Cₚそのものに多様体の構造なんか入るわけないやん？
ある多様体MとS²ⁿ⁻¹→Mがあって合成Sⁿ⁻¹→Mが定数にホモトピックで誘導される写像Cₚ→Mがホモトピー同値ではないの？
少なくともオレが知ってる定義

https://en.wikipedia.org/wiki/Mapping_cone_(topology)?wprov=sfti1

では多様体の構造なぞ普通は入らないけど