現代数学　-線形代数からコホモロジーヘ-　1

気分は完全系列

ジグザグ補題
https://ja.wikipedia.org/wiki/ジグザグ補題

数学、特にホモロジー代数学におけるジグザグ補題
（ジグザグほだい、英: zig-zag lemma）は、
鎖複体のホモロジー群から成るある種の長完全列の存在を述べるものである。
この結果は任意のアーベル圏で通用する。

任意のアーベル圏において、A,B,Cが以下の短完全列を満たす鎖複体だとする
0→A→B→C→0

ジグザグ補題は境界写像（族）
δ_n:　H_[n](C)→H_[n-1](A)
が存在して、次の系列を完全にすることができることを主張する
･･･→H_[n+1](C)→H_[n](A)→H_[n](B)→H_[n](C)→H_[n-1](A)→…

写像 δ_n は標準的な図式追跡の議論を使って定義できる。
c∈C_[n] を、 H_[n](C) に属すある同値類の代表元とする。
よって ∂_[n]''(c)=0 。
行方向の完全性より β_[n]:B_[n]→C_[n] は全射なので、
β_[n](b)=c となる b∈B_[n] が存在しなければならない。

図式の可換性より、
β_[n-1]∂_[n]'(b)=∂_[n]''β_[n](b)=∂_[n]''(c)=0

再び行方向の完全性より、
∂_[n]'(b)∈Ker β_[n-1](=Im α_[n-1])

α_[n-1] は単射だから、
α_[n-1](a)=∂_[n]'(b) を満たす a∈A_[n-1] が一意的に存在する。

aは輪体（すなわち∂_[n-1](a)=0）である。
なぜなら α_[n-2]:A_[n-2]→B_[n-2] は単射で、かつ ∂^2=0 より
α_[n-2]∂_[n-1](a)=∂_[n-1]'α_[n-1](a)=∂_[n-1]'∂_[n]'(b)=0
が従うからである
（つまり ∂_[n-1](a)∈Ker α_[n-2](={0}) ）。

a は輪体なので、H_[n-1] }(A) に属すある同値類の代表元になる。
ここで
δ[c]=[a]　（つまり　β_[n-1]α_[n-1](a)=∂_[n]''(c))
と定義する。

このように定義された境界写像は well-defined であることが示せる
（つまり写像が c と b の選択に依らずに定まる。
　証明は上記の図式追跡の議論と同様である）。
また同様の議論で、長系列が各ホモロジー群のところで完全であることも示せる。

くだらん

オレは、ジグザグ補題でなく、蛇の補題から、長完全列の証明を学んだ。

>>6　なるほど
ところで、蛇の補題の前提は
ジグザグ補題の前提より
弱いのかな？(ボソッ)

>>5
そういうのは伝統と格式のある
ナンセンス
とシュプレヒコールする習わしなのだ。

>>8
学習してはいけないのかな

ないとは思うが、(志甫の層とホモロジー代数などで)アーベル圏から層論を勉強してきた院試受験生に対して、
おじいちゃん先生がくだらんと一蹴し、小木曽の代数曲線論かなんかを引っ張り出してきて複素解析からの具体例を求めてきたりしてたら、
受験生がめちゃくちゃ可哀想だな

>>10
小木曽の代数曲線論って古いの？
ついでなんで、典型的な「古いスタイル」の本、教えて

>>11
小木曽本は有限性定理の証明を丁寧に書いているのはよいのだが
どこかForsterの本の引き写しに見えてしまう。
「古いスタイル」は閉リーマン面が代数構造を持つことにこだわる。
「新しい(=くだらない)スタイル」は最初から代数的なものしか
扱わない。

>>12
(=くだらない)を取り除けばこういうことだな
層を定義するだけなら簡単な圏論で出来る
アブストラクトナンセンスみたいな昭和の頃の流行語を今も好んでいる人は、リーマン面から始めて層を学ぶのが分かりやすいと信じているが、実際には道はそれだけではない
別の道を通ってきた人を低評価付けるようなことがあればそれこそくだらない(さすがに日本でそんなことないと思うが)

