大学学部レベル質問スレ 19単位目

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dote ra.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 18単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1651147986/

694 １３２人目の素数さん 2022/07/07(木) 10:33:39.21 ID:b2gYezjC
小林昭七さんは推敲など全くしないんでしょうね。

>>2
先生の矢野健太郎は？

ﾁﾋﾞﾅｰｺﾞ

漫画家？

マエスレ>>995
>それを例えば ζΣ[n＝1～∞] a_n と表記すれば
は
そういう表記にすれば良いよ
だからexp(z)が良いと言っているわけ

>>6
文脈による

こうやってアンカーつけるといいよ

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1651147986/995

>>8
なぜ？

>>9

>>6に対するレスで、こう書けばカーソル合わせればポップアップするという話

>>https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1651147986/995

松坂和夫著『解析入門下』

「
平面上の滑らかな曲線 C は平面図形として面積確定でその面積は 0 である．

ただし，曲線 C : x = f(t), y = g(t) (0 ≦ t ≦ 1）

が滑らかであるとは， f'(t), g'(t) がともに存在して連続であることをいう．
」

なぜ，曲線に滑らかという条件を課しているのでしょうか？

曲線が連続であれば一様連続性により，↑の命題を証明できると思います．

平面曲線というと滑らかであることを仮定することが多いから，何も考えずに，滑らかという仮定をしたんですかね．

もしそうだとすると，完全に思考停止状態ですね．

ヒント:ペアノ曲線

また何も考えずにやってる

>>13

ありがとうございました．

縦線領域の場合と違って， ε に対して，曲線を覆う小さい長方形たちの個数を都合のいいように
評価することができませんね．

あ，そういうことではないですね．

縦線領域の場合には， n 個の長方形たちの横辺の長さを 1/n の定数倍の長さに，
縦辺の長さを任意の固定した長さ未満に，出来たから長方形たちの総面積を ε 未満に
出来たんですね．

訂正します：

あ，そういうことではないですね．

縦線領域の境界の場合には， n 個の長方形たちの横辺の長さを 1/n の定数倍の長さに，
縦辺の長さを任意の固定した長さ未満に，出来たから長方形たちの総面積を ε 未満に
出来たんですね．

694 １３２人目の素数さん 2022/07/07(木) 10:33:39.21 ID:b2gYezjC
小林昭七さんは推敲など全くしないんでしょうね。

どの口が言ってんのこれ

>>11
証明して見直して間違いが無いか確認して、日を置いてもう一度確認してから書けよ

>>19
この相手は聞く耳を持たないということが
理解できていればそういうコメントは
できないはず

松坂和夫著『解析入門下』

面積が座標系のとり方に依存しないということを説明していますが，
新座標系に関する「臨界正方形群」についての話が間違っていますね．

「面積が座標系のとり方に依存しないということを説明」には他にもおかしなところがありますね．
旧座標系に関して面積確定の集合 A が新座標系に関しても面積確定であることを証明なしに使っています．

面積が座標系のとり方に依存しないということの説明の部分は特にひどいと思います．

ここは他の本を見ずに書いたのかもしれませんね．

松坂さんは平面幾何的に図を使って説明しています．

杉浦光夫著『解析入門II』には，一般の n に対して，ちゃんとした証明があるようですね．

James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』にもちゃんとした証明があるようです：

「Invariance of volume under isometries」ということに書いてあるようです．

>>12
百回読んで
↓
>>2

James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』

杉浦さんの本は，ごちゃごちゃと細かく色々な命題が書いてあって，すっきりしていませんね．

Munkresさんの本は重要な命題のみ書いてあるようで，非常にすっきりしています．

証明も非常に厳密かつ分かりやすいです．

これが著者としての力量の違いというものでしょうか？

野村隆昭著『微分積分学講義』

著者から，いただいた本（「謹呈 著者」という栞が挟んであった）を今，読んでいたら，説明不足な箇所がある証明を発見してしまいました．
亡くなってしまったので，もうメールで連絡できないのが残念です．

p.182 定理7.19
D が面積確定な有界閉集合であるとき， D 上で連続な関数は D で積分可能である．

f* は以下の関数です． I は D を含む区間です．

f*(x) := f(x) if x ∈ D
f*(x) := 0 if x ∈ I - D

「小長方形 I_{in} 達への I の分割 Δ を考え， S(f*, Δ) と s(f*, Δ) を計算する際に， I_{ij} を次の3種類に分けよう．」

という記述の後で， I_{ij} を以下の3つの種類に分けています：

(1) D の内部に含まれるもの．
(2) ∂D と共通部分があるもの．
(3) D の外部に含まれるもの．

(4) D の内部と外部の合併集合に含まれるもの．
I_{ij} の連結性により，(4)の場合が起こり得ないことを述べていません．

訂正します：

野村隆昭著『微分積分学講義』

著者から，いただいた本（「謹呈 著者」という栞が挟んであった）を今，読んでいたら，説明不足な箇所がある証明を発見してしまいました．
亡くなってしまったので，もうメールで連絡できないのが残念です．

p.182 定理7.19
D が面積確定な有界閉集合であるとき， D 上で連続な関数は D で積分可能である．

f* は以下の関数です． I は D を含む区間です．

f*(x) := f(x) if x ∈ D
f*(x) := 0 if x ∈ I - D

「小長方形 I_{ij} 達への I の分割 Δ を考え， S(f*, Δ) と s(f*, Δ) を計算する際に， I_{ij} を次の3種類に分けよう．」

という記述の後で， I_{ij} を以下の3つの種類に分けています：

(1) D の内部に含まれるもの．
(2) ∂D と共通部分があるもの．
(3) D の外部に含まれるもの．

(4) D の内部と外部の合併集合に含まれるもの．
I_{ij} の連結性により，(4)の場合が起こり得ないことを述べていません．

訂正します：

野村隆昭著『微分積分学講義』

著者から，いただいた本（「謹呈 著者」という栞が挟んであった）を今，読んでいたら，説明不足な箇所がある証明を発見してしまいました．
亡くなってしまったので，もうメールで連絡できないのが残念です．

p.182 定理7.19
D が面積確定な有界閉集合であるとき， D 上で連続な関数は D で積分可能である．

f* は以下の関数です． I は D を含む区間です．

f*(x) := f(x) if x ∈ D
f*(x) := 0 if x ∈ I - D

「小長方形 I_{ij} 達への I の分割 Δ を考え， S(f*, Δ) と s(f*, Δ) を計算する際に， I_{ij} を次の3種類に分けよう．」

という記述の後で， I_{ij} を以下の3つの種類に分けています：

(1) D の内部に含まれるもの．
(2) ∂D と共通部分があるもの．
(3) D の外部に含まれるもの．

(4) D の内部と外部の合併集合に含まれるもの．（かつ D の内部との共通部分， D の外部との共通部分はどちらも空集合ではない）
I_{ij} の連結性により，(4)の場合が起こり得ないことを述べていません．

>>30
自明だからですね

野村隆昭著『微分積分学講義』

もう一箇所ありました．

D が面積確定 ⇔ ∂D は総面積が ε に満たない長方形領域達で覆われる（ε は任意の正の実数）

というのは確かに成り立ちますが，これが成り立つのはなぜかという説明に問題があります．

D を含む長方形領域 I を一つとり， I の任意の分割 Δ に対して，

J(D;Δ) := S(χ_D;Δ)
j(D;Δ) := s(χ_D;Δ)

とおく．

J(D;Δ) は D と共有点をもつ I_{ij} の面積の和である．
j(D;Δ) は D に含まれる I_{ij} の面積の和である．

D が面積確定 ⇔ J(D;Δ) - j(D;Δ) < ε （ε は任意の正の実数）

↑これはダルブーの定理です．
このダルブーの定理が成り立つから，以下が成り立つという説明をしています．

D が面積確定 ⇔ ∂D は総面積が ε に満たない長方形領域達で覆われる（ε は任意の正の実数）

ですが， D に含まれる I_{ij} の中には， ∂D と共有点をもつものもあるかもしれません．
ですので， D に含まれる I_{ij} をすべて取り去ってしまうと， ∂D を覆えない可能性があるかもしれません．
このあたりについて議論がないまま，

D が面積確定 ⇔ ∂D は総面積が ε に満たない長方形領域達で覆われる（ε は任意の正の実数）

が成り立つと説明してしまっています．

D と共有点をもつ I_{ij} 達の集合から D に含まれる I_{ij} 達の集合を引いた残りの
集合に属する I_{ij} 達で ∂D を覆えることを証明しなければなりません．

「D と共有点をもつ I_{ij} 達の集合から D に含まれる I_{ij} 達の集合を引いた残りの
集合に属する I_{ij} 達で ∂D を覆える．」

これは成り立ちそうに見えますが，実際に成り立ちますかね？

反例はありますかね？

D が面積確定 ⇔ ∂D は総面積が ε に満たない長方形領域達で覆われる（ε は任意の正の実数）

の証明ですが，実は，松坂和夫著『解析入門下』では，うまく証明しています．

要するに、野村氏の書いたものに
推敲の余地がある箇所が残っているということらしいが
本人はなくなってしまったのだから
そういう指摘は詮無き事なのでは？

著者からいただいた本（中古書店で購入）
明倫館で買ったのかな？

>>37
普通は「著者から、いただいた本」に続くカッコ内を
そういう意味には読めないと思う。
「いただいた」は「もらった」の丁寧型


「

献本を受けるような間柄だったのなら貰った本に目を通してもいないのはちょっと失礼
しかし亡くなった後で本の不備を見つけてこんなところに晒すのはそんなことの比でないくらい失礼

不備というほどのことでもないなら尚更だな

>>39
だから古本屋という理屈？

>>38
本当に著者からいただいたものなら

＞（「謹呈 著者」という栞が挟んであった）

なんて書かないだろうが
買ったら本の中に栞があった、と見るほうが自然
当然新品なはずもなく

郵便で本が届けられ
封筒から本を出してすぐ本棚に並べた場合
本を開いて初めて
「謹呈 著者」という栞が挟んであった
ことに気づく場合がある。
そんなことが複数回あった。

(1) 「謹呈 著者」という栞が挟んであった
(2) 亡くなってしまったので，もうメールで連絡できないのが残念です．
(3) 本を開いて初めて「謹呈 著者」という栞が挟んであったことに気づく場合がある。そんなことが複数回あった。

