わってる方がわかってる
こんな奴に教えても無駄

>>148
>・1/10の確率で当たるくじを30回引くとき、当たりくじの本数がa本となる
>確率が30Ca×(1/10)*a×(9/10)*(30-a)だとは思うのだけど

探せば、どこかにあると思うが、
すぐ見つからず 面倒なので下記をば

1）まず、小さい数で試すことから始める
　この場合、くじを戻す（下記）と考えて
　xが当り、ｙ外れとして （x=0.1, y=0.9, x+y=1）
　1回試行なら、当りか外れかで、当り確率x=0.1
　2回試行なら、1回当りは 先にxの後yか、先にyの後xかで、xyとyx で、2*0.1*0.9=0.18 注1
　因みに、xxは、0.1^2=0.01。yyは、0.9^2=0.81。xx+2xy(xyとyx)+yy=0.18+0.01+0.81=1成立
　これは、(x+y)^2=x^2+2xy+y^2 と2項展開になっています
　3回試行なら、2回当りは 上記同様 xxy,xyx,yxx の3通りで、3xxy=3*0.1*0.1*0.9=0.009*3=0.027
　略すけど、2回試行と同様に、この場合も、2項展開 (x+y)^3=x^3+3xxy+3xyy++y^3 と試行の場合分けが一致します
　その合計は、x+y=1から、(x+y)^3=1が従います
2）よって、一般n回試行でr回当りの確率は、n次の2項展開 (x+y)^n で、x^r の係数に等しいと分かるので
　その確率は、nCr*(x^r)*(y^n-r) 注2
3）これを、元の問題に当て嵌めると、「1/10の確率で当たるくじを30回引くとき、当たりくじの本数がa本となる確率」
　は、30C5*(x^5)*(y^25)＝30C5*(0.1^5)*(0.9^25) となる
　余談ですが、エクセルでそのまま計算させると、精度がちょっと心配かも（桁あふれとかに気をつけて、うまく順番を調整して計算するのが良さそう）
　（上記の「30Ca×(1/10)*a×(9/10)*(30-a)」は、ちがうね）

注1：*は積の記号で、エクセル記法と同じ
注2：(y^n-r)は、(y^(n-r))の略記です。カッコが多すぎると、みにくいので、略記した。手書きだと指数がカッコなしで 肩に書けるが、ここでは書けないので。

つづく

>>154

つづき

(参考)
https://hs-math.komaro.net/kakuritsu-kuzibiki/
高校数学の無料オンライン学習サイトko-su-
数学A確率くじ引きの確率・確率の総合問題

https://study-line.com/kakuritsu-kuji/
数スタ 中学2年生確率【くじ引きの確率】くじを戻す、戻さないそれぞれの問題を解説！

https://sukinakazu.net/tokikata/kakuritu-tokikata-kuji.html
確率の求め方・くじ1
●くじの問題パターン
●くじを戻すときと戻さないときの違い
●くじを戻すときの樹形図の書き方
●くじを戻す問題
●くじを戻す問題の解き方1
●くじを戻すときの樹形図
●くじを戻す問題の解き方2

https://qiita.com/yz2cm/items/03261054b718af032205
Qiita　@yz2cm 更新日 2015年06月07日
場合の数（nPr,nCrの意味について）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E4%BF%82%E6%95%B0
二項係数
歴史と記法
nCk などがあり、何れも文字 C は組合せ (combination) や選択 (choice) を表している。
(引用終り)
以上

>>148
二項分布の期待値と分散は検索すればいろんなところに
証明がのってるけど、npとnp(1-p)になる。簡単に言うと、
期待値は１回当たりの期待値がpなので、試行回数分足し合わせてnp。
分散も１回当たりの分散p(1-p)^2+p^2(1-p)=p(1-p) をn回分足し合わせるだけ。

よって、期待値は30*(1/10)=3、分散は 30*(1/10)*(9/10)=2.7

>>154
>　（上記の「30Ca×(1/10)*a×(9/10)*(30-a)」は、ちがうね）

ここ
ひょっとして、(1/10)*aが べき (1/10)^a の意図なら、正しいね
ただ、べき は普通 ^ か、または** ですね（下記）
なお、* 一つだけだと 積の意味です。普通は（下記）

（参考）
https://math-fun.net/20191030/3305/
趣味の大学数学
数学における^記号の意味、読み方は？
2019年10月30日2020年5月4日
数学における^記号の意味、読み方
^記号は、数学においてはべき乗（掛け算の繰り返し）の指数を表すために使われます。
^記号は、サーカムフレックス、キャレット、ハット記号と呼ばれます。
僕の日本語話者との経験では、ハット記号と呼ぶのが一番伝わりやすいかと。ただし、3^2と書かれていたら、「さんのにじょう」と読むでしょうが。
コンピュータにおける計算でも、ベキを表すために、^または**が使われます。
ワードソフトやTEXを使わない普通の文章では、上付き文字を使うことができません

つづく

>>158
つづき

https://www.nli-research.co.jp/report/detail/id=62419?site=nli
シンクタンクならニッセイ基礎研究所 > 保険 > 保険計理 > 数学記号の由来について（１） 四則演算の記号（＋、－、×、÷）
2019年09月02日 保険研究部 研究理事 中村 亮一
第1回目の今回は、四則演算の記号（＋、－、×、÷）の由来について、報告する（なお、実際のより詳しい記号の歴史や経緯等については、脚注に掲げた米国の数学者、数学史家のフロリアン・カジョリ（Florian Cajori）の文献1等を参考にしていただくことにして、ここでは筆者の判断に基づいて、ポイントのみを報告している（次回以降の報告でも同様である））。
1 主として、以下の文献を参考にした。
Florian Cajori「A History of Mathematical Notations」（1928、1929）の冊子の再発行版（2012）（Dover Publications Inc.）

掛け算（かける）記号のその他の例
さて、掛け算を表す記号には、「×」以外にも、例えば「・」（ドット）という記号が用いられることもある。むしろ、「・」の方が「×」よりも早くから使用されていたようである。
「・」は、有名なドイツの数学者であるゴットフリート・ライプニッツ（Gottfried Wilhelm Leibniz）によって、掛け算の記号として提唱されたと言われているようである（これにも異論があるようだが、ここでは述べない）。
「＊」（アスタリスク）も、掛け算の記号として使用されることがある。これは、1659年に、スイスの数学者ヨハン・ハインリッヒ・ラーン（Johann Heinrich Rahn）の代数学の著書「Teutsche Algebra」において使用された。
因みに、Microsoft社のExcelでは、掛け算は「＊」の記号が使用されている。
(引用終り)
以上　

引くとプラス1される赤玉
引くとマイナス1される黒玉が袋の中に52:48の割合て入っていて
それを無造作に200回引いて最終的にマイナスの値になる確率って何％ですか？

(a+b+c)(ab+bc+ca)+kabc
が整数係数の1次以上の多項式で因数分解できるとき、整数kの値をすべて求めよ。

0,-1

(a+b+c)(ab+ac+bc)+kabc=(a+b+c)p(a,b,c).
k=0.

