a[1]=4, a[n+1]=(4a[n]+10)/(a[n]+1)　(n=1,2,…)
で定まる数列{a[n]}がある。

b[n]=(a[n]+α)/(a[n]+β) が等比数列になるようなα, β(α＜β)の組をひとつ求めよ

という問題がよくあり、一組求めればいいので、
　特性方程式x=(4x+10)/(x+1) の解を使えばうまくいく
という、十分性による解法が知られていますが、
もし「このようなα、βの組をすべて求めよ」だったら
どのように解けばいいでしょうか。