訂正します：

野村隆昭著『微分積分学講義』

著者から，いただいた本（「謹呈 著者」という栞が挟んであった）を今，読んでいたら，説明不足な箇所がある証明を発見してしまいました．
亡くなってしまったので，もうメールで連絡できないのが残念です．

p.182 定理7.19
D が面積確定な有界閉集合であるとき， D 上で連続な関数は D で積分可能である．

f* は以下の関数です． I は D を含む区間です．

f*(x) := f(x) if x ∈ D
f*(x) := 0 if x ∈ I - D

「小長方形 I_{ij} 達への I の分割 Δ を考え， S(f*, Δ) と s(f*, Δ) を計算する際に， I_{ij} を次の3種類に分けよう．」

という記述の後で， I_{ij} を以下の3つの種類に分けています：

(1) D の内部に含まれるもの．
(2) ∂D と共通部分があるもの．
(3) D の外部に含まれるもの．

(4) D の内部と外部の合併集合に含まれるもの．（かつ D の内部との共通部分， D の外部との共通部分はどちらも空集合ではない）
I_{ij} の連結性により，(4)の場合が起こり得ないことを述べていません．