(a+b+c)(ab+ac+bc)+kabc=(pa+qb+qc)(qa+pb+qc)(qa+qb+pc).
pq^2=0.
p=0.
q^3=1.
k=-1.

>>162
証明は？

対称一次因子を持つ→k=0
対称一次因子なし→一次因子３つが移り合う→因子はp(a+b+c)-aの形しか許されない
(p(a+b+c)-a)(p(a+b+c)-b)(p(a+b+c)-amc)
=p³t₁³-p²s₁t₁²+ps₂t¹-s₃
=s₁s₂+ks₃
p=1,k=-1

>>161
与式に b=-1, c=2 を代入すると a^2 - (2k+1)a -2 であるが、これも同様の因数分解ができなくてはならず、
したがって (a+1)(a-2) または (a-1)(a+2) でなければならない。これらは、それぞれ k=0, k=-1 の場合である。
与式は、k=0 のとき (a+b+c)(ab+bc+ca)、k=-1 のとき (a+b)(b+c)(c+a) とどちらの場合も因数分解できる。
したがって、答えは k=0, -1。

整数a[1],...,a[m]を用いて
a[m]*m!+a[m-1]*(m-1)!+...+a[1]
と表される整数を{a[m],...,a[1]}と書く。

（1）{a[m],...,a[1]}と表示される整数はただ1つに定まることを示せ。

（2）任意の整数は{a[m],...,a[1]}の形に書けることを示せ。

>>164-166
ちょっと考えてみたけど
この証明は、高校数学を超えている気がするが、どう？

>>165
>対称一次因子なし→一次因子３つが移り合う→因子はp(a+b+c)-aの形しか許されない

・「対称一次因子なし→一次因子３つが移り合う」の証明がないけど、これ対称式の理論？
・「因子はp(a+b+c)-aの形しか許されない」の証明もないけど。そもそもこの命題の「・・しか許されない」って言える？
・ なので、高校数学の範囲外では？

>>166
・「与式に b=-1, c=2 を代入すると a^2 - (2k+1)a -2 であるが・・したがって (a+1)(a-2) または (a-1)(a+2) でなければならない」
　は、厳密ではない気がする
　2次方程式の解の公式を使うと
　a^2 - (2k+1)a -2＝(a-(2k+1+√{(2k+1)^2+8})/2)(a-(2k+1-√{(2k+1)^2+8})/2) と因数分解できる
　k=0, -1 のとき、どちらも {(2k+1)^2+8}＝9で √9＝3を得て、(2k+1+√{(2k+1)^2+8})/2などは整数になる
・しかし、k=0, -1に限ることが言えていない
　実際{(2k+1)^2+8}を見ると、奇数の二乗と8との和だ。これが、整数の二乗になれば嬉しい（√が取れるから）
　かつ、(2k+1+√{(2k+1)^2+8})/2だから、奇数の二乗になれば、2で割り切れるのでOKだ
　繰り返すが、これが k=0, -1に限ることが言えていないと思う

なので、高校数学を超えている気がする。整数解の非存在を示すディオファントス問題は、見かけ以上に高等数学を必要とする場合が多い
もし、高校数学の範囲外なら、このスレの話題としては、どうなのでしょう（特に、無理に成立していない証明を書くのは良くない気がする）
もし、高校数学の範囲での証明を得ているなら、教えてほしい

順序数の引き算するアホに発言する資格などない

どこが厳密じゃないのかわからない

>>170
指摘したところの証明がないよね
補題としてでも良いから、証明がいるよ

命題1） 「対称一次因子なし→一次因子３つが移り合う」
命題2）「因子はp(a+b+c)-aの形しか許されない」
命題3）「与式に b=-1, c=2 を代入すると a^2 - (2k+1)a -2 であるが、これも同様の因数分解ができなくてはならず、
　したがって (a+1)(a-2) または (a-1)(a+2) でなければならない」
　（補足：k=0又は-1に限ることの証明がない）

この3つの命題の証明がない

お前はω-1でも計算しとけ

高校の範囲で、行列から、極形式、複素平面を教えるように変わってから勘違いする馬鹿多発してるよね

複素平面の話全部わかってるつもりで解答述べる数学科の馬鹿多すぎ

行列の時代だって2x2の行列までしかやってないのに、リーマン面とか話出す奴もいるし

あと、嬉々として問題出す側が、高校の範囲を逸脱してる問題をでしてるってのもある

先程の(a+b+c)(ab+bc+ca)+kabcの問題は展開して整理で高校範囲で解けますよ

なんでここのアホ出題者とかアホセタってここまで無限にアホなんやろ

>>175
ありがとう
やってみて

対称一次因子がないなら一次因子G=pa+qb+rc、p≠qがあるとしてよい、p≠0として良い
F = GH
と分解されてる
特に因数定理よりa → (-(qb+rc)/p)によりFは0になる
置換してから代入しても0になるので因数定理の逆でFは
pa+qc+rb、pb+qa+rc、pb+qc+ra、pc+qa+rb、pc+qb+ra
で割り切れる
しかし元々三次式なので２つずつ一致するしかない
よってp,q,rのうちどれか一組は等しく一次因子はu(a+b+c)-aの形とその置換としてよい

そもそもこんなもん受験で出題されないから受験参考書には書いてないが理系の高校生なら本来できなあかん奴
セタは高校レベルの数学力ありません

>>171
このスレでは水を得た魚の如く意気軒昂ですね
高校数学がちょうどいいレベルなんでしょう

さて高校数学の問題です
1000m進むとn m登る勾配をn パーミルといいます
では20パーミルは角度で言うと
1°より大か小か？
2°より大か小か？

>>167
この難問に挑戦してください

m=1.
a(1)=b.

