大学学部レベル質問スレ 19単位目

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dote ra.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 18単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1651147986/

元々は中学教師だった桑田昭三が、受け持った生徒が勘で志望校の変更を決められてしまったことを憂いて、
科学的に判定できないのかと考えた末に、あらゆるデータは正規分布に従うというケトレーの法則(中心極限定理が出たあとに影響を受けて主張された法則だが、もちろん現在では間違っている)を使い、
学力分布は正規分布とみなせるはずだ、と仮定して偏差値によって志望校の判定を行った
それが噂として広まり、70年代前半に全国に広まった

仮に正規分布になるように問題を作ってるとして、本末転倒だしそんなことが可能かも疑わしいが、いずれにしても正規分布に従う必要性は皆無
ただ歴史的にそうなったものを思考停止で使ってるだけ

桑田昭三本人も、偏差値は教育の全てではない、選抜資料として使っているのは同じ国の人間として恥ずかしく思うとまで嘆いてる

>>808
>正規分布にしたがうように作る
そんなことしてるかというか
中心極限定理で自然と正規分布になるよ
>合格点以上で一様分布になるのが理想
理想である理由が飲み込めないが
少なくともそういう異様な分布に
するのはかなり無理そうだ

>>810
中心極限定理によって、標本平均と母平均の誤差が正規分布になることは言えるが、
標本分布そのものが正規分布になる根拠はない

>>808
選抜試験なので合格者の平均が50点くらいで分散がなるべく大きくなるように作る
なるべく受験生の実力を正確に判定するには分散がなるべく大きくなるように作るのが理想、平均がどちらかによると分散も落ちる

>>812
平均も分散も任意の確率分布で定義できるので、
その説明は正規分布関係ない

>>813
そう、正規分布になるよう作ってるわけではない
そもそも最大値、最小値あるんだから正規分布になんぞなりようがない
なるべく合格者の最低が50店くらい、最小値0,最大値100分散がなるべく大きいというふうに作る
その意味での理想は0〜100まで一様分布になることだけどもちろん問題の難易度レベル設定だけではそうなるハズもなく、結果合格者最低が中央値にくる部分だけ取り出すと50点が平均の二項分布になるように作る
それが受験生が多いと正規分布と見た目に似るというだけ

>>811
>中心極限定理によって、標本平均と母平均の誤差が正規分布になることは言える
誤認してるね

ちょっと>>814は変だな
例えば倍率が5倍の入試なら上位1/5が50点〜100点、下位4/5が0点〜50点が理想、さらに分散が大きければ大きいほど良い
結果分布はある程度は正規分布の曲線に似るという話、正規分布を目指すわけではない

>>804
良い問題を作るのにも
才能がいるもんなぁ。
たぶん、人に説明したり設問する能力が低い著者が多いんだろうな。


>>806
演習問題は別に悪くねぇだろ。
演習問題の繰り返しは高度なパターン認識が身につく、
解く事で身についたり、理解するっていうタイプの人の助けになる。

それと思考停止ってwワロタwww
そんな日本語存在しないだろ？
どういう意味ですか？辞書に載ってないんですけど。
英語でなんていうか、わかる？

>>817
そこで自分で考えないからダメなんだよ
脊髄反射で口論ぐらいのレベルの発想な時点でダメッダメ。

ちょっとは自分で考えろ。

>>817

思考停止とは、物事を考えることや、判断することをやめてしまう状態をあらわす言葉です。思考停止は無意識のうちに起こっている場合もあります。

思考停止に陥ってしまう原因は、多くの場合過度のストレスが原因です。

>>819
はい、嘘。
じゃあ、なぜ辞書に載っていないのだ？
英語だと何ていうの？

定義もなく雰囲気で誰かが作った造語でしょ？
くだらん。

最後は、「思考停止」という言葉の由来や成り立ちについてご紹介していきますよ。「思考停止」はネットスラングなどでもなく、考えることの「思考」とやめることの「停止」を合わせたシンプルな成り立ちとなっています。「思考停止」という言葉以外にも、「フリーズ」や「頭が真っ白になる」「なげやりになる」などの言葉で表すことができますよ。

freezeを思考停止すると訳している場合も多そうだ

2つのべき級数の合成がまたべき級数になるということが書いてある微分積分の本が少ないのは
なぜでしょうか？

笠原さんの本には書いてありました。

三村征雄他著『大学演習微分積分学』には、べき級数の逆数がべき級数になるということの
証明が書いてありました。

2つのべき級数の合成がまたべき級数になることは同様に証明できると書いてあります。
確かにそうなんですが、合成のほうを証明しておけば、逆数のほうはその系として自動的
に証明できます。ですので、合成のほうの証明を書くべきだったと思います。