(1)と(3)は同一人物が書いた文章のような気がします。「文章の癖」の残存と「句読点の特徴」のわざとらしい改変。>>38の最後の行のカギカッコもこの人らしいいつものミステイク。焦って自己を擁護するつまり自演。
(3)では著者から本が送(贈)られてきてそのままにしてあったことが複数回あったとアピールしている。これは不自然な経験=ウソと思う。

>>43
>>これは不自然な経験=ウソと思う。

自分が経験したことのないことがすべて不自然に思える
というのは、数学者の資質として重要かもしれない。

>>31

杉浦光夫著『解析入門I』p.77 定理8.2の証明は1ページ以上使っています．

そして，野村さんの本では「連結」という用語が出てきません．

やはり，何らかの修正が必要であると思います．

修正案は，「連結」という言葉を登場させずに， I_{ij} が D の内部と外部の和集合に含まれ，
かつ D の外部にも D の内部にも含まれるとすると矛盾が起こることを示すことですね．

>>46
で、誰が修正すべきだと？

訂正します：

修正案は，「連結」という言葉を登場させずに， I_{ij} が D の内部と外部の和集合に含まれ，
かつ D の外部とも D の内部とも共通点をもつとすると矛盾が起こることを示すことですね．

>>49
誰も本気で読んでいないと思うよ

>>45
あなたが瑕疵としているところは自明です

>>51

証明してみてください．

これが自明だというのならば，他の命題でもっと自明であるにもかからわず，
真面目に証明しているものがあるのは何なんでしょうか？

まず第一にフェアじゃないですよね．

>>53
でも自明ですよ？

>>54

証明してみてください．
何行で書けますか？

AIがある命題の証明の難易度を判定するようになったとして，この命題の難易度は
そんなに低くはないと思います．

>>56
自明です

>>57
証明できなくて困っててワロタwww

>>58
煽っても無駄ですよｗ

境界がなめらかな曲面であるような有界な集合は面積確定である．

杉浦光夫の解析入門に↑の命題は載っていますか？

どうもないみたいなんですが，なぜでしょうか？

縦線領域が面積確定であることは書いてあります．

特徴的な文章でバレパレなのだが他人のふりして同じようなネタを書き込む所が「キチガイってこういう人間なんだな」って実感させてくれる。
自演の証拠を積み重ねている。

>>61
どんな視点で書いているかはわかるので
基地外呼ばわりは失礼かと

論点が違う。こいつがキチガイであることは間違いない。

それと本質的に数学の教科書が読めていない。あら探しをしているつもりでも自分が間違うことが多い。
著者も読者も興味の無い所に対して「間違いに気づいちゃった！」とやってるだけの無意味な行為。

行為が首尾一貫しているかどうかだけ見ている
価値観の問題ではない

首尾一貫しているキチガイ。
これは矛盾はしない。

>>64
この馬鹿は反論にならない反論を試みている。

キチガイの一貫性
・誤りを指摘されても明確な謝意を表さない礼儀のなさ
・検討不十分で○○著『△△』にケチをつける。そして著者に対する誹謗中傷をする。

James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』

境界がなめらかな曲面であるような有界な集合は面積確定である．

Munkresさんの本にも↑この命題が載っていないように見えます．

なぜでしょうか？

キチガイの度合いを上げてきたな
「〜が載っていないのはなぜですか」ってもはや難癖にもなっていない

野村隆昭著『微分積分学講義』

∫_{0}^{Π/2} cos^3 θ dθ = ∫_{0}^{Π/2} (1 - sin^2 θ) d(sin θ)

= [sin θ - sin^3 θ / 3]_{0}^{Π/2}

=2/3

という計算があります．

「∫_{0}^{Π/2} (1 - sin^2 θ) d(sin θ)」

という書き方は一般的ですか？

sin θ を一つの変数だと見ているようですが，それならば，

∫_{0}^{Π/2} (1 - sin^2 θ) d(sin θ)

ではなく

∫_{0}^{1} (1 - sin^2 θ) d(sin θ)

と書いたほうがいいのではないかという気がします．

このあたり，どうなんでしょうか？

著者からもらったという嘘をつき、その本に対して文句を言い続けるキチガイ

本当にΠって書いてあるの。
πじゃなくて。

>>71
>>sin θ を一つの変数だと見ているようですが
その理由は？

d(sin θ)

と書いてあるので， sin θ は変数だと考えていると思われます．

>>71
sin θ を変数と見ているわけではない
ものすごく丁寧に書くなら ∫_{θ=0}^{Π/2} と書くところを、最初の式では動いてるのがθであることは明らかだから略して書いている
等号を挟んでも新たな変数は出てきておらずθが動いていることは明らかであるから同じ記法を続けている
sin θを別の記号に置き換えるのでなければ>>71後者の記法は極めて紛らわしく、避けるのが無難

ありがとうございました．

やはり，

∫_{θ=0}^{θ=π/2} (1 - sin^2 θ) d(sin θ)

よりも

∫_{sin θ=0}^{sin θ=1} (1 - sin^2 θ) d(sin θ)

のほうが合理的だと思います．

そこまで書くなら変数変換しろよ…

sinθの外微分d(sinθ)=cosθdθだろ
勝手に積分区間変えて合理的とか何言ってんの

ああ積分区間変えてるわけではないのか
にしても>>71わかりにくいな

つか積分区間の書き方も
分かればいいので
昔から色々

つか積分区間の書き方も
分かればいいので
昔から色々

野村隆昭著『微分積分学講義』

「
p.199
定義7.51
非有界集合 D ⊂ R^2 が面積確定であるとは，面積確定な任意の有界閉集合 K に対して，
K ∩ D が面積確定集合であることをいう．

以下， D は面積確定集合とする．

p.199
定義7.52
定数 M > 0 が存在して， D に含まれる面積確定な任意の有界閉集合 K に対して

∫_K f(x) dx ≦ M

となるとき， f は D で広義積分可能であるという．
」

定義7.51では K は D に含まれるとは限らない有界閉集合です．
定義7.52では K は D に含まれる有界閉集合です．
定義7.52において， D が面積確定であるというのは全く使われていません．
以後も， D が面積確定であるという約束が有効に使われることがありません．

これはどう考えればいいのでしょうか？

K は D に含まれる面積確定な任意の有界閉集合であるという条件をかならずつけるので，
D が面積確定であるかどうかは関係なくなっています．

著者は5chで営業妨害しまくるキチガイに献本したのか？
だとしたら自業自得だな
(俺は嘘だと思っているが)

>>85

野村隆昭著『微分積分学講義』はいい本だと思います．
級数の話がないなど，内容が絞られていますが，説明は丁寧ですし，面白い例題があります．

>>85

誤りを見つけるたびにメールを送っていました．
その日のうちに返信があり，感謝されました．
誤りを修正した刷が出たときに，献本していただきました．

>>87
献本してもらったことは
最初から嘘だと思っていないよ。
野村さんでなくても著者としては当然の反応。
自分の場合は誤りを見つけてくれた人への謝辞を入れた。

著者からもらった本と自分で買った本の2冊持っているという設定か笑
それぞれ第何刷なのか？

それと自分で買った記憶のない本をそのまま書棚に入れて後から著者謹呈だと分かるという設定

>>89
設定というのは「演出」ということ？

自分で買った本が最初にありました．
その後，著者から献本された本と2冊になりました．

>それと自分で買った記憶のない本をそのまま書棚に入れて後から著者謹呈だと分かるという設定

これは別の人が書いた話です．

>>91
書かなくてもわかっているからそれは余計なダメ押しと
こっちは思うのだが
どうしてもそうは思えずに
念には念を押したくなる性分なので
上のような書き込みとなるわけだね

>>91
>>28のこと。

>>90
設定というのは作り話という意味。
2冊持っている証拠が欲しいところ。
著者謹呈の栞(？)も見たい。

これらは簡単に実証出来ることだね。

>>94
そういう話になると
91に付き合うよりもだるい感じだね

>>71
>sin θ を一つの変数だと見ているようですが
そうではなく独立変数はあくまでθです
t=sinθのように変数変換することで
dt=dsinθとなり
独立変数はtになります

d(sinθ)=cosθdθだから
積分区間はθの変域とすべき

>>95
別に何もだるくない。

>>98
91につきあえるのだからそうだろうね

https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+1%2Fx%2C+sin%28x%29%2Fx+from+x+%3D+10+to+x+%3D+100&lang=ja

↑このあたりのグラフを見ると， lim_{x → +0} sin(x)/x の値は収束せず，±∞ に振動しながら発散してしまいそうに見えます．

https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+1%2Fx%2C+sin%28x%29%2Fx+from+x+%3D+0+to+x+%3D+2&lang=ja

↑このあたりから， y = sin(x)/x の挙動に異変が生じて， lim_{x → +0} sin(x)/x = 1 になっています．

これって不思議じゃないですか？

あ、不思議じゃないですね。

https://reference.wolfram.com/language/ref/Integrate.html?view=all

「この関数を積分領域上で可視化する：」というところの直下の重積分の積分領域ですが，間違っていますよね？

>>101
百回読んで
↓
>>2

>>102
何が書かれているか読んで理解して

なんで計算機がやってる事より自分の理解の方を信用するんやろ

>>105

人間が入力したコマンド内の積分領域が間違っているという話です．

https://reference.wolfram.com/language/ref/Integrate.html#23449
Integrate[Sin[x y], {x, 0, 1}, {y, 0, x}]
Plot3D[Sin[x y], {x, y} \[Element] Triangle[{{0, 0}, {0, 1}, {1, 0}}]]

↑この2つのコマンドのうち1番目のコマンドはある縦線領域の体積を計算するコマンドです．
↑この2つのコマンドのうち2番目のコマンドは1番目のコマンドの縦線領域をプロットすることを意図したコマンドです．

明らかに間違っています．

頭悪いくせに人に難癖ばっかり付けてる能無し
ええ加減にせえや

∫_{-∞}^{+∞} exp(-x^2) dx

の値ですが，多変数の広義積分の定義を知らなくても，重積分を使って計算できるんですね．

極限の定義と変数変換の公式（極座標の場合）とフビニの定理を知っていれば証明できますね．

>>107
管理人か運営元かなんかに言いなよ

>>109
それは質問か？

>>110
ここはお前の日記帳ではない
新たに自分語りスレを立てろよ
お前は下らないスレを幾つも立てているのでスレ立ては慣れてるよな

以下の条件を満たす， f と D の例を挙げてください．

D ⊂ R^n を有界集合とする．
f : D → R を有界な連続関数とする．
f は D で積分可能であるが， D の境界の測度はゼロではない．

あ， f = 0 とすればいいですね．

>>114
Dが1点の場合
任意の関数は微分可能？

Rの中で稠密だけど離散的な点からなる測度0なDとればいいんじゃね

>>稠密だけど離散的

数学辞典には
離散的は各点が孤立点であることと
定義してあったような気がする。

稠密はdenseだが
everywhere denseという言い方もある

自由加群の準同型Z^a→Z^bはa＜bの時全射でない事はどのようにしたら言えるのでしょうか
(Z^aは整数Zのa個の直和です)
ベクトル空間なら生成元があったらその一部が基底になる事を使って言えますが
自由加群だとそのような結果は成り立たないので困っています

