S[m]=Σ_[k,1,m] k*a[m-k]
とおけば、S[1]=a[0]=Σ_[k,0,0]a[k]=1/(1+1^2)=1/2
m≧2に対して
S[m]-S[m-1]
=a[m-1]-a[m-2] +2a[m-2]-2a[m-3]+3a[m-3]-3a[m-4]+…-(m-1)*a[0]+m*a[0]
=a[m-1]+a[m-2]+a[m-3]+…+a[0]
=Σ_[k,0,m-1] a[k]
=1/(1+m^2)
両辺の狽ﾆれば S[m]-S[1]=Σ_[k,2,m]1/(1+m^2)となるので、
S[m]=Σ_[k,1,m]1/(1+m^2)　<∫[0,∞]1/(1+x^2)dx
x=tanθとおいて置換積分すれば
∫[0,∞]1/(1+x^2)dx=∫[0,π/2]dθ=π/2
あれ？π/2 >5/4か、、、、ちっ！
仕事の時間だから、あとは誰か詰めといて。