>>817
>たぶん、人に説明したり設問する能力が低い著者が多いんだろうな。
説明はするが理解はそちらの責任
設問は面倒だから細々したことが好きな人にお任せ
て人がほとんどだと思うが

>wワロタwww

そんな日本語存在しないだろ？
どういう意味ですか？辞書に載ってないんですけど。

>>822
>2つのべき級数の合成がまたべき級数になる
|x-a|<rで収束するべき級数y=f(x)を
|y-b|<sで収束するべき級数z=g(y)に
|f(a)-b|<sの場合に合成しz=g(f(x))？
無限の項のべき乗の展開はその場で足さずに
それを無限に足したときに次数毎にまとめて足す？
g(f(c))の値を計算するときはf(c)をf(x)の各項にx=cを代入して足したあとにg(y)の各項にy=f(c)を代入するとなると
足す順序がg(f(x))で次数毎にまとめて足してx=cを代入するのと変わるからなんか面倒くさいなあ
収束考えない形式的な話ならいいだろうけど

>>823
>逆数のほうはその系として
1/f(x)をz=1/yとy=f(x)の合成とするのだろうけど
この場合1/yはどこで展開してもいいのかな
それともy=b=f(a)で展開するのに限定？

(1 + x)^{1/x} = e - (e/2) * x + e * (11/24) * x^2 - e * (7/16) * x^3 + e * (2447/5760) * x^4 ± …

ということを証明したりできて非常に重要だと思います。

証明自体は
その点の近傍で解析的⇔その点の近傍で正則
を使う方が楽だからそんなに意味はない

笠原さんの本のpp.146-147の命題4.24の証明ですが、2重級数についてのこの本では証明されていない
命題を使っています。

それは、正項2重級数 a_{i,j} が収束するとき、 a_{i,j} = 農{i} 農{j} a_{i,j} = 農{j} 農{i} a_{i,j}
が成り立つという命題です。

訂正します：

>>830

それは、

a_{i,j} ≧ 0 とするとき、
。
農{i} 農{j} a_{i,j}, 農{j} 農{i} a_{i,j} の一方が収束するとき、他方も収束し、

農{i} 農{j} a_{i,j} = 農{i} 農{j} a_{i,j}

であるという命題です。

>>810
それ中心極限定理じゃないよ
得点の分布そのものの話であって標本平均の分布の話ではない

得点の分布が正規分布に似た形になることが多いのは
極端に劣る者や優れる者は少ないという当たり前のことが反映されただけでしょ

多変数関数f:Rm→Rnの微分(フレシェ微分？)ってDfと書くのが標準ですか？f’とも書きますか？

あげ

笠原晧司著『微分積分学』

定理に登場する関数についての必要な条件（連続であるなど）が書いてないことがありますね。
こういういい加減なところが嫌ですね。

『対話・微分積分学』を読むと注意深い人なのかなと思ってしまいますが、そうではないですよね。

はぁそうですかって言われそう

あげ

その本は出来損ないだ
捨ててしまえ

時間の速さは毎秒何秒ですか？
秒は普遍ですか？
なんでそうなのですか？
光の速度はなんで３×１０＾８〔ｍ/sec〕なんですか？

測ったらそうなっていた

多変数関数f:Rm→Rnの微分(フレシェ微分？)ってDfと書くのが標準ですか？f’とも書きますか？

フレシェ微分はFréchet derivativeと書きますね

>>843
え？なんだって？

笠原さんの本に、

f(x) = (1 + x)^{1/x} の x → +∞ のときの漸近展開。

log f(x) = (1/x) * log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2)

f(x) = 1 + [(1/x) * log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2)] + (1/2) * [(1/x) * log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2)]^2 + o(1/x^2)

と書かれているのですが、

f(x) = 1 + [(1/x) * log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2)] + (1/2) * [(1/x) * log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2)]^2 + o(1/x^2)