その準同型を表す行列が
Q^aからQ^bへの全射準同型になるから。

>>120
なるほど
ありがとうございます

アフィンスキームがすごいと思える簡単な例を教えてください

X=Spec K[x,y]/(xy)は可約なアフィンスキームである。
これは、X=V(x)UV(y)でV(x)がXでなくV(y)もXでないから。
さらに
V(x)同型k[y]、V(y)同型k[x]であることもわかる。←ここがわからないのです。教えてください

>>123
全射な環の準同型
k[x,y]/(xy)→(k[x,y]/(xy))/(x)=k[y]
は位相同型V(x)=Spec k[y] を導くみたいな命題が前の方にあるんじゃないか

>>123
>>V(x)同型k[y]、V(y)同型k[x]であることもわかる。

ソースは？

"位相同型V(x)=Spec k[y]"はよいが

>>125
間違えましたV(x)=spec k[y]です
これはスキームの何を使って出てきたものなのでしょうか？
どうゆう原理なのかわからないです

(x＋(xy))を含むk[x,y]/(xy)の素イデアルとk[x,y]/(xy)/(x+(xy))= k[x,y]/(xy)/(x)/(xy)=k[x,y]/(x)=k[y]の素イデアルが1対1だからという事ですか？
これであっていますか？

それでわかるんではないの？

V(x)=V(xy)∩V(x) = V(xy,x) =V(x)=spec(k[x,y]/(x))=speck[y]
やろ

『ベーシック圏論』の1.3 自然変換のところで、例として、有限次元ベクトル空間の圏(FDVECT)における、恒等関手から二重双対関手への自然変換が挙げられています
そこで、
>以上は恒等関手から二重双対関手への自然変換を定める。（中略）。定義1.3.2の言葉を用いるならば、Vについて自然にV≅V^{**}が成り立つ。
>このことは圏論が直感を正確にする場面の一つである。非形式的な意味で、有限次元線形空間とその二重双対の間のこの同型が「自然」あるいは「標準的」であることは圏論を学ぶ前では明白だった。
>(定義するのに恣意的な選択が不要だったから)。
>反対にVとその一重双対V^*の間の同型を指定するには恣意的な基底の変換が選択で、同型は本当に基底の選択に依存する。
という記述があります。
二重双対の場合に自然変換があるということは説明されている一方一重双対の場合の自然変換についての事情は説明されていなくて
「このことは圏論が直感を正確にする場面の一つである。」ということの理屈について理解しかねているのですが、

・Vとその一重双対V^*の間の同型を指定するためには恣意的な基底の選択が必要なことと対応して、Vとその一重双対V^*の間の同型と対応するような自然変換は存在しない

ということなのか、

・Vとその一重双対V^*の間の同型と対応するような自然変換を定めるには、Vとその一重双対V^*の間の同型を指定する際と同様に、恣意的な基底の選択が必要

ということなのかどちらかだと思うのですが、どちらですか？
それとも、どちらとも違う別の意味なんでしょうか？

V→V*, f→f ∗はcontravariant

すみません、
> V→V*, f→f ∗はcontravariant
だから何なのか分かりません

V→V*, f→f ∗はcontravariant だから、二重双対の場合の恒等関手に対応する関手が取れない？ということなのかなとも考えましたが、
それはそれで
>反対にVとその一重双対V^*の間の同型を指定するには恣意的な基底の変換が選択で、同型は本当に基底の選択に依存する。
とはまた別の話なのかなという気がします

>>130
そもそも共変関手と反変関手の間に自然変換は定義されないのでは？
無理矢理定義するなら、例えば2倍する自己同型について考えれば自然変換が存在しないことがわかるから前者の方が正しいかな

ここで言ってるのは、
「VとV^{**}の間に定まる同型が自然」みたいな言い方をあまり厳密な意味を考えずに使ったことがあるかもしれないが、これは圏論の言葉を用いればその同型が自然変換を定めると言うことができ、これは厳密に定義された言葉になってる、
ってことだと思う
「反対に」ってのは「恣意的な選択が不要だった」ことに対して言ってるように思うので、>>130で書いてある分を読んだ限りでは少し話が逸れてしまってる印象。
ベシ圏読んだことないから的外れなこと言ってたらすまんが。

>>133
ありがとうございます、レスをいただいて再度考えました

表現をお借りして言うと、
(1)「VとV^{**}の間に定まる同型が自然」という言い方をしていたものを圏論の言葉を用いて言うと「A」ということができる
(2)「VとV^{*}の間に定まる同型が自然でない」という言い方をしていたものを圏論の言葉を用いて言うと（V^{**}とV^{*}を適宜置き換えた上で）「Aの否定」ということができる
(3)「VとV^{**}の間に定まる同型が自然」ということと「A」ということの関係
(4)「VとV^{*}の間に定まる同型が自然でない」ということと「Aの否定」ということの関係
というあたりが理解できると「このことは圏論が直感を正確にする場面の一つである。」という記述が腑に落ちるのかなと思いました


そのうえで、言葉遣いの問題なのでちょっと屁理屈のようになってしまうのですが、
>「VとV^{**}の間に定まる同型が自然」みたいな言い方をあまり厳密な意味を考えずに使ったことがあるかもしれないが、これは圏論の言葉を用いればその同型が自然変換を定めると言うことができ、これは厳密に定義された言葉になってる、
において、どのような自然変換かを全く指定せず単に「その同型が自然変換を定める」と言ってしまうと、
Vとその一重双対V^*の間の同型により反変関手が定まりますが、この反変関手とそれ自身の間の恒等自然変換は存在するため、
Vとその一重双対V^*の間の同型についても「Vとその一重双対V^*の間の同型が自然変換を定める」と言えてしまい、問題があるように思います

一方、「その同型が自然変換を定める」をより正確に言葉を費やすと「恒等関手とその同型により定まる二重双対関手との間に自然変換が定まる」という感じになるのかなと思いますが、
この場合、対応する上記の（２）としては
「VとV^{*}の間に定まる同型が自然でない」という言い方をしていたものを、圏論の言葉を用いて言うと「恒等関手とその同型により定まる一重双対関手との間に自然変換が定まらない」と言うことができる
ということになると思います
しかしここで「恒等関手とその同型により定まる一重双対関手との間に自然変換が定まらない」のが「共変関手と反変関手の間に自然変換は定義されない」からだとすると、上記の(4)の関係が特に無いように思えてしまいます

>>134
>上記の(4)の関係が特に無いように思えてしまいます
どうあれば君にとってあるいは他の人にも「自然」に思えるように定義できるかを説明して

>>134
どうあれば自然と思えるかは（特に他の人にとっては、という部分は）分かりませんが、
>「このことは圏論が直感を正確にする場面の一つである。」
と言われた場合に、「直感」と「圏論により正確にされたもの」の間に何かしらの関係があると期待するのは自然じゃないでしょうか？

アンカー間違えました
>>134ではなく>>135宛です

>>136
漠然としていてそれでは分からない
自然変換は
2つのファンクターF,Gについて
n(X):F(X)→G(X)
　F(f):↓ G(f):↓
n(Y):F(Y)→G(Y)
を可換にするように定義されるnのこと
という具合に示して

>>138
自然変換とは異なるものを説明しろと言われているので、自然変換と同じようにしめしてと言われても無理です

>>139
だから自然変換とは別のモノで君が自然と思えるモノは何かをこういう風に示して

君が『自然』と思えるモノを他人に忖度させようとしても無理だってことだよ
まずは自分で
どうあれば『自然』なのかを突き詰めて考えて
数学は主張する学問なんだよ

>>140
そもそもよく考えると質問の意味が分からなかったですが
人間の手が入ってない原生林とかですか？

>>141
別に自然と思うどうこうの部分を質問してるわけじゃないので的外れですね

>>142
>>143
クズだこいつ

>>142
しおもな
どういうことが言えれば君が納得するのかを君自身に示して欲しいのだけど
もっと具体的に

>>145
上でまとめた通り(1)〜(4)について(Aの表現の内容も含めて)分かれば納得します
(3)と(4)については無いという話で終わっていいというならそれで納得します

>>146
もっと具体的には言えないのね？
じゃあ
納得するまで自分で考えてねぐらいしか言えない

>>147
そうですか
頂いた最初の質問から最後のコメントまで、話がかみ合ってなくてすみません

>>148
何が疑問で有るのかを自分で把握できることが
疑問の解消の半分だと思うよ

>>134
同型V~V*で自然変換を定めることは確かに出来る
ただ、その同型の取り方によって準同型fが移される先が変わるので実用性に欠ける　そういう意味で不自然

自然変換はCからDへの関手からCからDへの関手への対応だから
恒等関手がFinVect→FinVectなのに対して(-)^*はFinVect^Op→FinVectなので定義から自然になりえない
確かに歴史的には自然という言葉が先にあって圏論で後から定義されたが、そういう数学史とは切り分けたほうが分かりやすい

ID:hEVJZD6B
これ以上荒らしに構うな

>>150
>同型V~V*で自然変換を定めることは確かに出来る
どうやって？

>>153
それは自明だな

>>154
f:V→V:f(x)=2x
はどうするの？これ>>133で指摘されてることだけど

>>151に書いたように定義上自然変換にならない
多分古い和書で「具体例を見てみると基底に依存するから～」なんて説明で学ぶから自然の意味が理解できてないんだろう

「f の下積分 + g の下積分」と「f + g の下積分」の間に何か関係はありますか？

ｈｔｔｐｓ：／／ｓ．ｋｏｔａ２．ｎｅｔ／１６６０５４２３４２．ｊｐｇ
↑この（A）の前に付いてる文字は何と呼びますか？
また、これは何語ですか？

そういえば大文字くん見なくなったね

>>134
まずVにV^*を対応させる反変関手（Fとする）についてだけど、これはVとV^*から定まるものではないし、それはF^2についても同様だよ。
それに「VとV^{**}の間に定まる同型が自然」ってのは適切な同型が恒等関手IとF^2の間の自然変換を定めるって意味だから、ここでFとFの間の自然変換の話が出てくるのはお門違い。