>>181
a[i]の範囲書き忘れてる
それがわかる人間にはアホみたいな問題

>>180
>20パーミルは角度で言うと

勾配2パーセントの方が通りがいいと思うが、なんでパーミル？

sinθ<θより、
sin1°=sin(π/180) <π/180 <3.15/175=9/50=0.018
また、
cos1°> cos15°=cos(45°-30°)=(√6+√2)/4≧(2.4+1.4)/4 >0.9
よって
tan1°<0.018/0.9=0.02

また、
tanθ>θより、
tan2°=tan(π/90) >π/90>0.02

以上より、tan1°<0.02<tan2°

>>178
なるほど、それはうまい証明だね
レベル高いね
因数定理は、下記ね

>対称一次因子がないなら一次因子G=pa+qb+rc、p≠qがあるとしてよい、p≠0として良い

それは、>>171 で指摘した 命題1） 「対称一次因子なし→一次因子３つが移り合う」の部分だね
やっぱ、証明いるじゃんｗ

>pa+qc+rb、pb+qa+rc、pb+qc+ra、pc+qa+rb、pc+qb+ra

G=pa+qb+rcの式で、a,b,cの置換をするんだね。なお、G=pa+qb+rcは、ガロア第一論文のガロア分解式に似ている

>しかし元々三次式なので２つずつ一致するしかない

三次式なのでというより、a,b,c各文字につき、二次式だからだね

>よってp,q,rのうちどれか一組は等しく一次因子はu(a+b+c)-aの形とその置換としてよい

これは、>>171 で指摘した 命題2）「因子はp(a+b+c)-aの形しか許されない」の部分だね
やっぱ、証明いるじゃんｗ

なお、”どれか一組は等しく一次因子はu(a+b+c)-aの形とその置換としてよい”は、
高校数学の範囲内か？　範囲外とも言えないだろうけど

また
高校生の答案としては、もう少し丁寧に誘導しないと、”ごまかしている”とされるかも
（というか、入試記述問題の採点は、採点基準が作ってあって、採点基準にある記述がない場合に、どんな採点されるか不明だよ
　へんに省略すると、分かってないのをごまかしだと、減点の可能性あるだろう）

（参考）
https://manabitimes.jp/math/1050
高校数学の美しい物語
因数定理とその重解バージョンの証明 更新日時 2021/03/07
因数定理
多項式 f(x) が (x-a) を因数に持つ ?f(a)=0
因数定理は多項式の因数分解に使える強力な定理です。因数定理とその拡張を証明します。

https://manabitimes.jp/math/831
高校数学の美しい物語
対称式について覚えておくべき7つの公式 更新日時 2021/10/28
目次
2変数の対称式に関する基本公式と例題
n乗の和を基本対称式で表す
引き算も対称式で表せる場合がある
三変数の対称式を基本対称式で表す
対称式の基本定理
(引用終り)
以上

△ABCにおいて、AからBCに下ろした垂線の足をH、BからCAに下ろした垂線の足をI、CからABに下ろした垂線の足をJとする。
AB,BC,CAが変化するとき、比(AH+BI+CJ)/(AB+BC+CA)の取りうる値の範囲を求めよ。

>>184
>なんでパーミル？
お察しくださいw

あと…π使わんでもいけるで

正対させた正五角形に頂点あわせて菱形状に置ければ、
(7+2√5)/8
左右が支えたらちっさなる。

>>187
(1+i/50)^nを計算すると
nが90に達する前に直角を超える
しかし45ではまだ超えない

内接円との接点で3辺を切ってa=v+w, b=w+u, c=u+vとする
u,v,wはℝ⁺×ℝ⁺×ℝ⁺全体を動く
外接円の半径をR、面積をSとする

2R( AH+BI+CJ )
= 4R²( sinBsinC + sinCsinA + sinAsinB )
= (u+v)(u+w) + (v+w)(w+u) + (w+u)(w+u)

BC + CA + AB
= 2u+2v+2w

R
= abc/(4S)
= (v+w)(w+u)(u+v)/(4√(uvw(u+v+w)))

∴ ( AH+BI+CJ )/( BC + CA + AB )
=
((u+v)(u+w)+(v+w)(w+u)+(w+u)(w+v))√(uvw)
/((v+w)(w+u)(u+v)√(u+v+w))
= (√u √(vw)/(v+w) + √v √(wu)(w+u) + √w √(uv)/(u+v) )/√(u+v+w)
≦(√u + √v + √w )/(2√( u+v+w ))
≦√3/2

((u+v)(u+w)+(v+w)(w+u)+(w+u)(w+v))√(uvw)
/((v+w)(w+u)(u+v)√(u+v+w))
の下限は明らかに0

前>>188
>>132
正五角形を正対させ、
内部に正方形を菱形状におき、
正方形の上側の頂点が、
正五角形の上側の頂点P(0,p)に、
わずかに届かない状態を作図し、
図のpをどんどん小さくしていくと、
正方形の面積は2p^2になり最大。
正五角形の対角線の長さは黄金比(1+√5)/2
PRを斜辺とする直角三角形について、
ピタゴラスの定理より(2p)^2+(1/2)^2=｛(1+√5)/2｝^2
4p^2+1/4=(6+2√5)/4
16p^2+1=6+2√5
4p=√(5+2√5)
p=√(5+2√5)/4
正方形の一辺の長さは√(5+2√5)/2√2が最大。
2p^2=(5+2√5)/8
∴(5+2√5)/8

【鉄緑】鉄緑会（東京限定）情報交換
https://mao.5ch.net/test/read.cgi/ojyuken/1650993901/35

35 名前：実名攻撃大好きＫＩＴＴＹ[] 投稿日：2022/06/05(日) 07:17:06.43 ID:2ieTF67y0
https://imgur.com/qRjVmWI.jpg
https://imgur.com/IOB9QOy.jpg
https://imgur.com/Zs8hv5w.jpg
https://imgur.com/40fTzHc.jpg
https://imgur.com/TEXBMOp.jpg

>>185
>なお、”どれか一組は等しく一次因子はu(a+b+c)-aの形とその置換としてよい”は、
>高校数学の範囲内か？　範囲外とも言えないだろうけど

まとめておくよ
1）”どれか一組は等しく一次因子はu(a+b+c)-aの形とその置換としてよい”は、下記の置換論を知っていれば常識だが、高校数学の知識外（大学数学）
2）下記wikipediaの引用程度なので、集合 {1, 2, 3} の置換自体は、高校レベル（中学レベルかも）
3）しかし、多分入試には出ないだろうし、出ても誘導がついて、部分点をゲットすれば十分と思う
4）元の問題>>161 "(a+b+c)(ab+bc+ca)+kabc が整数係数の1次以上の多項式で因数分解できるとき、整数kの値をすべて求めよ"を、高校数学の知識だけで完答するのは、相当難しい
5）試験の時間戦略としては、k=0,-1 まではきっちり示して、あとは各人の時間配分と力量しだい（完答には力を入れずに、見直しに時間を使うのもあり）
6）なお、昔”不変式論”とかあって（いま死語）、向井 茂先生の不変式の関連記事を下記に紹介する（ハイレベル高校生向けな）

