n:evenとする
(x-1/2)²+y² = 1/4 5^(n/2-1) ( n : even )‥①
①⇔(2x-1)²+(2y)² = 5^(n/2-1)
u²+v²=5^(n/2-1)の整数解の個数は
u + vi = iᵐ(1+2i)ᵏ(1-2i)ˡ (m=0,1,2,3,k+l = n/2-1)
の個数だから2n個ある
全ての(u,v)のうちいずれがちょうど片方が奇数でありuが奇数である解全体とvが奇数である解の全体は(u,v)→(v,u)で移り合うからuが奇数である解はちょうどn個である

n:oddとする
(x-1/3)²+y² = 1/9 5^(n-1) ( n : odd )‥②
②⇔(3x-1)²+(3y)² = 5^(n-1)
u²+v²=5^(n-1)の整数解の個数は
u + vi = iᵐ(1+2i)ᵏ(1-2i)ˡ (m=0,1,2,3,k+l = n-1)
の個数だから4n個ある
全ての(u,v)は
u ≡ 1, v ≡ 0 ( mod 3 )‥Ａ⃝
u ≡ 2, v ≡ 0 ( mod 3 )‥Ｂ⃝
u ≡ 0, v ≡ 1 ( mod 3 )‥Ｃ⃝
u ≡ 0, v ≡ 2 ( mod 3 )‥Ｄ⃝
のいずれかを満たすがＡ⃝とＢ⃝は対応(u,v)→(-u,-v)でＣ⃝とＤ⃝も同じ対応で、Ａ⃝とＣ⃝は対応(u,v)→(v,u)で一対一に対応するから全て同じ個数である
よってＡ⃝に属する解はちょうどn個である