後、最後のところは共変関手と反変関手の間に自然変換は定義されないのが理由というより、133で書いたように無理矢理定義するとそのような「自然変換」が存在しないという方が理由。
基底を取ることによって定まるVとV^*の間の同型はIとFの間の「自然変換」を定めない、というのが(4)に対する説明のつもりなんだけど、まだ釈然としないかな？

Weierstrass_p

すみません、中学生なんですがこの問題をどうやって解けばいいか教えてください。

数量の比率が1:3:5で単価の比率が3:4:5のA,B,Cの商品を仕入れた。この商品に一定の利益率を見込んで定価をつけたが、A商品は定価どおり販売し、B商品は定価の3分引きで、C商品は定価の1割引でそれぞれを販売したところ、利益総額が2,842,812になった。B商品の売価はいくらであったか。ただし、C商品の仕入数量1,750個であり、A商品の単価は2,700円であった。

●仕入数量がA→350個、B→1050個、C→1,750個

●仕入単価がA→2,700円、B→3,600円、C→4,500円

なことは分かったんですがこのあと、どうやって解けばいいのかがわかりません。
たぶん連立方程式を使うような気がするんですけど、よろしくお願いいたしますm(_ _)m

>>161
ありがとうございます、大変スッキリしました。
ちなみに画像のURLが大文字なのは、元々の小文字のままでは投稿できず、大文字にせざるを得なかったからでした。
お手を煩わせてしまい申し訳ございませんでした。

Fランなら劇難レベルだからスレチじゃないね

>>164
すみません。
なんとか売れた個数をx,y,zにするとか、利益率が一定なので利益率をxにしたりとか、なんとか総売上原価をだせないかとか考えたんですけど、どうしても分からないです。

A商品の数量 = n
B商品の数量 = 3*n
C商品の数量 = 5*n

A商品の仕入れ単価 = 3*p
B商品の仕入れ単価 = 4*p
c商品の仕入れ単価 = 5*p

A商品の定価 = 3*p*r
B商品の定価 = 4*p*r
C商品の定価 = 5*p*r

とする．

売上 = (3*p*r) * n + (4*p*r*(97/100)) * (3*n) + (5*p*r*(9/10)) * (5*n)
仕入れ価格 = (3*p) * n + (4*p) * (3*n) + (5*p) * (5*n)

5*n = 1750
3*p = 2700
売上 - 仕入れ価格 = 2842812

4*p*r*(97/100) = 4*900*(33/25)*(97/100) = 115236/25

>>166
ありがとうございます。
分からない数字をきちんと文字にしていけば解けんですね。途中で諦めてた部分がありました。ありがとうございました。

素因数分解のアルゴリズムを、
「まったく実用にならないほど次数は高いが一応多項式時間のアルゴリズム」という方向で
研究を進める人ってやっぱり少なかったりするんでしょうか
そういう方向でも難しいであろうことが想像ついてたりするのかしないのか
暗号への応用のノイズにかき消されて研究者達の考えの相場がわかりません

A := {(x, y) | x > 0 かつ y > 0}
f(x, y) := 1/[(x^2 + √x)*(y^2 + √y)]

とする．

f が A 上で積分可能であることを証明せよ．

暗号が脅かされるほどの実用的なアルゴリズムはおそらくないのでしょう
知りたいのは「実用的ではないが多項式時間」というのが研究されてるかどうかです

>>169

あ，わかりました．4つの領域に分割すればいいですね．

>>168
やはり無理っぽいとみんな思ってるんじゃないの？
全く手の出しようもない

Z係数のホモロジー群が全て消える事は，Q係数とZ/p係数(pは全ての素数)で全て消える事と等しいという事の
ホモロジーの普遍係数定理を使った証明を読みました
以下のp.266(PDFではp.275)のCor3A.7
http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT+.pdf

これを真似してZ係数のホモロジー群が全て消える事と，Q係数とZ/p係数のコホロロジー群が全て消える事が等しいという事実を
コホモロジーの普遍係数定理を用いて示せないかと考えているのですが上手くいきません
(上の主張を使えば事実としては明らかですが代数の演習としてやろうとしています)
方針としては
「アーベル群AがHom(A,Q)=Hom(A,Z/p)=0かつExt(A,Q)=Ext(A,Z/p)=0を満たす時にA=0」
が言えれば良いのですが
完全列0→Z→Q→Q/Z→0を使って
0→Hom(A,Z)→Hom(A,Q)→Hom(A,Q/Z)→…よりHom(A,Z)=0であり
完全列0→Z→Z→Z/p→0を使って
…→Hom(A,Z/p)→Ext(A,Z)→Ext(A,Z)→Ext(A,Z/p)→0よりExt(A,Z)はねじれなし
である事まではわかりましたがこの先で詰まっています
わかる方いたら教えて下さい

夏なのでよろしく。

小室直樹ゼミでやっていた大学数学をフォローしたいんだけど
Google先生とWikipedia先生とコトバンク先生と数学系YouTube
先生とTwitter検索と5chでほぼ独学で勉強できないかな？
高校の白チャートは買って揃えた。

野口悠紀雄の超勉強法のパラシュート学習法とわんこら式学習法で
挑戦してみたいんだけど。

小室直樹が数学を解説してる本があるからそれを読んだら？
経済数学と統計学に関してはちゃんとしたことを書いてるはず。存在定理の話が面白かった記憶がある。

「アーベル群AがHom(A,Q)=Hom(A,Z/p)=0かつExt(A,Q)=Ext(A,Z/p)=0を満たす時にA=0」

コレでいいならAがℤ加群ならℚ、ℚ/ℤがinjective cogeneratorである事を利用すれば良い
injective である事は任意の0でないn∈ℤからできるn倍写像の完全列
0 → nℤ → ℤ → ℤ → 0
がHom(-,ℚ), Hom(-,ℚ/ℤ)で完全性が保たれる事からわかる
cogeneratorであることはM≠0を任意のℤ加群とすると部分加群mℤでmがねじれ元ならℤ/pℤへの、ねじれ元でないならℤへの単射が構成できてそこからℚかℚ/ℤへの単射ができて、それをMへ拡張すればいい

多重積分の変換則について

∫∫...∫{M’} F(X) dX1.dX2...dXn = ∫∫...∫{M} F(X(x)) det(∂Xi/∂xj) dx1.dx2...dxn

変換: x → X が線形なら "分かる" んですが、これがグニャグニャな曲線変換だと
各地点の体積素片を線形近似で変形させて集めれば、まあそうなるだろう
近似からの差分は極限操作で消えるはず・・・たぶん
この辺りをどの教科書で勉強したかは忘れましたが、こういう雰囲気解説の域を出ていなかったと思います
雑理解なままなのが嫌なので "まともな" 証明が載ってる良い本があれば教えてください

>>177

James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』

>>177
スピヴァックでも可

>>178, >>179
ありがとうございます

>>177
その雰囲気解説で問題ないってことが理解できれば免許皆伝
コツは
小さくしていくのを外から眺めるのでは無く
自分が小さくなっていく＝外部がどんどん大きくなると考えること
接線でも
外部から考えて
曲線と直線が接していると水煮
曲線がどんどん拡大して直線に一致していくと考えるのがよい

y=f(x)=x^2のx=1での接線は
このグラフを平行移動して
y+1=f(x+1)
y=(x+1)^2-1=x^2+2x
をk倍に拡大すると
y/k=(x/k)^2+2(x/k)
y=x^2/k+2x
のk→∞の極限が
y=2x
なので平行移動させて
y-1=2(x-1)
y=2x-1
と考えるべき

超準解析で正当化された無限小解析こそが
微積の本質的理解の要諦

>>176
ありがとうございます
調べながらなんとか理解できました
cogeneratorなんていう便利な概念があるんですね

>>175
レス、ありがとうございます。
数学本を何冊か、出されていますね。
読んでみます。

小室直樹は「ソ連帝国の崩壊」しか読んだことがない

James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』

広義積分を関数の定義域が開集合の場合のみしか考えていません．
しかも関数は開集合上で連続関数という制限を課しています．

これは一般的ですか？

>>187
そういう質問からは眼をそむけたくなる

一般的じゃなかったらなんなの？
寧ろ違う視点から書かれてるものの方が著者の工夫なり考え方なりが感じられて面白いと思うが
どれもこれも「一般的な書き方」なら複数本読む必要性もないわ

まあ>>187程度で一般的も糞もないけど、制限したなら制限したなりに論理構造が簡単になってたりするんじゃないのかと

その後，

A を有界な開集合
f を A 上の有界な連続関数

とすると，

広義積分 ∫_A f は常に存在する．
通常の積分 ∫_A f は存在するとは限らないが，存在すれば，それは広義積分 ∫_A f と一致する．

という定理を証明しています．

杉浦光夫さんの本での広義積分の定義はややこしいですね．

Munkresさんの定義は非常に分かりやすいですが，ややこしい杉浦さんの定義の利点は
なんですか？

Munkresさんの本を読んでしまうと，杉浦さんの本のようなややこしい本は読みたくなくなります．

読まなきゃいいじゃん

杉浦解析入門�T、�Uを読んで見たら意外に役立つけどな
あそこまでまとめて細かく書いてあるとは思わなかった

算数レベルの知識でローラン展開の質問を繰り返すこの男は何が面白いのだろうか。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13100196.html
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13092428.html

>>195

教えて!gooの数学カテって回答者のレベル低すぎない??
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1634602149/

Michael Spivakさんって2020年10月に亡くなってたんですね．

物理の本の第2巻はもう出ないですね．

Michael David Spivak[1] (25 May 1940 – 1 October 2020)[2][3] was an American mathematician specializing in differential geometry, an expositor of mathematics, and the founder of Publish-or-Perish Press. Spivak was the author of the five-volume A Comprehensive Introduction to Differential Geometry.