の最後の項が o(1/x^2) になるのはなぜですか？

知らん

プライムで微分を表すのは一変数だと思ってる時だけだろ？

>>847
なんで1変数とn変数で記号が違うんですか？

階乗の一般化って複素数の範囲に限ってもガンマ関数以外にも作れそうだけども他にどんなのがあるの？
それとも一意になるならその証明が知りたい

>>849

ボーア・モーレルップの定理

>>848
多変数だとどの変数で微分したかが重要だからです

>>851
？
どの変数でとかじゃなくて単に「fの微分」ですが

わからないんですね

劣等感婆参上

Hadamard's gamma function

微分がdfの意味ならf'は使わない

>>848
1変数xについての関数ならば
記入しなくてもその微分操作は 「xについて微分すること」 と
文脈で解る。いっぽう、多変数だと…どれについてかが分からんだろ。


ドラクエで敵が1種類か2種類以上かの違いだ。

・1種類なら 「こうげき」 を選んで君のコマンドはそれで終わりだ。
・2種類以上なら、 「こうげき」 を選んで
次に 「スライムかオオアリクイか」を選ぶ。
もしも、後者で 「こうげき」 で手を止めたらコマンド入力のまま、先に進まねぇ。
なぜなら、コマンド、君の操作が意味を為していないから。

>>855
歴史の本で見たことがある

日本語の微分積分の本を何冊か見てみました。

例えば、

e^x = 1 + x + (1/2)*x^2 + … + (1/n!)*x^n + o(x^n)

と書いてある本ばかりです。

ですが、以下も成り立ちます。

e^x = 1 + x + (1/2)*x^2 + … + (1/n!)*x^n + O(x^{n+1})

f = O(x^{n+1}) ⇒ f = o(x^n)

が成り立つので、

e^x = 1 + x + (1/2)*x^2 + … + (1/n!)*x^n + O(x^{n+1})

のほうが情報量が多いです。

これはなぜなのでしょうか？

著者の趣味

e^x = 1 + x + (1/2)*x^2 + … + (1/n!)*x^n + (1/(n+1)!)*x^(n+1) + o(x^{n+1})

のほうが情報量が多いです。

そんな事誰でもわかるという事実がいつまでもいつまでも理解できない無能

>>857
高校生レベルの丁寧な解説なのに
誰も褒め称えてくれない…

承認欲求が満たされない…鬱だ死のう…( '‘ω‘)

>>863
fが写像ならdfは一変数でも多変数でも使うのに
fが関数の時にはf'はなぜ一変数の時しか使わないのか
ここまで踏み込んで説明しなかったからかもしれない

>>857
もう死んだかな？
偏微分じゃないからどの変数とかいう概念がないんだけど

1変数の時は’とかd/dx
偏微分の時は∂/∂xi
全微分の時はdf

普通の関数の時こうなってるんですからフレシェ微分という全微分に対応するものには’は使わないのです

Dfとdfはどっちがスタンダードなの？

1変数とn変数で同じ記号使っちゃだめなの？

f(x,y)があって、y=g(x)としたときに
df/dx=∂f/∂x+∂f/∂y*dy/dx

と書けるわけですけど、df/dxと∂f/∂x区別しないと訳わからないことになりますよね

>>869
そういう質問じゃあないと思うよ

わからないんですね

>>869
>>df/dxと∂f/∂x区別しないと訳わからないことになりますよね
もしかしてこれを否定されたと思った？
このこと自体は正しい。

わからないんですね

>>869
本筋とあんま関係ないけどこの書き方って分かりにくいよな
左辺のfが正確には一変数関数f(x,g(x))を表してるのに対して右辺の∂f/∂xや∂f/∂yのfは二変数関数を表してるから両辺でfの意味が違う

>>861
e^x は例として出しただけです。

f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + (f^{(n+1)}(0)/(n+1)!)*x^{n+1} + o(x^{n+1})

は成り立たないが、

f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + + O(x^{n+1})

は成り立つという場合にも、教科書の形式に従うと、

f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + + o(x^{n+1})

などと書いてしまう人が出てきます。

訂正します：

>>861
e^x は例として出しただけです。

f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + (f^{(n+1)}(0)/(n+1)!)*x^{n+1} + o(x^{n+1})

は成り立たないが、

f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + + O(x^{n+1})

は成り立つという場合にも、教科書の形式に従うと、

f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + + o(x^{n})

などと書いてしまう人が出てきます。

そう書いてしまう人が出てくるかはわからないけど、そう間違ってしまう人がいたらその人の考えが足りなかったというだけでは。
教科書の進行上不都合が出てこないなら甘い評価で進めても問題なかろう

