ここで暴れているバカは数学科ではなく物理学科のようだが、
物理学科でもノルム空間・バナッハ空間くらいは習う。

しかし、一般のノルム空間・バナッハ空間に直行性は定義できない。
それが定義されるためには内積が必要で、
与えられたノルムはその内積から誘導されている必要がある。
そのようなノルムに関して更にバナッハ空間になっているなら、
その空間はヒルベルト空間と呼ばれ、物理学徒が大好きな空間になる。

しかし、そうなってないノルム空間に対しては、直行性は全く定義されない。
たとえば、中線定理の成り立たないノルムは、決して内積から誘導されないので、
そのようなノルム空間には直行性は本質的に全く定義されない。
そして、そのような空間でも線形独立は定義される。

この時点で既に、直行と線形独立は同値な概念ではないと分かる。
もう体感レベルで「同値ではない」と分かる。

これを体感できてない時点で、例のバカタレは物理学徒としても落ちこぼれだと分かる。問題外。