Partitions of Unityって，作るまでの過程が泥臭すぎますね．

exp(-1/x^2)が泥臭い？

マンコクレッテ　本気なの　開集合できめるのあ？

足立正久というトポロジーの先生は
マンクレスと読んでらした

https://www.youtube.com/watch?v=Rpqrlc23fCU&t=12s

加藤文元著『ガロア理論12講』

ガウスの補題の証明が面白いのですが，その証明が載っている本を教えてください．

ガウスの補題を証明に使う補題（補題2.4.1）：
G(x), H(x) ∈ Z[x] として， F(x) = G(x) * H(x) とする．素数 p が F(x) のすべての係数を割り切るならば，
p は G(x) のすべての係数を割り切るか，あるいは H(x) のすべての係数を割り切る．

ガウスの補題：
f(x) ∈ Z[x] が Q 上可約であるとする．このとき，定数でない Z[x] の元 g(x), h(x) で，
f(x) = g(x) * h(x) を満たすようなものが存在する．

b*g(x) ∈ Z[x] となるような正の b ∈ Z が存在する．
c*h(x) ∈ Z[x] となるような正の c ∈ Z が存在する．
a := b*c とおく．
G(x) := b*g(x) とおく．
H(x) := c*h(x) とおく．
a*f(x) = G(x) * H(X) が成り立つ．
a = 1 ならば，ガウスの補題が成り立つ．
a > 1 ならば， p1 | a となる素数 p1 が存在する．
a = p1 * a1 とする．
補題2.4.1により，「G(x) の係数はすべて p1 で割り切れる」または「H(x) の係数はすべて p1 で割り切れる」
のうち少なくとも一方が成り立つ．
前者が成り立つならば，G(x) := G(x)/p1 とする．
後者が成り立つならば，H(x) := H(x)/p1 とする．
a1*f(x) = G(x)*H(X) が成り立つ．
a1 = 1 ならばガウスの補題が成り立つ．
a1 > 1 ならば， p2 | a1 となる素数 p2 が存在する．
a1 = p2 * a2 とする．
補題2.4.1により，「G(x) の係数はすべて p2 で割り切れる」または「H(x) の係数はすべて p2 で割り切れる」
のうち少なくとも一方が成り立つ．
前者が成り立つならば，G(x) := G(x)/p2 とする．
後者が成り立つならば，H(x) := H(x)/p2 とする．
a2*f(x) = G(x)*H(X) が成り立つ．
a2 = 1 ならばガウスの補題が成り立つ．
a2 > 1 ならば，…

a > a1 > a2 > … だからいつかは a_l = 1 となる．
そのとき，
a_l*f(x) = f(x) = G(x) * H(x) が成り立つ．

加藤文元著『ガロア理論12講』

体の自己同型の定義ですが，

φ(a + b) = φ(a) + φ(b)
φ(a * b) = φ(a) * φ(b)
φ(1) = 1

を満たす全単射として定義されています．

φ(1) = 1

は導けるので無駄な条件ですよね．

φ(1)=φ(1*1)=φ(1)*φ(1)
体は乗法逆元φ(1)^-1が存在するので両辺かけて
1=φ(1)

確かに冗長だな
導けることを書いたほうが勉強にはなる

0への定数写像除外してるんやろ

1あり環としての準同型、かつ全単射
って言ってるんじゃないの

スキーム(X,Ox)でOx(X)←はどんな環ですか。よくわかりません。

X=SpecAのときはOX(D(f))≡Afで、
X=X-φ=X-V(1)=D(1)
OX(X)≡A1=A

アフィンスキームじゃないスキーム(X,Ox)の時はOx(X)はどんな環ですか？

アフィンサブスキームU⊂Xを動かすときのOx(U)の射影極限

茎の集まりがOx(X)ていう考えはおかしいですか

射影極限はわからないです

>>214
分かれよ

スキーム(Z,Oz)、アフィンスキーム(specR,OspecR)に対して
Hom(sch)(Z,specR)全単射Hom(ring)(R,Oz(Z))なんですが
Hom(sch)(SpecR,Z)全単射Hom(ring)(Oz(Z),R)は成り立つでしょうか？

反例は思いつかんけど成り立たないに一票

ああ、Z = ℙ¹(ℂ)、R=ℂとかでもうダメやん

ありがとうございます。

k[t]/(t^2)の(t)による局所化がどんなものかわかりません。
教えていただけないでしょうか。あと導き方も。

これはk[t]/(t^2)自身になりますか？

>>221
なりますね
k[t]/(t^2)自身(t)が唯一の極大イデアルである局所環だから

あるいはat+b (b≠0)の逆元をt^2=0に注意して素手で計算できますから

ありがとうございます。
「mを唯一の極大イデアルに持つ局所環のmによる局所化は自分自身になる。」みたいな定理ってありますか？

そりゃそもそも
R→SがRの局所化
⇔
1) Sは局所環
2) 任意の局所環TとR→Tに対してR→TはR→Sを一意に通過する

なんだからRが元々局所環ならS=R、R→Sはidが局所化になるのは当たり前やん？
元々局所環なのに局所化もへったくれもない

>>222
下半分が理解できました。a+bt/c+dt,(cは0じゃない)みたいな形してるから、元のやつの逆元が計算できることに対応してるみたいな感じってことですね

>>224
その局所化の定義みたいなのはわからないですけど、そうだということは当たり前だと覚えておきます。

どんな勉強してるとそんなギャグを思いつくんだろ

ギャグだと？どこら辺がギャグなんですか

>>226
覚えるな
分かれよ

補題2-10

A ⊂ R^n を長方形とする．
f : A → R^n を連続微分可能とする．
A のすべての内点 x に対して， |D_j f^i(x)| ≦ M が成り立つような数 M が存在するならば，

|f(x) - f(y)| ≦ n^2 * M * |x - y|

がすべての x, y ∈ A に対して成り立つ．

>>230

は， Michael Spivak著『Calculus on Manifolds』に書いてある補題です．

D_j f^i は連続関数なので， A 上で最大値最小値をとります．
ですので，補題2-10での M は常に存在すると思います．

松坂くんは今日も絶好調

>>230

の補題のステートメントは間違っているということですか？

絶好調なら「fは微分可能であれば十分です」とか言いそう

>>230

結論として，著者の頭の中では A は開長方形なんだと思います．

ですが，そうだとすると，「A のすべての内点 x に対して」というのが奇妙な表現ということになります．
「A のすべての点 x に対して」と書けば十分だからです．

その本持ってないから知らんけど長方形=2次元区間で開とも閉とも限ってないんじゃない？

>>230 有限増分の定理だね

境界上では有界云々以前に微分すらできないときもある

>>232を受けて>>233ということは、一応自分がどのように思われてるかの認識はあるようだね
自分の能力を棚に上げた著者批判も、卑劣な行為だと理解した上でやってたことなのかな

関数解析の教科書(自習で使う)って何かいい物ありますか？
調べてみた感じ岩波の「関数解析」(岡本/中村)がよさそうですけどどう思いますか？

Sergei OvchinnilovのFunctional Analysis: An Introductory Courseとか好きだな
何を読むか最後に決めるのは本人だからなんとも言えんけど

>>230

の補題ですが，これは逆関数定理の証明に使うための補題です．
この補題の使われ方を調べるため，逆関数定理の証明を読んだのですが，この補題は以下のように書くのが自然です．

補題2-10

A ⊂ R^n を閉長方形とする．
f : A → R^n を連続微分可能とする．
M を A のすべての点 x に対して， |D_j f^i(x)| ≦ M が成り立つような数とする．

このとき，

|f(x) - f(y)| ≦ n^2 * M * |x - y|

がすべての x, y ∈ A に対して成り立つ．

そこで，気になるのが，斎藤正彦さん訳の『多変数解析学』でこの補題がどのように書かれているかです．

原著をそのまま訳しておかしなことになっているのか，斎藤正彦さんが，

>>242

のように適切に書き直しているかどうかです．

そのまま，理解せずにただ訳しただけなのか，理解して訳していたかが，ここを見れば
判定できると思います．

斎藤正彦訳『多変数解析学』を持っている人はいませんか？

あ，「齋藤」が正しいですね．

齋藤正彦さんって宮澤喜一さんのいとこなんですね．

それが？

Michael Spivakさんの逆関数定理の証明ですが，非常に巧妙な証明ですね．

逆関数定理の本質的に異なると考えられる証明ってどれくらいあるんですか？

>>248
平方剰余の相互法則の証明と比べると
比較にならない

ステートメントが真に本質的な部分で弱くなってる
そういう基本的な事がいつまで経っても分からんアンポンタン
しょうもない重箱の隅にしか目が入ってないからそういう重要な話のポイントは何一つ頭に入ってない

あ，

>>236

が正しいようですね．

で，この補題を逆関数定理の証明で使う際には，閉長方形に対して適用しているわけですね．

論点と違うけど、n^2の部分ってn^(3/2)にできない？
||f(x)-f(y)||≦|f^1(x)-f^1(y)|+…+ |f^n(x)-f^n(y)|の代わりに
||f(x)-f(y)|| =√ ((f^1(x)-f^1(y))^2+…+ (f^n(x)-f^n(y))^2)に不等式を使えばnが√nになると思うんだけど

>>230

この補題ですが，わずかでも一般化すると嬉しいという数学者のセコさがあらわれていますね．

金持ちが，小銭をもらって喜んでいるような感じですね．

境界上での偏微分の定義とか、境界を持つ領域上の関数が連続微分可能であることの定義はどうなってるの？

>>255

It is convenient to define a function f : R^n → R^m to be differentiable on A
if f is differentiable at a for each a ∈ A. If f : A → R^m, then f is called differentiable
if f can be extended to a differential function on some open set containing A.

訂正します：

>>255

It is convenient to define a function f : R^n → R^m to be differentiable on A
if f is differentiable at a for each a ∈ A. If f : A → R^m, then f is called differentiable
if f can be extended to a differentiable function on some open set containing A.

境界上での偏微分は定義してないの？
だとしたらそこを避けるためにAの内点に限って条件を書いたんじゃないの？

「(X,O)がT3空間のとき、Xの部分集合Aも部分空間としてT3空間」を次のように証明しましたが、合っていますか？
T3空間は点x∈Xと閉集合F⊂Xがx/∈F(/∈は∈の否定) を満たすならば,
つねに開集合U,Vがx∈U, F⊂V, U∩V=фを満たすように存在することと定義します。
x∈A, F⊂A、x/∈F、Fは部分空間Aでの閉集合とする。
Xの開集合VがあってA-F=V∩Aとなるので
F=A-V∩A=X∩A-V∩A=(X-V)∩A=G∩A、GはXの閉集合と表せる。
x/∈Fだからx/∈G
(X,O)がT3空間なのでXの開集合U1、U2があって、x∈U1、G⊂U2、U1∩U2=фとできる。
x∈U1∩A、F⊂U2∩A、(U1∩A)∩(U2∩A)=ф
となるのでXの部分集合Aも部分空間としてT3空間である。

>>258
普通はそうやろ
あくまで微分が定義されるのは内点のみ、特殊な事情でどうしても境界上で微分しなきゃならない時はするけどそっちの方が例外
だから「全体で連続、内点で微分可能」なんてごくありきたりの設定
そんなもん高校で平均値の定理が出てきたところで既に出てる話
その時点でで気付けよアホかつて話

supノルムを使う為にf’が有界であってほしい時に閉区間上のC^1級関数を考えたりはする

条件を簡潔に述べやすくするための工夫

James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』

>>187,190

変数変換の定理ですが，広義積分に対して，証明しています．

訂正します：

James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』

>>187,190

変数変換の定理ですが，広義積分に対してのみ，証明しています．

その理由として，以下です：

One reason is that the extended integral is actually easier to work with in this context
than the ordinary integral. The other is that even in elementary problems one often
needs to use the substitution rule in a situation where Theorem 17.1 does not apply,
as Example 2 shows.

