笠原さんの『微分積分学』のロピタルの定理のステートメントの記述ですが、
まずいところがありますね。

f(x)/g(x) の g(x) が 0 にならないと仮定していますが、これだと g'(x) が 0 になってしまう可能性があります。
そうではなく、 g'(x) が 0 にならないという仮定をすべきです。
そうすれば、自動的に g(x) は 0 になりません。