では

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%AE%E6%8F%9B_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
置換 (数学)
置換（ちかん、英: permutation）の概念は、いくつか僅かに異なった意味で用いられるが、いずれも対象や値を「並べ替える」ことに関するものである。有り体に言えば、対象からなる集合の置換というのは、それらの対象に適当な順番を与えて並べることを言う。例えば、集合 {1, 2, 3} の置換は、
(1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1)
の全部で六種類ある順序組である。

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~mukai/paper/SuSemi06.pdf
不変式の話
数学セミナー連載，2005 年 12 月号，2006 年 1,2,4 月号
向井 茂
P6
§2 対称式

a^2 - b^2 =9

ab = 3

のとき、a＋bの値を求めよ。

a,b共に実数。


ツイッターで流れてきたのですが解けません・・・。

>>193
高校数学では元気やな　アンタ
ところで、n×n正方行列のランクがnのとき
そのときに限り行列式が0でないのは理解した？
階段化の操作で行列式が不変なのも分からん奴が
不変式語っても笑われるだけやで　ホンマに

ガロアスレであれだけアホ晒してたからな
いい加減群論なんか自分の知能では理解できそうもないとわかりそうなもんだけどな
それすらわからんほどアホなんやろ

>>194
x=a+b, y=a-bとおけば
xy=9
x^2 -y^2=12
y=9/xとおいて、あとは流れで。

>>146 の　pが素数のとき、C[p-1,k] (0≦k≦p-1) はmod p で1か-1
の証明は次でよいでしょうか：

C[p-1,k]=(p-1)(p-2)…(p-k)/k! = cとおく。
(p-1)(p-2)…(p-k) = c*k!
よってmod pで (-1)(-2)…(-k)≡c*k! ∴(-1)^k*(k!) ≡ c*k!
k! は mod pで0ではないので、(-1)^k ≡ c 。(終わり)

直行座標系の(+,+)となる座表面において
ある直線に常に90度で交わる任意の直線を引くとします。
その任意の直線を構成する座標を求めたいです。
数学的にどのような道具を使う必要がありますか？

>>198
微妙
受験で
ac≡bc ( mid p)、p|̸c → a≡b ( mod p )
は認めてもらえないかもしれない、少なくとも教科書には載ってないし、コレを証明させる問題が出題されたこともある

回答する人より質問する人の方が利口なことって良くあるよね

>>199
定規とコンパスかなーーーーーーー

>>201
こんなとこで出題して喜んでる時点でウルトラバカだよ

出題バカが常駐しちゃってるからな。
相手するほうも馬鹿なんだから、二人だけで別スレ立ててくれりゃいいんだが、意固地になってここに居続けてる。

そういや出来ました消えた？

>>205
できました

x>0, Γ(x)=∫[0, ∞)e^(-t){t^(x-1)}dt
f(x)は積分区間A=[0, ∞)の上で連続関数であるから任意のコンパクト集合(⊂A)の上で可積分である。

任意のn∈Nに対してt>0ならば
e^t≧Σ[k=0, n]t^k/k!>t^n/n!なので
e^(-t)t^(x-1)≦n!t^(x-n-1)
t→∞の時, e^(-t)t^(x-1)=Ο(t^(x-n-1))
x>0を任意に1つ固定すると、n>xとなるような正整数nが取れてx-n-1<-1だから∫[1, ∞)f(t)は収束する。

・x≧1で、f(t)はコンパクト集合[0, 1]上連続であり可積分である。
・0<x<1で、f(t)→∞ (t→+0)であり広義積分となるが、f(t)=Ο(t^(x-1)) (t→+0)なので、∫[0, 1]f(t)は収束する。
以上により絶対収束することが示された。

召喚の呪文やめろ

前>>191
>>194
a=b/3
(3/b)^2-b^2=9
9/b^2=b^2+9
b^4+9b^2-9=0
b^2=｛-9+√(81+36)｝/2
b=±√(√117-9)/√2
=±√(2√117-18)/2
a=±(√18+2√117)/2
∴a+b=±｛√(18+2√117)+√(2√117-18)｝/2

前>>208
>>194
∴a+b=±4.10081136196……

>148
二項分布の平均と分散の二通りの証明
https://manabitimes.jp/math/913
でも甥っ子さんに勧めてみては。

>>210
二項乱数を１億個発生させてシミュレーション
https://i.imgur.com/x0VEqRo.png

期待値
> mean(a)
[1] 3.00008
分散
> var(a)
[1] 2.69982

因みにaの99%信頼区間は０～７

>>194
±√(3 (2 + √(13)))　
> sqrt(3* (2 + sqrt(13)))
[1] 4.100811

答だけ与えても意味ないでしょうに。
>>194には>>197で示した置き換えで、x=(a+b)に対して、
x^2-81/x^2 =12
X=x^2で置き換えれば、
X^2-12X-81 =0
という２次方程式になるので、解の公式から
X =6±3√13
が得られるが、xは実数なので、6-3√13 <0 は不適。
よって、
a+b = x =±√X =±√(6+3√13)

x+y=a,xy=b,x-y=cとする。

（1）cをaとbで表せ。
（2）a,b,cが実数かつ、c<b<aとなるとき、x,yが満たすべき条件を求めよ。

aを実数の定数とする。
またx+y=s,xy=tとする。

（1）x+ayをsとtで表せ。
（2）-1≦s≦1,-1≦x+ay≦1のとき、tの取りうる値の範囲をaで表せ。

x+y=a,x-y=b,xy=cとする。

（1）a,b,cがすべて相異なるとき、x,yが満たすべき条件を求めよ。
（2）a,b,cが3次方程式t^3+pt^2+qt+r=0の相異なる3つの実数解となり、かつa,b,cがすべて実数であるとき、p,q,rをx,yで表せ。
（3）p,q,rは（2）の条件を満たすとする。3次関数f(t)=t^3+pt^2+qt+rの増減を調べよ。

x軸とy軸のように
実数部と虚数部のように
相互関係の無い関係をなんて言うのでしょうか？

互いに素
は違う気がする

>>217
その2例なら直交かな？

元でしょ

3次元の空間座標だと
直交って言葉に意味はあると思うけど

前>>208,209補足。
>>194
a+b=±｛√(18+2√117)+√(2√117-18)｝/2
=±｛√(9+9√13)+√(9√13-9)｝
=±4.10081136196……