杉浦光夫さんの本ではどうなっていますか？

俳優の杉浦直樹さんのいとこの杉浦光夫さんの本は，細かすぎて本当に使いにくいですよね．

齋藤正彦は，政治家の宮澤喜一さんのいとこですね．

藤原正彦さんは作家の新田次郎さんの息子ですね．

>>282
閉領域で微分可能とするには結局厳密には
「その閉領域を含むある開領域で微分可能」とするしかない
しかしそれを前提条件とすると本質的に条件がかなりキツくなる
そんな事まで要求してしまったら
「f(x) = √(1-x²)でf(1) = f(-1) =0だからロルの定理よりあるcでf'(c)=0」もダメになる
そしてこの“内点で微分可能、全体で連続”というセットアップは数学において繰り返し繰り返し発生する状況でそのような状況で使えるように準備しておく事は決して“無用な拡張”をしてるわけではない
むしろ難しい関数を”なめらかな関数の境界になってる関数”と捉えて解析するのは数学の中心的手法と言っていい
数学ある程度勉強してわからんのはもう才能ない

才能があるかどうかって誰か質問したか？

初等解析に才能も何もないだろ

>>269
>>268 の言いたいことは、『才能があるかないかという質問に対する答え』ではなく、
『お前には才能ないからもう数学はやめろ』という忠告ではないだろうか。

まーたマウンティングか

数学と性格

まぁアホ学生なんてこんなもん

∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy dx について考える．

f(x, y) = √(x^2 + y^2) とおく．

f(x, y) = y (x = 0 のとき)
f(x, y) = √(x^2 + y^2) (x ≠ 0 のとき)

です．

f(x, y) は x が 0 であるかそうでないかによって，全く別のタイプの関数になります．

ですが， ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy は x の連続関数になるので，

g(x) = ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy を x ≠ 0 のときにのみ，計算して

∫_{0}^{1} g(x) dx を計算すれば，

∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy dx が求まります．

これって，なんか不思議じゃないですか？

訂正します：

∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy dx について考える．

f(x, y) = √(x^2 + y^2) とおく．

f(x, y) = y (x = 0 のとき)
f(x, y) = √(x^2 + y^2) (x ≠ 0 のとき)

です．

f(x, y) は x が 0 であるかそうでないかによって，全く別のタイプの y の関数になります．

ですが， ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy は x の連続関数になるので，

g(x) = ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy を x ≠ 0 のときにのみ，計算して

∫_{0}^{1} g(x) dx を計算すれば，

∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy dx が求まります．

これって，なんか不思議じゃないですか？

？？？？？

g(y) = y

と

g(y) = √(1 + y^2)

では全くタイプのことなる関数ですよね．

>>277
y=√(0+y^2)
では？君の疑問の出所「タイプ」を突き詰めて考えないと

y と 無理関数 √(a^2 + y^2) は明らかにタイプが異なる関数です．

以下の定理は重要だと思うのですが，書いていない本が多いですね．
なぜでしょうか？
例えば，Michael Spivak著『Calculus 4th Edition』には書いてあります．

f が区間 [a, b] で積分可能であるとする．

このとき，

F(x) := ∫_{a}^{x} f(t) dt は [a, b] で連続である．

f が連続関数ならば， F(x) は微分可能なので，もちろん連続です．

ですが， f が不連続関数の場合には， F(x) が連続であるというのはそれほど自明ではありません．

齋藤正彦さんの本と野村隆昭さんの本には書いてありませんでした．

あ，書いてある本のほうが多いかもしれませんね．

連続関数の積分に限定している本には書いていないということですかね．

>>279
？？？

Stephen Abbott著『Understanding Analysis』

売れ筋の本のようですが，どこがいいのか分かりません．
１変数のみですし，演習問題が多すぎます．

学部生の為のテキストだからな

演習問題が多いことに文句言う人初めて見た

講義で教科書に使っていて、試験は演習問題から出る
というシチュエーションならあり得る

てすと

H.フランダース, 微分形式の理論 およびその物理科学への応用 (岩波書店)
(原題: Harley Flanders, Differential Forms with Applications to the Physical Sciences )
p.22 の問題より

n次元ベクトル空間: V
添字組: H=(i₁,i₂,...,iₚ) { 1≦ i₁<i₂<...<iₚ ≦n }
p重ベクトル基底: σ^H := σ[i₁] ∧ σ[i₂] ∧ ... ∧ σ[iₚ] {基底ベクトル: σ[i]∈V}
として、
p重ベクトル: α = Σ{H} a[H] σ^H {a[H]∈R, ∃a[H]≠0}
を固定すると

部分ベクトル空間: M (⊂ V) { def: v∈M ⇔ α∧v=0 }
が定まります

以下を証明してください
問1. dim(M) ≦ p

問2. dim(M) = p が成り立つためには
α = u₁ ∧ u₂ ∧ ... ∧ uₚ {u₁,u₂,..,uₚ は適当な独立ベクトル}
の形に表せることが必要十分である
-----------------------------

問1.
a[H]から定まる C[n,p+1] × n 次行列 (Aとする) を考えてみたものの
dim(ker(A)) ≦ p を示す方法が分かりません

問2.
[必要性] 分からない
[十分性] w = u₁∧u₂∧...∧uₚ の時 M = span({u₁,u₂,...,uₚ}), よって dim(M)=p

>>290
7次元空間の3-formくらいで
空間の基底をp,q,r,s,t,u,vとして3-form ωにおいてp∧q∧rの係数が1とする
x∈Vがx∧ω=0を満たすとする
x = ap+bq+cr+ds+et+fu+gv (a〜g∈ℝ)
とする
x∧ω∧s∧t∧u = 0よりg = 0
x∧ω∧s∧t∧v = 0よりf = 0
x∧ω∧s∧u∧v = 0よりe = 0
x∧ω∧t∧u∧v = 0よりd = 0
∴ x はp,q,rではられる空間に入る
∴ { x | x∧ω=0} ⊂ <p,q,r>, dim<p,q,r> = 3
ωの他の成分の係数、例えばp∧q∧sの係数も0でないなら{ x | x∧ω=0}は<p,q,s>にも含まれるから<p,q,r>∩<p,q,s> = <p,q>に含まれ次元は２以下
一般化はご自分で

>>290
問1: a[H]が0でないようなHについて、Hに出てこないような添字jに対するα∧σ[j]が1次独立であることを確かめる。
問2: Mの基底を取り、それを含むようなVの基底をとって成分表示。

>>291, >>292 ありがとうございます

再びフランダース本より (p.23)

n次元ベクトル空間: V の1次変換: A が与えられた時、
p重ベクトル空間: ∧^p V の1次変換: ∧^p A を以下のようなものと定義する
(∧^p A)(σ[i₁] ∧ σ[i₂] ∧...∧ σ[iₚ]) := Aσ[i₁] ∧ Aσ[i₂] ∧...∧ Aσ[iₚ]

Aσ[i] = Σ{j} a[i,j].σ[j]
添字組: H={i₁,i₂,..,iₚ}, K={j₁,j₂,..,jₚ}
a[H,K] := 行列a[i,j]に対して 組Hから行を 組Kから列を 拾ったp次小行列
とすると
(∧^p A)(σ^H) = Σ{K} |a[H,K]| σ^K と表せます. (フランダース本 p.15)

問.
組H行, 組K列 の成分が p次小行列式 |a[H,K]| である C[n,p]次行列
この行列式の値を求めてください.

---------------
(元の文↓だと伝わらないと思ったので補いました. 意味は同じはずです)
問. dimL=n とし, 1次変換 A: L→L が与えられたとする.　次の行列式の値を求めよ |∧^p A|
---------------

次数計算 C[n,p]* p = n*C[n-1,p-1]　から
|∧^p A| = |A|^C[n-1,p-1] になると予想しましたが、正しい保証はありません

例. p=1の場合, p=nの場合 は自明です.
例. n=3, p=2 の場合
組H,K = {(12),(13),(23)} 〜 {1,2,3} に読み替えて
m = matrix(3)
m[1,1] = a11*a22-a12*a21
m[1,2] = a11*a23-a13*a21
m[1,3] = a12*a23-a13*a22
m[2,1] = a11*a32-a12*a31
m[2,2] = a11*a33-a13*a31
m[2,3] = a12*a33-a13*a32
m[3,1] = a21*a32-a22*a31
m[3,2] = a21*a33-a23*a31
m[3,3] = a22*a33-a23*a32
a = [ a11,a12,a13 ; a21,a22,a23; a31,a32,a33 ]
matdet(m) - matdet(a)^(binomial(n-1,p-1))
⇒ 0
よってこの場合は正しい {PARI/GPで検算}

(続き)
ランダム整数の行列を元に数値計算をしてみましたが
n=10 までは |∧^p A| = |A|^C[n-1,p-1] が成り立っている様子でした
(もちろん 証明にはなりません)

>>294
あまり綺麗じゃないけど、係数体をCに拡大してAをジョルダン分解、とか？

1≦p≦nに対してn次元実ベクトル空間ℝⁿのp重交代積の空間をVₙₚとする
M∈Mₙ(ℝ)が引き起こす写像φᴍ:Vₙₚ→Vₙₚの行列式を対応させる写像Dₙₚを考えればDₙₚはMₙの成分の多項式で書ける写像だから連続
よって今示したい関係式
Dₙₚ(M) = ( det M )^(ₙ₋₁Cₚ₋₁)‥①
は両辺共に連続
よってこの等式がMの稠密部分集合で成立していれば良い
M'ₙ = { M ∈ Mₙ | Mは相異なるn個の固有値を持つ }
とすればM'ₙはMₙで稠密、かつM'ₙで①は成立

>>296 ありがとうございます. それでいいと思います.
|a[H,K]| が上三角行列になるので 対角行列になる >>297 と同様に簡単に等式が示せますね.
例. A e^{i,j,k} = A e[i] ∧ Ae[j] ∧ Ae[k] = (λ[i] e[i] + e[i-1]) ∧ (λ[j] e[j] + e[j-1]) ∧ (λ[k] e[k] + e[k-1])
= λ[i]λ[j]λ[k] . e^{i,j,k} + ({i,j,k} より低位の項)

>>297
「M'ₙはMₙで稠密」これはどこまで自明でしょうか？

>>298
固有多項式の判別式は係数の多項式
それが0出ない空間はMₙの代数的開集合、すなわちZariski open
Mₙは既約だから任意のZariski openは稠密

>>299
すみません勉強が足りず今時点では理解が追いつかない感じですが、ありがとうございます.