>>リーマン面から始めて層を学ぶのが分かりやすいと信じているが、
層が本体だと勘違いしないように

>>13
別の道ってどんな道？
全然複素的じゃない代数多様体ってどんなん？
典型的な例あげてみて

>>15
代数多様体が体k上有限型かつ被約な整スキームと定義できるのはよく知られているが、複素的な定義はどこだ？

>>15
任意の有限群は代数群だけど、ここに複素的な要素ある？

>>16
>>17
そんなものをいくら調べてもリーマン面については
何にも言えない
最初から別の世界の話

他愛ない質問
複素数とか実数の位相を一切利用しないことで
得られる利点って具体的に何かな？

５項補題
https://ja.wikipedia.org/wiki/5%E9%A0%85%E8%A3%9C%E9%A1%8C

任意のアーベル圏（アーベル群の圏や与えられた体上のベクトル空間の圏など）や
群の圏において以下の可換図式を考える。

A →B →C →D →E
↓　↓　↓　↓　↓
A'→B'→C'→D'→E'

f:A→B g:B→C h:C→D i:D→E
l:A→A' m:B→B' n:C→C' p:D→D' q:E→E'
r:A'→B' s:B'→C' t:C'→D' u:D'→E'

5項補題は次のものである。
2つの行が完全で、m と p が同型射で、
l がエピ射(全射の抽象化)で、q がモノ射(単射の抽象化)であれば、
n も同型射である。

>>20
５項補題
「2つの行が完全で、
　m と p が同型射で、l がエピ射で、q がモノ射であれば、
　n も同型射である。」
は以下の２つの４項補題から証明される
・m と p がエピ射で q がモノ射ならば、
　n はエピ射である。
・m と p がモノ射で l がエピ射ならば、
　n はモノ射である。

モノ射のモノローグ

・m と p がエピ射で q がモノ射ならば、n はエピ射である。
証明
c′ ∈C′ の元とする。
p は全射なので、∃ d ∈ D . p(d) = t(c′).
図式の可換性より、u(p(d)) = q(j(d)).
完全性より im t = ker u なので、0 = u(t(c′)) = u(p(d)) = q(j(d)).
q は単射なので、j(d) = 0 であり、d は ker j = im h の元である。
したがって　∃ c ∈ C . h(c) = d.
すると t(n(c)) = p(h(c)) = t(c′) である。
t は準同型なので、t(c′ − n(c)) = 0 である。
完全性より、c′ − n(c) は s の像に入っているので、
∃ b′ ∈ B′ . s(b′) = c′ − n(c).
m は全射なので、∃ b ∈ B . b′ = m(b).
可換性により、n(g(b)) = s(m(b)) = c' − n(c).
n は準同型なので、n(g(b) + c) = n(g(b)) + n(c) = c′ − n(c) + n(c) = c′.
したがって、n は全射である。

・m と p がモノ射で l がエピ射ならば、n はモノ射である。
証明
c ∈ C を n(c) = 0 であるような元とする。
すると t(n(c)) は 0 である。
可換性より、p(h(c)) = 0.
p は単射なので、h(c) = 0.
完全性により、∃ b ∈ B . g(b) = c.
可換性により、s(m(b)) = n(g(b)) = n(c) = 0.
すると完全性により、∃ a′ ∈ A′ . r(a′) = m(b).
l は全射なので、∃a ∈ A . l(a) = a′.
可換性より、m(f(a)) = r(l(a)) = m(b).
m は単射なので、f(a) = b.
よって c = g(f(a)).
g と f の合成は自明なので、c = 0.
したがって n は単射である。

くだらん

>>25　すまん

くだらんついでに、スペクトル系列

まず完全対から
完全対 とは、対象 A と C の対と、この対象間の3つの準同型
f : A → A, g : A → C , h : C → A であって、
次の完全性の条件を満たすものを言う:

Im f = Ker g
Im g = Ker h
Im h = Ker f

A → A
↖　↙
　C

>>29
C' をスペクトル系列の E1 項とする。
この操作を繰り返して完全対の列
(A(n), C(n), f(n), g(n), h(n)) が得られる。

C(n) を En 項とし、dn を g(n) o h(n) と置くことで、
スペクトル系列になる。

荒らしと変わらない

基礎から学習してるだけですけどね

スレタイの本を読んだことはないが、こういうことをやってるんでしょ
本題に沿ってるんだから荒らしでもなんでも無い

荒らしで済まんが下らん

>>32
人に読ませることを考慮していない書き込みは荒らしと変わらない

>>34
後学のために確認しますけど
あなたが読めるようにするには、何をどうすればいいですか
具体的に実行可能な指摘をお願いしますね

>>34
図式とか書くの面倒なのにきちんと書いてるじゃん

マイヤー・ヴィートリス完全系列はチェックコホモロジーと関係する。
特に、チェックコホモロジーを計算するために用いた開被覆が
二つの開集合からなる場合において、
スペクトル系列の退化から生じるもの
（マイヤー・ヴィートリススペクトル系列とも呼ばれる）は、
チェックコホモロジーを層係数コホモロジーに結び付ける。

どういうこと？
マイヤービートリスはそりゃチェックに限らず(コ)ホモロジーと関係するというかそもそもホモロジーを計算する手段だし関係しないわけがない
チェックコホモロジーと層係数コホモロジーの結びつき？そもそもチェックコホモロジーが層係数コホモロジーだし結びつけるもなにもなくね？

>>38
チェックコホモロジーの考え方がマイヤー・ヴィートリスの一般化

端的にいえば、開被覆を単体複体のように扱う、といえばいいか

ウェブの標準仕様に数式が当初から盛り込まれなかったのは失敗だったな

最後の手段は「画像で送る」
まだやらないけどｗ

レオポルド・ヴィエトリス (1891年6月4日 -2002年4月9日)はオーストリアの数学者、第一次世界大戦のベテランとスーパーセンテナリアンでした。彼はラドカーズバーグで生まれ、インスブルックで亡くなりました。

ヴィートリスさんはうちのジイちゃんよりチョイ上だなｗ

Leray–Hirsch theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Leray%E2%80%93Hirsch_theorem

Künneth theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/K%C3%BCnneth_theorem

いい例

射影平面の de Rham コホモロジーを
良い被覆の Cech コホモロジーから計算。
体係数なので行列のランクを求めるだけ。
https://twitter.com/yamyam_topo/status/1338861537092517895
https://twitter.com/yamyam_topo/status/1338861537092517895/photo/1
https://twitter.com/yamyam_topo/status/1338861537092517895/photo/2
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

チェックがマイヤー・ヴィートリスの一般化で
エタールはそれをさらに一般化したと思えばいいの？

>>48
エタール？そんな話してないよ

Gysin homomorphism
https://en.wikipedia.org/wiki/Gysin_homomorphism

>>48
位相を圏の上に一般化したグロタン位相で考える

>>51
具体的にオナシャス！

>>51
グロタンディーク位相でチェックコホモロジーってどうやって考えるんだ？

そもそも考えないだろ
一般化してんだぞ

>>53-54
何をどう一般化するの？
具体的にオナシャス！

考えないというか、多様体のチェックコホモロジーより一般的な
代数幾何学的な設定で位相を入れて被服の圏を考えることになるが、わざわざ
そうまでしてチェックコホモロジー自体を調べるというのはあまりやらないんじゃね？

>>52
位相空間上の層理論が圏の上でも使えるようになる
だから一般化された層係数コホモロジーが得られる

>>56
被服じゃなくて被覆ね

ところでCechコホモロジーの場合
開被覆を単体複体のように扱うことで
Mayer-Vietorisの一般化が可能だけど
この方法自体、エタールコホモロジーでも可能なの？

エタールな開・閉被覆それぞれのMVスペクトル系列はあるね

>>53
チェックもドラムも層係数の一種と思えばいい
初めに層（もしくはトポス）ありきという訳だ

>>60
Čech-to-derived functor spectral sequence
https://en.wikipedia.org/wiki/%C4%8Cech-to-derived_functor_spectral_sequence

>56
エタール被覆で、チェックコホモロジーを考えるのが、エタールコホモロジー。
一般ににチェックコホモロジーは、ハウスドルフのとき、うまく行く。
が、ザリスキー位相は、ハウスドルフじゃないから、コホモロジーを導来関手で定義する。
で、チェックコホモロジーと導来関手による定義の一致するときが役に立つ。
エタール被覆でチェックコホモロジーを考えると、一般のハウスドルフのときと同じようにうまく行く。
これをエタールコホモロジーという。