>>218
>>219
ありがとうございます

>>132
プログラムを組んで探索させてみた。
https://i.imgur.com/2QJruWf.png
最大値でなくて極大値なのかもしれないが、 1.139　という値が得られた。

>>222
これ、五角形の頂点や辺に、正方形の頂点全て内接してるの？
たまたま？

>>223
正方形の1個の頂点が五角形の頂点、
正方形の1個の頂点が五角形の辺の上
になっているようにみえる。

>>224
Dが五角形の頂点で、A,Cは五角形辺上、Bが五角形の内部かもしれん。

2x+1＝1の時、(x+y)^2+4^2＝x^2+y^2-2x-2y+2

これはどうでしょう

2x+1＝1の時、(x+y)^2+4x^2＝x^2+y^2-2x-2y+2 です
すみません

あ、2x+y＝1の時です
何度も申し訳ない

>>222
７角形のとき
https://i.imgur.com/P9NHCzF.png
最大値（極大値かもしれん）　2.270

>>214
これお願いします

tを実数の定数、iを虚数単位とする。
x+y=a,xy=b,x+ity=c
と定める。

（1）cをa,b,tを用いて表せ。
（2）x,yがともに実数であるために、a,bが満たすべき条件を求めよ。
（3）x,yがともに実数であるとする。a<|c|<bとなるようなx,yの範囲を求めよ。

前>>220
>>222
(5+2√5)/8=1.18401699437
>>191こっちのほうが大きいよ。

[z]でzを超えない最大の整数を表す。
実数x,yに対して、
x+y=a,xy=b,[x]+[y]=cとする。

（1）a-cの取りうる値の範囲を求めよ。
（2）-1≦a≦1かつ-1≦b≦1のとき、cの取りうる値の範囲を求めよ。

aを実数とする。
実数x,yが
x+y=a^2+1,xy=a
を満たしているとき、x-yが実数でないようなaの範囲を求めよ。

>>234
「実数x,y」としているのでx-yは常に実数

何を質問したいんだか・・・

質問おじさんはその辺を叫びながら歩いてる人みたいなもん
関わったら負け

>>236
だよなぁ。

質問おじさん（=ID:+VS9u+Pa ）にいちいち回答してるやつのアホ面を一度見てみたいわ。
度の強いメガネかけてそうｗ

aを実数とする。
複素数x,yが
x+y=a^2+1,xy=a
を満たしているとき、x-yが実数でないようなaの範囲を求めよ。

x+y=a,xy=b,x-y^2=cとする。

（1）cをa,bで表せ。
（2）a,b,cがある1つの三角形の3辺の長さとなるとき、x,yが満たすべき条件を求めよ。

ある実数tが存在して、
x+y=sin(t),xy=cos(t)
となるとき、実数x,yが満たす条件を求めよ。

>>232
その最大正方形の一つの頂点は五角形の頂点に一致している？

質問じゃなくて問題投下してるだけおじさん

>>232
正方形の1つの頂点と正五角形の一つの頂点が一致すると仮定して
その面積になる正方形で作図すると正五角形からはみ出してしまう。

https://i.imgur.com/QlwcwyK.png

>>238-240
馬鹿にされて、ムキになってろ問題を連投してるｗ

こいつに反応してるのも、イナとかプログラムおやじみたいな
ろくでもないヤツばかりwww

たまにくる質問も、こいつらのアホな投稿のノイズに埋もれてしまう。

>>232
正方形の面積が(5+2√5)/8のときは
その対角線の長さが正五角形の高さに一致する。
作図してみると正方形がわずかにはみ出してしまう。

https://i.imgur.com/85ut08E.png

a,b,cは複素数x,yを用いてx+y=a,xy=b,x-y=cと表せるという。

（1）cをaとbで表せ。
（2）a,b,cが実数で、x,yの少なくとも一方が実数でないとき、積abcの取りうる値の範囲を求めよ。

>>246
出色の出来です
よろしくお願いいたします

高校数学だと√複素数は使えない

そもそもa,cが実数ならxもyも実数やん
こりゃダメだ

なんで出題スレに行かないんだろうな
意固地になっちゃってるのかな

彼は何かと闘ってるんだよ
俺には分かる

a,b,cは複素数x,yおよび虚数単位iを用いてx+y=a,xy=b,x-iy=cと表せるという。

（1）cをaとbで表せ。
（2）a,b,cが実数で、x,yの少なくとも一方が実数でないとき、積abcの取りうる値の範囲を求めよ。

前>>132
>>232
正五角形を長さ1の辺を底辺にして正対させ、
正方形をいちばん上の頂点をあわせて菱形状に、
辺の長さxが最大になるようにとると、
1/sin63°=x/sin72°
最大の面積x^2=(sin72°/sin63°)^2
=1.13933354134
やっと解けた。

sin63°の値を求めよ。

AB=1,BC=t,∠ABC=90°の直角三角形ABCの辺BC上を動く点Pがある。
PからABに平行な直線を引き、そのACとの交点をQとする。
BP=x(0<x<t),AP+PQ+QB=L(x)とするとき、L(x)の増減を調べよ。凹凸は調べなくて良い。

今の生活の楽しみがここでの出題とか寂しすぎる

>>253
最大面積の正方形の頂点と正五角形の頂点が一致するというのは自明ではないと思う。
結論としては正しいのであろうとは思う。

正七角形の場合、2.270が最大
https://i.imgur.com/LwfXV8W.png

正方形の頂点の１つが正七角形に一致という縛りをつけると2.159が最大になる
https://i.imgur.com/HMsYWPR.png

>>257
正六角形のときも正方形の頂点と一致させると最大にならない。
https://i.imgur.com/AGDEs5O.png
https://i.imgur.com/0joMHWO.png

前>>253
>>132
正五角形の頂点を(1/2,√(5+2√5)/2),((1+√5)/4,√(10-2√5)/4),(0,0),(-(1+√5)/4,√(10-2√5)/4),(-1/2,√(5+2√5)/2)にとり、
正方形の頂点を(t/√2,t/√2),(0,0),(-t/√2,t/√2),(0,t√2)にとると、
直線y=xとy=-√(5+2√5)x+√(5+2√5)の交点の座標は、
(√(5+2√5)/｛1+√(5+2√5)｝,√(5+2√5)/｛1+√(5+2√5)｝)
正方形の一辺の長さの最大値は、
√2(5+2√5)/｛1+√(5+2√5)｝
正方形の面積の最大値は、
2(5+2√5)/｛1+√(5+2√5)｝^2
=(5+2√5)/｛3+√5+√(5+2√5)｝
=(5+2√5)｛3+√5-√(5+2√5)｝/(9+4√5)
=｛25+11√5-(5+2√5)√(5+2√5)｝(9-4√5)
=5-√5-(5-2√5)√(5+2√5)
=1.13933354134……