James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』

変数変換の定理の証明を読んでいますが，技術的なことを細かく証明しているだけという
印象ですね．

証明ですが，6ページ半の長さです．

もちろん，その前に書いてある命題群も使うので，あまり長さに意味はありませんが．

無料で公開されているとは知りませんでした．

archive.org/details/MunkresJ.R.AnalysisOnManifoldsTotal/page/n173/mode/2up

この補題のStep 3まで読み終わりました．

変数変換の定理の証明で重要な役割をする「partitions of unity」というのも素朴な考え方ですよね．
その証明も技術的です．

スキーム(X,O_X)の構造層O_Xってどんなイメージ？

積分記号下の微分って重要ですか？

変数変換のときに便利

>>304
O_Xはその層化と同型だから、O_X(U)はU⊆Xの点から茎の排他的和への関数の部分集合になる
これが古典的な代数幾何との類推

>>307
ありがとうございます。
スキームの層の方の準同型f#:O_Y→f*O_Xは、なんの元でどの元とどの元が対応しているんですか？

距離化(距離付け)可能な位相空間だったら、最初から距離空間って言えばいいのに、距離化可能な位相空間って言うのは何でですか?
しっくり来る説明をしてもらっていいっすか?

同じ位相を定める異なる距離があるから
具体的な距離ではなく、あくまで距離化可能ということが純粋に位相的性質と言える

こんな質問する奴に答える意味あるんか？

三段論法のわかり易い例を教えてください。
自分は理系なので、数学内の例ならわかるのですが、
日常的な例だとわかりません。　よろしくお願いします。

>>312
ナニナニならばナニナニってのを何か思いつく？

>>313
小学生ならば子供である

でよいでしょか？　ここまでは考えたのですが、ここからがわかりません

>>314
誰か小学生を知ってる？

男は「三段論法を理解するために声を掛けた」などと供述しており…

>>315
近所の太郎君が小学生です。

φ : R^n → R のサポートが、

{x | φ(x) ≠ 0} ではなく、 {x | φ(x) ≠ 0} の閉包と定義されるのはなぜですか？

>>317
では
「小学生ならば子どもです」（大前提）
「近所の太郎君は小学生です」（小前提）
から三段論法により
「近所の太郎君は子どもです」（帰結）
が導かれるました

親切に教えて頂いてありがとうございます。
ところで、(大前提)と(小前提)との使い分けは数学ではしないと思いますが、
必要なことなのですか？

たとえば、
「近所の太郎君は小学生です」（大前提）
「小学生ならば子どもです」（小前提）
から三段論法により
「近所の太郎君は子どもです」（帰結)
は、(大前提)と(小前提)との使い分けとしては間違いですか？

Wikipediaによると
> 古代ギリシアに由来する西洋の三段論法は、
> 大概念 - 結論において述語（P）となる概念（項）。
> 小概念 - 結論において主語（S）となる概念（項）。
> 媒概念 - 大前提・小前提で上2つの概念（項）との関係性が示される媒介的な概念（項）。中項（M）。
> という3つの項（概念）の内、2つの組み合わせ（関係性）をそれぞれ表現する、
>
> 大前提 - 大概念/述語（P）と、媒概念/中項（M）の関係性を示す命題文
> 小前提 - 小概念/主語（S）と、媒概念/中項（M）の関係性を示す命題文
> 結論 - 小概念/主語（S）と、大概念/述語（P）の関係性を示す命題文
との事なので

数学的にはこうなる
・小概念 S: 近所の太郎君
・小前提 M(S): Sは小学生です
・大前提 ∀x { M(x)→P(x) }: (任意xについて){ (xが)小学生ならば(xは)子どもです }
・結論 P(S): S[=近所の太郎君]は子どもです

汎化(∀x) されてる方を「大前提」と呼ぶのは自然に感じますね.

皆さんが親切なので、わたしもやる気が出て調べてみました。
論理の教科書によると、三段論法とは次のことのようです。
[[P→Q]∧[Q→R]]→[P→R]
そうだとすると、「近所の太郎」の例はこれに当てはまらないので
違うのではないでしょうか？

>>322
それも三段論法
これも三段論法
P∧(P→Q)→Q

f:S^n→S^nが恒等写像の整数倍にホモトピックである事(π_n(S^n)=Z))の少し変わった証明法として
以下のように示せというHatcherの本の問題を考えています。
(1)fを単体近似して，q∈S^nでf^(-1)(q)は有限個の点{p_1,…p_k}からなり各p_iの近傍ではfは線形同型であるように
ホモトピーで動かして取れる
(2)gとしてqのある近傍の補集合を基点に潰す写像g:S^n→S^nを取り，合成gfを考える事でさらに(1)のk=1個の場合に帰着させよ
(3)可逆な行列は恒等行列かreflectionのどちらかに弧としてつなげる事を使って主張を示せ
という問題です。

(1)は解けたのですが(2)はこれはgfではなくfgの誤植ではないかと思ったのですが分かる方いたら教えて下さい。
fgであればgをp_iの周り以外を潰す写像とするとfgは(1)でk=1の場合になり
S^nを有限個のn-cellで分割して各n-cellにたかだか1つのp_iを含むようにすると
ホモトピー群での和を定めた時と同様に考えて
id=g_1+…g_kが言えて，これを使ってf=f。id=f。(g_1+…)としてうまくいきそうなのですが
fgではなくgfを考えて上手く示せる方法があるのでしょうか

http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT+.pdf
のPDFのp.368(ページ数ではp.359)のEx15の問題です

白黒の縞模様を細かくしていくと
縞模様の中にそれとは異なる独特の歪みが生じて見えます。
あれは数学的に説明したりモデリングできるものでしょうか。

>>328
gfでも証明できるやろ
以下qは北極N、基点は南極Sとして北半球と南半球が赤道Eで繋がってるとする
q₁〜qₖ全部北半球としてよい
PL構造を北半球全体があるnセルの内点になってるようにとる、すなわち北半球はある線形空間の構造か入ってるとする
各qᵢの近傍Uᵢにfを制限すると線形写像でf(Uᵢ)は赤道Eを含むとしてよい
各qᵢの近傍Uᵢとその極座標(rᵢ,θᵢ)∈(0,[1)×Sⁿ⁻¹でf(1/2,θᵢ)∈Eとなるものがとれるとしてよい
fをホモトピックにgに取り替えて
各qᵢの近傍Uᵢとその極座標(rᵢ,θᵢ)∈(0,[1)×Sⁿ⁻¹で
g(t, θ) = f(2t,θ) ( if t ≦ 1/4 )
g(1-t, θ) = f(1-2t,t) ( if t ≦ 1/4)
g(r,θ) = f(1-t,θᵢ) ( if 1/4≦ t ≦ 1/2 )
g(1/2,θᵢ) = S
となるようにとれる
さらにgᵢを
gᵢ(p) = g(p) ( if p∈Uᵢ、rᵢ(p)≦1/2)
= S ( otherwise )
で定めれは
g = g₁+...+gₖ
になってて各gᵢは±idのどっちかにHomotopicだから了って話でしょ？
そこでf→gに話をreduceするとき赤道を南極に潰す部分をq₁〜qₖまで全部同じの取れますよって話しでしょ？
同じにとる必要もないけど

我ながらいつもいつもアンカーぎメチャクチャやな

なんJ語と数式ってどっちの方が記述できる情報量多いんですか？

>>324
>これはgfではなくfgの誤植ではないか
そうですね

gとして「q」のある近傍の補集合を〜って書いてあるならgfで正しいんじゃない？
というかp_iの周り以外を潰す写像って少なくとも簡単には取れないでしょ。
p_1の周り以外を潰すときにp_2を通ってしまうみたいなことが起きるような。

ℝⁿをn次元実ベクトル空閑としSⁿをℝⁿの|p|≧1なる点を一点に潰した空間とみなす
Sⁿの基点Bはこの潰した点と定める
f : Sⁿ → Sⁿを任意にとる
fとホモトピー同値な写像と取り替えることで点Q₁‥Qₖ、正の数r, r₁‥rₖ、可逆な一次変換l₁‥lₖを
f⁻¹(O) = { Q₁, ..., Qₖ }、
f⁻¹(Bᵣ(O)) = ∪ᵢ Bᵣᵢ(Qᵢ)
f(P) = lᵢ(P - Qᵢ)、(∀P∈Bᵣᵢ(Qᵢ))
と仮定できる
連続写像g : Sⁿ→Sⁿをg(p) = p/rで定める
gはidとホモトピックである
hᵢ = gf( P ) ( if P∈Bᵣᵢ(Qᵢ) )
B ( otherwise )
で定めるとき
f 〜 gf = h₁+h₂+‥+hₖ
である

>>323
貴殿の見識には感服の至りです
「ソクラテスは人間で、...」という有名な「アリストテレスの三段論法」
は実は、三段論法でもモダスポネンスでもないけど、
こういうのを全部まとめて「広義の三段論法」と言おう
ということですね。

>>323
その記法だとなんだか圏論の可換図みたく見えるのは単なる印象論だけで終わる話なのだろうか？

>>332
この分野は、数学知らない哲学者たちが幅をきかせて、2000年前の習慣がいまだに続いている

ｿｸﾗﾃｽは人間である
人間は必ず死ぬ
ｿｸﾗﾃｽは必ず死ぬ


確かに三段論法の典型例としてよく言われるこれって三段論法じゃないんですね
なんか衝撃です

P(x):xは人間である
Q(x):xは必ず死ぬ

∀x P(x)→Q(x)
人間は必ず死ぬ

P(ソクラテス)→Q(ソクラテス)
ソクラテスは必ず死ぬ

>>335
P（ソクラテス）→Q（ソクラテス）
で終わりならその例にあってないよ
P（ソクラテス）∧（P（ソクラテス）→Q（ソクラテス））→ Q(ソクラテス）
というのがその主張で
確かに三段論法
君が言っていたのは∀除去ね
∀xP(x)→P(a)

