松坂和夫著『解析入門下』

「
平面上の滑らかな曲線 C は平面図形として面積確定でその面積は 0 である．

ただし，曲線 C : x = f(t), y = g(t) (0 ≦ t ≦ 1）

が滑らかであるとは， f'(t), g'(t) がともに存在して連続であることをいう．
」

なぜ，曲線に滑らかという条件を課しているのでしょうか？

曲線が連続であれば一様連続性により，↑の命題を証明できると思います．