>>255
出色の出来です
よろしくお願いいたします

質問は何？

前もそう言ってた
そしてクズ問
答え用意してないやろ

前>>259
>>254
正五角形の中の最大の正方形の一辺をtとすると、
1/sin63°=t/sin72°
sin63°=sin72°/t
=2sin36°cos36°/t
=2(√(10-2√5)/4)(1+√5)/4√｛5-√5-(5-2√5)√(5+2√5)｝
=｛(1+√5)√(10-2√5)｝/8√｛5-√5-(5-2√5)√(5+2√5)｝
=0.891……

-1<x^2+ax+b<1
となる実数xが存在するために、a,bが満たすべき必要十分条件を求めよ。

a²-4(b-1)>0

>>259
作図してみた
https://i.imgur.com/CqCS1d0.png
>222を回転したのと同じ
ちなみにBは五角形辺上にはない。

>>264
できました

I=∫[0, ∞]sinx/x dx、0<v<u<∞とする。
部分積分法により
|∫[v, u]f|=|-cosx/x|-∫[v, u]sinx/x²
<1/u+1/v+∫[v, u]/x²=2/v→0
広義積分はコーシーの収束条件をみたすので収束する。
∫[nπ, (n+1)π]|sinx|/x
=∫[0, π]sinx/(x+nπ)>2/(n+1)πより
∞に発散するから絶対収束しない。
リーマン・ルベーグの定理により、[0, π]上で連続のfに対して
∫fsin(2n+1)x/2→0、I=π/2
t<0の時, -tx=yとおく。
ロピタルの定理により
1/t-1/sint=(sint-t)/tsint
=(cost-1)/(sint+tcost)
=-sint/(cost+cost-tsint)
→-0/(1+1-0)=0

x+y=a,xy=b,x-y=cとする。

（1）cをaとbで表せ。
（2）a[n]=x^n-y^nとする。a[n+1]をa[n],a,bのうち必要なもので表せ。

出題爺=ID:xYOrhzfA のおかげで無駄にスレが消費されてるなｗ

交代式が対称式で表せるわけがない

△ABCの内部に定点Pをとり、Pを通る直線を考える。
Pは△ABCの2辺により切り取られるが、その切り取られる長さが最小となるような直線を決定せよ。

∫[0,∞] {(sinx)^2}/(1+x^2) dx
を求めよ。

>>272
高校数学の範囲内でお願いします

>>270
表せます

>>234
じゃあn=1の時に
x-y
をx+yとxyで表してみてよ
もちろん
x-y = ±√((x+y)²-4xy)
はできてないよ
左辺は確定した値ひとつだけ右辺は違う
どちらなのか判断する材料はa,bだけ

出題爺まだ死んでないのかｗ> ID:wQZPGT08

a[1]=b[1]=c[1]=1
a[n+1]=b[n]+c[n]
b[n+1]=c[n]+a[n]
c[n+1]=a[n+1]+b[n]
で表される数列を考える。このうち数列{c[n]}の一般項を求めよ。

平面上に△ABCがある。
この△ABCの面積を2等分するように、同一平面上に直線を引く。
このような直線の中で、△ABCの周および内部の領域に含まれる部分の長さが最長になるものを考えるとき、それは頂点A,B,Cのうちいずれかを通ることを示せ。

できました

I=∫[0, π/2]logsinθdθ
√θsinθ→0
ある正数ε (0<θ<ε)に対して
|logsinθ|≦c/√θ
よってIは絶対収束する。
π-θ, π/2-θと変数変換し、
θ=2ΦとおくとI=(-π/2)log2

リーマンのゼータ関数
s≦0の時, 、1/n^s≧1より発散する
f(x)=1/x^sはI=[1, ∞)で単調減少であるからマクローリンの判定法が適用出来る。s>1の時, 収束し、s≦1の時, 発散する。

>>272
どなたかこれできませんか？
高校範囲で

そもそも[0,∞)の時点で高校数学じゃないし
できても誰得のクズ問題

△ABCは以下の条件を満たす。
(i)∠B=90°
(ii)AB,BC,CAはいずれも整数
(iii)AB,BC,CAのうち2つは素数
このような△ABCは無数に存在することを示せ。

>>281
lim[n→∞]の書き方でもいいですよ？

>>283
だからそもそもこんなの高校数学の縛りプレイで証明させると言う発想そのものがくだらないんだよ

>>284
過去に東工大で類題が出題されていますが、東工大に文句あるんですか

>>266
東工大だろうがなんだろうがくだらんもんはくだらん

ってか、そもそも「出題」と「質問」は違うからね。

解き方がわかってる問題の解き方を「質問」するのはおかしいだろ。

スレチガイ

s=(e^t+e^(-t))/2とする。

（1）∫[0,1] √(1+x^2) dxをx=sと置換して求めよ。

（2）双曲線xy=1の1≦x≦2の部分の長さを求めよ。

>>272
グラフ描いて
逆関数作って
積分すればいいんでないの

てきとうに考えたけど

>>285
何年ですか？

前>>263
>>268
（1）a^2-2b=c^2+2b
∴c^2=a^2-4b

>>289
虚しいレスだなｗ

前>>291
>>288(2)e/2
勘で。

賢い質問者はここまでは分かっていて、ここからここへ行く計算内容や発想が分からない、というような質問の仕方をする
問題がまるごと分からないのなら、その問題を解くレベルに達していないので同じ単元の簡単な問題から解くといい

>>292
何処が虚しいか言ってみ

コレホントに東工大で出た？

aを正の実数とする。
xy平面上の直線l:y=xのa≦x≦a+1の部分をCとする。
x軸上に点Aをとり、Cの両端とAを結ぶ2本の線分がなす角∠Aを最大化する。
このときのAの座標をaで表せ。

前>>293
>>297
点(a+1/2,a+1/2)を通り傾き-1の直線が、
x軸と交わる点(2a+1,0)が、
求めるそれと考えられる。
∴(2a+1,0)

>>296
もし出たとしても丁寧な誘導付きだろな

>>299
イヤ、出まかせやろ
ググっても全くヒットしない

>>298
バカ？
高校入試でも出題されるテーマだぞwww

>>298
こんな問題もできないのに解答者気取りか…w

>>300
東工大後期数学で検索してください

>>303
ホントに出てるならそんなレスつけるわけないやん？
”××年の後期に出てます”で終わりやろ
なんでそんな秒でウソとわかるウソが吐けるん？
嘘つく事に抵抗なくしてるん？
もう人間として終わってるよ