324ですがみなさんありがとうございます。
>>331でかなり頭が整理されて分かってきました
指摘の通りfgだと問題があってやっぱりgfを考えるのが正しかったです
感謝します

>>335
というか定義の問題だろ
人間の作った概念に合致してるか否かってそんな深い問題か？
単に現代人が共有してる社会通念に合致してるか否かってだけで法令の条文に書いてあるわけですらない

定言的三段論法っていうのは定義があるみたいだけど
数学におけれ三段論法っていう流通した定義はないんだから推移律を三段論法と呼んでも別におかしくない

>>333
カレーはワードどうケ？

高校数学スレが荒らされてるからこっちで聞かせて下さい

∫cos(x-(1/x))dx
の不定積分はどのようにすれば求められるのでしょうか
(xは正の実数とします)
cos(•)のテイラー展開から適切にくくっていったりすると綺麗に解けるのでしょうか？

高校数学スレでそんなこと聞いたら燃料になるだけだわな
いろんな意味で

大先生が無理なら無理やろ
https://www.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%ABcos%28x-%281%2Fx%29%29dx&lang=ja

加藤十吉著『微分積分学原論』がヤフオクに出品されています。

ウォッチリストに登録している人の人数が20人を超えていますが、なぜそんなに人気なんですか？

300ページ未満の薄い本ですよね。

なぜ人気なのかが不思議です。

>>341
おそらく初等関数の組み合わせなどでは表示できないのではないかと思う。
可積分性はわかってもそれが求められないなんていうのもよくあるし。

>>346
微分ガロア理論で不定積分は初等関数で表せないって分かるって

数学のとびら ルベーグ積分と測度 単行本（ソフトカバー） – 2022/2/25
山上 滋 (著)

多変数関数論 (数学のかんどころ 21) 単行本 – 2013/12/24
若林 功 (著), 飯高 茂 (編集), 中村 滋 (編集), 岡部 恒治 (編集), 桑田 孝泰 (編集)

を注文しました。

これらの本っていい本ですか？

>>344
日本数学会の出版賞の受賞者だから
人気は当然のこと

>>349

図書館でパラパラと見た記憶がありますが、薄いこれといって特長のない本に見えました。

1万円を超えましたね。

348の2冊は図書館で見てから買おうとは思わなかったのか

学生じゃなければ大学の図書館使えないからな
普通の公立の図書館じゃまず置いてないだろうし

>>348
その著者たちの本ならば
きっと磨き抜かれているだろう

「素粒子ではなく素角度量を考えよう
素角度量には位置すらない
ある素角度量と別の素角度量が織りなす角度が存在する
宇宙の終わり、そして静止は、あるとしたらこの素角度量の同軸的分布である
万物の根源は角運動量である」

みたいな動機で、位置ではなく角度に次元を見出したい時に使える数学はありますか

それっぽい言葉を並べて馬鹿にしか見えん

直方体で考えましょう
縦、横、高さ。3次元ですね

円筒で考えましょう
半径、角度、奥行。3次元ですね

球で考えましょう
半径、角度A、角度B。3次元ですね


角度が3つだとどうなりますか

ｐは2でない素数でGはp群で位数ｐの部分群が1つだけあります。指数ｐの部分群をHとします。指数ｐの部分群は巡回群になることがわかっています。
指数ｐの部分群が他にないとしたらGは巡回群になる。
Gは巡回群になるのを教えてください。生成元でもよいです。

>>357
G/H=Zpの生成元の引き戻しをa∈Gとしたら？pa∈H=Zp^(n-1)がpa∈pZp^(n-1)なら・・・・

最小反例を与えるGと素数pを取る
Pをpシロー群、Hを指数pの部分群とする
Hの位数を割り切る素数が2つ以上あるならH = H₁×H₂と非自明な巡回群で位数が互いに素である部分群２つの直積に分解する(∵仮定によりHは巡回群で可換)
よってπ:G→G/P→Hを自然な全射としπ⁻¹(Hᵢ)は共に前定条件を満たすことからGの最小性によりπ⁻¹(Hᵢ)は共に巡回群である
よってHᵢの生成元xᵢとPの生成元pをとればx₁x₂は可換、xᵢとpも可換、位数はすべて互いに素だからG全体が巡回群となり矛盾する
よってHの位数を割り切る素数はひとつだけである
v | |H| を素因子とする
仮定により|H| = vᵉとすればHは位数vᵉの巡回群である
Hの生成元xをとるK=<xᵛ>とすれば上と同じ要領で位数が|G|/vで条件を満たすものが構成できるからKPは巡回群でなければならない
特にxᵛとpは可換となる必要がある
よってx→pxp⁻¹によって定められるAut(H)の元σはAut(H)→Aut(K)のkernelに入らなければならないがこのkernelの位数はvでありpと互いに素である
よってσはHの単位写像でありpとxは可換である

あ、そうか
難しく考えすぎやん
Pがpシロー群、Hを指数pの群とするなら仮定からPもHも正規部分群なんだからG = H×PでHもPも仮定から巡回群、位数互いに素で終わってるやん

>>360
Gはp群

ありゃ、問題読み待ちがえてた

G,pを条件を満たす群と素数とする
Hを指数pの部分群とする
仮定によりHは正規部分群である
Hが中心でないとするとg∈G＼C(H)がとれる
gᵖ∈C(H)として良い
この時φ:<g>→Aut(H)をφ(x)(h) = xhx⁻¹と定めればG = H⋊<x>とかける
しかしこの時GはHの部分群である位数pの部分群と<x>自身と２つの位数pの部分群を持つことになり矛盾
∴HはGの中心
ここでg∈G＼Hでgᵖ∈HなるgがとれるがG =<g,H>でHは中心に含まれるから<x,G>は可換
∴Gは唯一の位数pの部分群を持つアーベル群
∴Gは巡回群

G,pを条件を満たす群と素数とする
Hを指数pの部分群とする
仮定によりHは正規部分群である
Hが中心でないとするとg∈G＼C(H)がとれる
gᵖ∈C(H)= Hとして良い
Hの生成元yをとってxᵖ= yⁿとなるnをとる
n = pᵉm , ( p,m ) = 1とするときm>1ならzᵐ = xとなるzがとれてxの代わりにzを取り直すことによりm = 1と仮定できる
e>1であれば(xy^(-pᵉ⁻¹))ᵖ = 1で仮定によりxy^(-pᵉ⁻¹)∈Hとなって矛盾する
よってe=1であり<x>=Gである□

>>365
2変数ならば、高校で解けるっていうのは分かる。
関数を平面に描けるし、変数は 正の自然数 っていう条件のおかげで
どれを何パック買うのかは求められる。

しかし、3変数とか5変数とかって 大学レベルよな

変数の値が入ってるとして変数減らして考えていくでイイよ

これが典型的な線形計画法
受験数学で「それ線形計画法ちゃう」ってのに“線形計画法”ってアホタイトル付けてるyoutube動画いっぱいあるけどこれが線形計画法の大元
単体法でグクったらいっぱい出てくる

石を2100個買って100個は捨てるなり何なりと、とかはナシなの？

>>367-369
思い出した、オペレーションズ・リサーチとか
線形計画とかいう類の奴だ！

変数の値が入っているとして…って
変数が5変数とか7変数だったらどうすんですか。
場合分けなんかしてたら、手で計算できねぇ。

>>369
2100個くらいならOKです。
2000個に対して100個超過ですが、それで
費用Pが「Pの最小値」に近いのであれば許容範囲です。

>>370
5個くらいなら単体法で手計算でできる範囲かもね
それくらいが普通大学の試験とかでやらされる範囲かな
それ以上は計算機かな

tan15° = √{(1-cos30°)/(1+cos30°)} = √{(1-√3/2)/(1+√3/2)} = 2 - √3
tan7.5° = √{(1-1/√(tan²15°+1))/(1+1/√(tan²15°+1))} = ( √(tan²15°+1) - 1 )/ tan15° = ... = √2 -√3 +√6 -2
tan67.5° = √{(1-cos135°)/(1+cos135°)} = √{(1+1/√2)/(1-1/√2)} = √2 + 1
...

何が言いたいかというと、こういった三角関数値が有名角(30°,60°,90°, ... ) でなくても比較的単純に表せる角度の一覧リストが欲しいです
どこかWEBサイトや書籍に載ってないでしょうか？

>>372
http://www10.plala.or.jp/rascalhp/math.htm

>>373
ありがとうございます、こういうのを見たかったんです

>>372
π/5とπ/12ができるからπ/60行ける
π/120はどうするかね
半角？でも半角使うならπ/240もπ/480も・・・

ここで質問するかは微妙なんですけど…
YouTuber謎の数学者って何者なんですか？
今後は阪大で教鞭をとるようですが…

無限公理から無限集合の存在は言えるけど、そこから自然数の集合Nに相当するようなものが存在することを示すのってどうやるの？

無限集合ってだけだと濃度色々あるけど

>>377
自己解決した

無理数 √p について、
その前後にあるもっとも近い有理数をqをとする。
√p と q の距離を 「√pの有理数への距離」 とよぶ。

√2 の有理数への距離 s、
√6の有理数への距離 t を考える。

sとt はどちらが大きいか？
(つまり、√2と√6のどちらが 「有理数から離れている」 か？)

>>380
有理数の稠密性からどちらも0

例えば√2に近づく有理数ksらなる列として
a[1]=1.4、a[2]=1.41、a[3]=1.414、a[4]=…
というものを考えれば|√2-a[n]|→0(n→♾)となる。

そもそも√2に最も近い有理数は記述できない。

>>381
その理屈はおかしいです。
距離0だったら |√2 -s | = 0 となり
s = √2 , s = 有理数 の2つが矛盾して破綻します。

n->∞ であっても a[n] は決して√2 に届きませんし、
微小ではあるが距離は存在します、0にはなりえません。

>>381
>そもそも√2に最も近い有理数は記述できない
存在しない
>>382
存在しないものとの距離もない
別に有理数にしなくても
正実数全体のR+と0との距離どうする？
0に最も近い正実数も存在しないが
>>381の言うように0にすべきでは？

流石にネタ

整数のみを考える。
a ≦ a_1 ≦ … ≦ a_n ≦ b
であるような (a_1, …, a_n) はいくつ存在するか？