4次方程式の新解法について考えてみる

昨日ふと思いついた3次方程式の新しい解法、というスレの1です

今度は4次方程式の解法について考えてみました

前回はぶっちゃけカルダノの解法と被っていましたが
今回は既存の解法とは大きく異なっていると思います
とりあえず聞いていただけますか？

146：名無しさん？：2022/06/18(土) 21:49:06.90 ID:0gsiHnz/0
スレ立て代行お願いします

【板名】数学板
【板ﾉURL】https://itest.5ch.net/subback/math
【ﾀｲﾄﾙ】4次方程式の新解法について考えてみる
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代行ありがとうございます

既存の解法ではチルンハウス変換により
3次の項を消去しますがこの解法ではあえて残してます

↓相反方程式を利用して一般解を得る
https://i.imgur.com/voSH58o.png
https://i.imgur.com/VA7ROYE.png
https://i.imgur.com/XvHZbPB.png

ワードで数式書いてそう

相反方程式を4次方程式全体に拡張？させています
つまりこの方法をたどれば4次方程式は相反方程式の形にすることができる、はずです

一次方程式の解法

a₁x+a₀=0、a₁≠0
x=-a₀/a₁

二次方程式の解法

a₂x²+a₁x+a₀=0、a₂≠0
平方完成で、
(x+a₁/2a₂)²=(a₁²-4a₂a₀)/(2a₂)²
x=(-a₁±√(a₁²-4a₂a₀))/2a₂

三次方程式の解法

a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀=0、a₃≠0
立方完成で二次の係数を0にする。
(x+a₁/3a₂)³+(a₁/a₃-a₁²/3a₂²)x+(a₀/a₃-a₁³/(3a₂)³)=0

x+a₁/3a₂=yと変換してy³+py+q=0の形に出来る。

因数分解の公式
y³+u³+v³-3yuv=(y+u+v)(y+ωu+ω²v)(y+ω²u+ωv)と比較して
u³+v³=q、-3uv=p
s=u³, v³とすると
s²-qs-(p/3)³=0
s=q/2±√{(q/2)²+(p/3)³}
y=-u-v=³√(-q/2+√{(q/2)²+(p/3)³})+³√(-q/2-√{(q/2)²+(p/3)³})
-u-v, -ωu-ω²v, -ω²u-ωv

ω²+ω+1=0、x³+y³+z³-3xyz
=(x+y+z)(x+ωy+ω²z)(x+ω²y+ωz)
=(x+y+z)(x²+y²+z²−zx−xy−yz)

x²=a ⇔ x=Ω₁²√a, Ω₂²√a、Ω²=1
x³=a ⇔ x=ω₁³√a, ω₂³√a, ω₃³√a、ω³=1

四次方程式の解法

a₄x4+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀=0, a₄≠0
両辺をa₄で割ると
x4+Bx³+Cx²+Dx+E=0
y=x+B/4と置くと三次の係数が0になってy⁴+py²+qy+r=0の形になる。

q=0の時はyの複2次式で、z=y²と置くとz²+pz+r=0に帰着される。
q≠0の時, u≠0に対して
(y²+(p+u)/2)²-u(y-q/2u)²=0

三次分解方程式は
u(u+p)²-4ru-q²=0⇔
u³+2pu²+(p²-4r)u-q²=0
これを解いてuが求まる。u≠0

(y²+(p+u)/2)²-u(y-q/2u)²=0
F²-uG²=0⇔(F+√uG)(F-√uG)より
yの2次式の積に分解されるので解ける。

またスレ立てたんかね。

a・x^3 + b・x^2 + c・x + d = 0

a・x^4 + b・x^3 + c・x ^2 + d・x + e = 0

以上の方程式について
a 〜 d、又は a 〜 e の数値入れたら解が出てくるようなもん
エクセルかなんかでやれたかいな？

>>6
3時のときも分かりやすかった
これもいいね！

皆さんレスありがとうございます
↑は少し検証不足でした…
「4次方程式は相反方程式にできる」ではなく
「4次方程式は複二次式または相反方程式にできる」というのが正しいです

3次分解方程式の解がs＝-a/4なら複二次式、s≠-a/4なら相反方程式になります
↓一応修正版です
https://i.imgur.com/9fTr93U.png
https://i.imgur.com/BLXJKsg.png
https://i.imgur.com/w2ODWI5.png
https://i.imgur.com/7NmlwrS.png

高木貞治の代数学講義を読んだ方が良いですね。