>>295
出題爺のクソ作問にレスとか、まったく無駄な虚しい時間

>>302
イナ氏のレスはトンチンカンな解答ばかりだから読むだけ無駄
でも、コテハンにしてNG可能にしてるのは良心的とも言える

>>305
そう言う意味ね
了解

lim[n→∞] ∫[0,π/2] [{sin(nx)}^2]/(1+x) dx
を求めよ。

>>308
高校範囲でお願いします

質問は何？

>>310
高校範囲でお答えいただけますか？

AB=√5、BC＝√7、CA＝4である三角形ABCがある。
ベクトルABとベクトルBCの内積はいくらか。

これ
教えてください

- (|BA|²+|BC|²-|AC|²)/2

>>298
Cを弦としx軸に接する円を考えろ

>>311
何を？
質問は何？

前>>298
>>312 →AB・→BC=AB×BC×cos∠BAC=(√5)(√7)cos∠BAC
cos∠BAC=(5+7-4)/(2×√5×√7)=4/√35
∴ →AB・→BC=4

>>312
内積＝AB・BC・cosB
余弦定理 CA^2 = AB^2+BC^2 - 2AB・BC・cosB　より、
内積 = (AB^2 +BC^2 -CA^2)/2 = -2

>>316
cos∠BACじゃなくてcos∠ABC
余弦の分子は5+7-4じゃなくて5+7-4^2

([BA]-[BC])^2=4^2.
5-2[BA][BC]+7=16.
[BA][BC]=-2.
[AB][BC]=2.

>>317
ああすまん、ベクトルABとベクトルBCのなす角は∠Bの外角だったね。
ボケとるわ。
内積＝AB・BC・cos(πー∠B)= - AB・BC・cos∠B = 2

([AB]+[BC])^2=4^2.
5+2[AB][BC]+7=16.
[AB][BC]=2.

前>>316
>>314
Cを弦としてx軸と接する円は2つあり、
｛x-2a-1+√(2a^2+2a)｝^2+｛y-√(2a^2+2a)｝^2=｛2a+1+√(2a^2+2a)｝^2
｛x-√(2a^2+2a)｝^2+｛y-2a-1+√(2a^2+2a)｝^2=｛2a+1-√(2a^2+2a)｝^2

>>319
それが一番まっとうな解法だね。

要するに、ベクトルの内積に分配法則が使えるって前提なら
(AB⃗ + BC⃗ )・(AB⃗ + BC⃗) = AC⃗・AC⃗
AB^2　+2AB⃗・BC⃗ + BC^2 =AC^2
で簡単。

分配法則に抵抗があるなら余弦定理からいけばいい。

教科書ではないのですがIT関係の読み物を読んで、
公開鍵暗号方式の、２つの素数による暗号化・復号化の原理を、計算式のレベルでは理解しました。
それでもひとつ疑問な部分があります。

現在広く使われている2048bitの合成数をを作るための素数はそれぞれ、十進数にして３００桁台の巨大数になるはず。
しかし、その３００桁の素数というものをどこから持ってくるのですか？
毎回ランダムで数字を発生させるとして、その数字が素数であるとどうやって分かるのですか？
この桁数だと現実的な計算回数では素数判定できないような・・・と思うのですが。

ああすれ違い

ここには面倒なルールは一切ありません。
自由に投稿しましょう。

前>>322訂正。
>>312
→AB・→BC=AB×BC×(-cos∠ABC)
=(√5)(√7)(-1)｛(√5)^2+(√7)^2-4^2｝/｛2(√5)(√7)｝
=-(5+7-16)/2
=4/2
=2

内積ってなんなんですか？
a・b = |a| |b| cosθ
aの大きさと、bのa方向成分の大きさ、の積だなぁって見てるけど
長さx長さ=面積　だけど、同じ向きだから面積ではないし
いったいなんなんだ？と悩んでます

>>325
ミラーラビン法により確率的な判定法で実用上は素数（かもしれない数)は得られるてるんじゃなかったっけ。
ある数が素数かどうかはガウス和を巧妙に使ったRSAの3人の中の誰かかが発明したアルゴリズムで確定的に判定出来た筈。

>>329
https://naop.jp/2021/06/04/naiseki/
https://qiita.com/kenmatsu4/items/a144047c1b49aa8c7eb0

この辺りとか動画みるといいと思う
後はそこそこのレベルで物理をやると必須に感じる

e^π、π^e、3^π、π^3の大小を比較せよ。
ここでe=2.718...は自然対数の底、π=3.141...は円周率である

質問は何？

lim[n→∞] ∫[0,π/2] {(sin(nx))^2}/(1+nx) dx
を求めよ。

♾に持ってく問題出すのやめたら

出題爺さんは気ままに出題してるだけだから、なにを忠告しても無駄だよ。

無視するのが一番。

>>329
ベクトルどうしの「掛け算」を定義したい
できれば分配法則 a・(b+c)=a・c+a・c が成り立ってほしい
これをかなえるためにはa・b=|a||b|ではダメ・・・
じゃあ定義するべきか・・・？って話だよ

2つのベクトルaとbの間の演算□を以下のように定義する。
a□b=(a・b)(a+b)

（1）a□aをaおよび|a|で表せ。

（2）c□dが単位ベクトル(1,0)となるとき、2つのベクトルcとdが満たすべき条件を求めよ。

a[1]=a,b[1]=b、aとbは正整数
a[n+1]=2a[n]+3b[n]+p[n]
b[n+1]=3a[n]+2b[n]
p[n]はa[n]とb[n]の最大公約数