MV 系列を Cech に一般化するのって確か Bott-Tu の2章に書いてあるよな?(昔1章までしか読まなかった)

>>63
書いてありますね

リーマン面の不変被覆はリーマン面で、

複素平面、
単位円盤、
上半平面、
のどれかに同相である。
とかいう定理ありませんでしたっけ？
そうしてそれらは、平坦な空間、放物的空間、双曲的空間になるとかなんとか。

普遍被覆

単位円盤と 上半平面は正則同型、あと射影空間な

リーマン球面と呼ぼう

>>65
いろいろ違うので、修正箇所を『』で囲って、正解示しとくね
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
リーマン面の『不変』被覆はリーマン面で、

リーマン球面（＝複素射影直線）、
複素平面、
単位円盤（あるいは上半平面）、

のどれかに同相である。

そうしてそれらは、それぞれ
楕円的空間（正定曲率）、
放物的空間（＝曲率０＝平坦な空間）、
双曲的空間（負定曲率）、
になる。

>>65
ケーべの一意化定理でググればいいかと

>>69
>>『不変』被覆
これでは"invariant" covering
正しくはuniversal coveringなので普遍被覆
>>単位円盤
「単位円板」が多く使われる

>>71
スマン、直したつもりで直し忘れた
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
リーマン面の『普遍』被覆はリーマン面で、

リーマン球面（＝複素射影直線）、
複素平面、
単位円盤（あるいは上半平面）、

のどれかに同相である。

そうしてそれらは、それぞれ
楕円的空間（正定曲率）、
放物的空間（＝曲率０＝平坦な空間）、
双曲的空間（負定曲率）、
になる。

複素平面と単位円板(=単位円盤)は同相
正確には
双正則同相(biholomorphic)
または
双正則同値(biholomorphically equivalent)
または　
等角同値(conformally equivalent)

一意化定理って凄い大定理だよな
ポアンカレ予想は一意化定理無しには証明出来なかった

ペレルマンの手法を使って一意化定理の別証明を作れるんだろうか？

ペレルマンはコンパクト多様体上のリッチフローの解析

>>72
73に従って直したら？

>>76
スマン、そこ気づかんかった
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
リーマン面の『普遍』被覆はリーマン面で、

リーマン球面（＝複素射影直線）、
複素平面、
単位円盤（あるいは上半平面）、

のどれかに『等角同値』である。

そうしてそれらは、それぞれ
楕円的空間（正定曲率）、
放物的空間（＝曲率０＝平坦な空間）、
双曲的空間（負定曲率）、
になる。

※複素平面と単位円盤は等角同値ではない（これ豆なｗ）

それでスッキリ

それでは、閉リーマン面（代数函数のリーマン面）と、閉ではないリーマン面の
それぞれの普遍被覆面の違いについて述べよ。

閉ではない場合、普遍被覆面がリーマン球面になることはない。

意外と良スレだった

>>73
>複素平面と単位円板(=単位円盤)は同相
境界は？

どの中での境界？

ショットキ被覆とか
ホモロジー被覆とか
普遍被覆以外にも面白い被覆は多い

がロア被覆が基本

グロタンディーク位相の被覆が一番面白い

基本群だけで決まる

レベル高杉

代数トポロジーは大して詳しくないがRonald BrownのTopology and Groupoidsとか良さそう
現代の代数トポロジーでは空間の被覆射はgroupoid(任意の射が可逆な圏)を使って定義されるようで、
やはり現代では被覆空間、基本群の議論でも圏論をしっかり学んでおかないと置いていかれるみたいだな

>>89
初歩的質問ですまんが、圏論つかうとどんなメリットあるの？

>>90
詳しくないけどgroupoidを使うメリットは、groupoidによって空間の射がうまくモデル化される、基点に依存しない、持ち上げの結果が連結だけでない任意の位相群に一般化など色々あるらしい

被覆空間の写像類群となると幾何トポロジーになる

>>90
基本群だとホモトピーで割る、コホモロジーだとイメージで割るなど、割った分の情報が消えてしまうが、
圏として扱うと割る前の情報も扱えるメリットがある。
しかし、割らないで考える分、情報が多くて扱うのが難しくなる。