このとき任意のnに対してa[n]とb[n]が互いに素となるような正整数の組(a,b)は存在しないことを示せ。

2つの円、x^2+y^2=8 と x^2+y^2-x-2y-5=0 は異なる2つの交点を持つ。
これら2つの交点を通り、x軸に接する円の方程式を求めよ。

この問題ですが、
x^2+y^2-x-2y-5+ｋ(x^2+y^2-8)=0とおいて条件からｋを求めるタイプだと思うのですが、
ｋの求め方がわかりま円。
どのようにｋを定めればいいですか。

x軸に接するという条件をまだ使ってないね。

>>340
x軸（y=0）に接するんだから、円の式とy=0とを連立した方程式が重解を持てば良い
するとkの値が定まる

なんでベクトルって和語漢語に訳さなかったんですか

前>>328
>>340
題意の2円はx^2+y^2=(2√2)^2と(x-1/2)^2+(y-1)^2=(5/2)^2
原点(0,0)を中心とした半径2√2の円と
点(1/2,1)を中心とした半径5/2の円
求める円は2円の共通弦x+2y-3=0に垂直な
直線y=2x上に中心があり、
y座標が半径rだから(x-r/2)^2+(y-r)^2=r^2
点(r/2,r)と直線x+2y-3=0の距離は、
|r/2+2r-3|/√(1^2+2^2)=|5r/2-3|/√5
原点(0,0)と直線x+2y-3=0の距離は、
|0+0-3|/√5=3/√5
弦の長さの半分はピタゴラスの定理より、
√｛8-(3/√5)^2｝=√(31/5)
ピタゴラスの定理より半径rは、
r=√｛(5r/2-3)^2/5+31/5｝
5r^2=25r^2/4-15r+9+31
5r^2-60r+160=0
r^2-12r+32=0
(r-4)(r-8)=0
中心は(2,4)ではないから、
r=8すなわち中心は(4,8)
∴円の方程式は(x-4)^2+(y-8)^2=64

相異なる複素数a,b,cがa/(1-b)=b/(1-c)=c/(1-a)=kを満たすとき, kの値を求めよ.

複素平面で幾何っぽく解けますか?

つべネタ

前>>344補足。
>>340
中心(2,4)のとき、
(x-2)^2+(y-4)^2=16
題意の円は2つあるのかも。

>>343
中国語だと向量と言うみたい

>>347
連立方程式を解いて作図すると
https://i.imgur.com/9LWT7R7.png
２個あるね。

>>349
https://i.imgur.com/WkIzcFC.png
(x-2)^2+(y-4)^2=4^2
(x-4)^2+(y-8)^2=8^2

朝飯前に、
中心と半径の数値を変えて題意を満たす円の中心と半径を返す関数を作って実行

> f(1,2,3, 4,3,2)
$C1
x y r
1.924396 2.308132 2.308132

$C2
x y r
6.408937 3.802979 3.802979

https://i.imgur.com/jZFZKML.png

前>>347kを使って解いて円が2つあることに気づいた。
>>340
x^2+y^2-8+k(x^2+y^2-x-2y-5)=0
x^2-kx/(1+k)+(1+k)y^2-2ky/(1+k)=(5k+8)/(1+k)
｛x-k/2(1+k)｝^2+｛y-k/(1+k)｝^2=(5k+8)/(1+k)+5k^2/4(1+k)^2
中心のy座標の二乗が半径の二乗と等しいから、
k^2/(1+k)^2=(25k^2+52k+32)/4(1+k)^2
4k^2=25k^2+52k+32
21k^2+52k+32=0
(3k+4)(7k+8)=0
k=-4/3,-8/7
k=-4/3のとき(x-2)^2+(y-4)^2=16
k=-8/7のとき(x-4)^2+(y-8)^2=64

>>340
x^2+y^2-x-2y-5+k(x^2+y^2-8)=0で、y=0として得られるxの2次方程式
(1+k)x^2-x-(5+8k)=0
が重解をもてばよい。判別式を考えて
1-4(1+k)(5+8k)=0　これを解いてk=-3/4 or -7/8

k=-3/4 のとき　x^2+y^2-4x-8y+4=0
k=-7/8 のとき 　x^2+y^2-8x-16y+16=0

前>>352
>>340
kを使う方法も知識として記憶にあったけど、
「点と直線の距離」と「ピタゴラスの定理」から、
二つある「中心の座標」を求めるのが自然だと思う。

>>354
kを使う方法は高校の教科書にも普通に載ってるし連立方程式の理解があれば自然な方法
ピタゴラスの定理のほうが自然？できなかった言い訳だろ
お前の学歴教えろ

前>>354訂正。
>>340
題意の2円はx^2+y^2=(2√2)^2と(x-1/2)^2+(y-1)^2=(5/2)^2
原点(0,0)を中心とした半径2√2の円と
点(1/2,1)を中心とした半径5/2の円
求める円は2円の共通弦x+2y-3=0に垂直な
直線y=2x上に中心があり、
y座標が半径rだから(x-r/2)^2+(y-r)^2=r^2
点(r/2,r)と直線x+2y-3=0の距離は、
|r/2+2r-3|/√(1^2+2^2)=|5r/2-3|/√5
原点(0,0)と直線x+2y-3=0の距離は、
|0+0-3|/√5=3/√5
弦の長さの半分はピタゴラスの定理より、
√｛8-(3/√5)^2｝=√(31/5)
ピタゴラスの定理より半径rは、
r=√｛(5r/2-3)^2/5+31/5｝
5r^2=25r^2/4-15r+9+31
5r^2-60r+160=0
r^2-12r+32=0
(r-4)(r-8)=0
r=4のとき中心は(2,4)
r=8のとき中心は(4,8)
∴円の方程式は、
(x-2)^2+(y-4)^2=16
(x-4)^2+(y-8)^2=64

>>354
自然で汎用性があるのは作図して計測ｗ

前>>356
>>357
図はイメージには必要だけど、
計測するには歪みすぎてる。
その点、式と計算はうそつかない。
点と直線の距離、ピタゴラスの定理を使えば、
重解を持つ条件とか判別式とかより視覚的に理解できると思う

>>357
それは算術と言うんじゃなかったっけ。

(ED)⇒(PID) の証明って、 A⊂R を R の任意のイデアルとするとイデアルの性質より、0∈A である。 (i) A={0} のときは明らか。 (ii) A≠{0} のとき、 0 ではない A の元をとることができ、特に元 m∈A を ϕ(m) が最小となるようにとる。ここでPIDの性質より、任意の a∈A に対してa=mq+r；r=0 または ϕ(r)<ϕ(m) なる q,r∈R が一意的に存在し、a∈A,mq∈A より、r=a−mq∈A である。ϕ(m)の最小性よりr=0であるから任意のa∈Aに対して q∈R が存在して a=mq が成り立つからA⊂mR である。また、m∈A より、任意の q∈R に対して mq∈A であるから、mR⊂A である。ゆえにA=mRが言え、(ED)⇒(PID) が示せた。であってる？

>>360
おしい

>ここでPIDの性質より、

ではない

△ABCの頂点AからBCに下ろした垂線の足をH、CAの中点をMとする。
AHとBMの交点をPとするとき、ベクトル↑APを↑ABと↑ACで表せ。

>>358
＞その点、式と計算はうそつかない。

>>298が嘘なんですがそれは