>>874
分かりにくいって？
分かりやすくするためにこう書いているんだけど

>>878
一つの式の中で同じ記号を別の意味で使ってなんで分かりやすくなるんだ

たまに高校生や大学1年のキッズで見かける。

y=f(x)=x^2 (について導関数を求めると…)
dy/dx = 2x (を得る。そして)
dy = 3x * dx

みたいに3行目で意味不明な操作をする人が
いるけどああいう感じの人なんだろうな。

dy/dx を分数だと思ってやがる。
(記号の見た目が似てるだけであって、分数ではない)

微分形式表現だと思えば別に間違ってもないですけど

>>879
同じモノだからさ
fという値
それがx,yに関連している2変数関数だから
∂f/∂xという記法
y=g(x)という関係も含めたらxの1変数関数だから
df/dxという記法
何を意味しているのか明瞭だから区別して書いている

大体
df/dx=∂f/∂x+∂f/∂y・dy/dx
の∂f/∂xも∂f/∂yもy=g(x)が代入されているxの1変数関数
だからこそ左辺の1変数関数（の微分である1変数関数）と
1変数関数として一致している
モチロンこれを
df(x,g(x))/dx=∂f/∂x(x,g(x))+∂f/∂y(x,g(x))・dg(x)/dx
と書くことを妨げるモノではない

うーん、まあいいや
俺は>>884の最後の式みたいに書いてあった方が分かる

>>882
正気か、おまえ。

わからないんですね

>>875
余計な仮定なしの極普通の条件「n回まで微分可そしてそれが連続」から言えるのは
f(x) = f(0) + .. + (1/n!).f⁽ⁿ⁾(0).xⁿ + o(xⁿ)
教科書は一般論を述べたいはずなのでこれでいいんです.
解析関数のように O(x^{n+1}) と書ける場合を含んでいるし
その必要があれば O で書くでしょう. これで混乱する人はもっと他の所で躓くはず

fのn階導関数が連続ならば
f(x) = f(0) + ∫[0,x] f⁽¹⁾(ξ₁) dξ₁
= f(0) + ∫ [0,x] { f¹(0) + ∫ [0,ξ₁]f⁽²⁾(ξ₂)dξ₂ } dξ₁
= f(0) + f¹(0).x + ∫ [0,x] dξ₁ ∫ [0,ξ₁] dξ₂ f⁽²⁾(ξ₂)
= f(0) + f¹(0).x + ∫∫ [0,x]² dξ² χ(0≦ξ₂≦ξ₁≦x) f⁽²⁾(ξ₂)
= f(0) + .. + ∫..∫ [0,x]ⁿdξⁿ χ(0≦ξₙ≦..≦ξ₂≦ξ₁≦x).f⁽ⁿ⁾(ξₙ)
= f(0) + .. + ∫ [0,x] dξₙ (1/(n-1)!) ∫..∫ [ξₙ,x]ⁿ⁻¹dξⁿ⁻¹ f⁽ⁿ⁾(ξₙ)
= f(0) + .. + (1/(n-1)!).∫ [0,x]dξ (x-ξ)ⁿ⁻¹{ f⁽ⁿ⁾(0) + q(ξ) } .... ( q(ξ) := f⁽ⁿ⁾(ξ) - f⁽ⁿ⁾(0) )
= f(0) + .. + (1/n!).f⁽ⁿ⁾(0).xⁿ + (1/(n-1)!).∫ [0,x]dξ (x-ξ)ⁿ⁻¹q(ξ)

|∫[0,x]dξ (x-ξ)ⁿ⁻¹q(ξ)| ≦ (xⁿ/n!).sup{0≦ξ≦x}(|q(ξ)|) = o(xⁿ)
∵ lim{x→0} sup{0≦ξ≦x}(|q(ξ)|) = 0 {f⁽ⁿ⁾(ξ)の連続性}

よって f(x) = f(0) + .. + (1/n!).fⁿ(0).xⁿ + o(xⁿ)

> f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + (f^{(n+1)}(0)/(n+1)!)*x^{n+1} + o(x^{n+1})
> は成り立たないが,
これは、あまり考えたく無い条件「f^{(n+1)}(ξ)は連続ではない」が必要になります
そういうのは必要が生じたら考えればいいだけであって記法の心配とは無縁の話でしょう

訂正: 「n回まで微分可」だけでよい.
「そしてそれが連続」である必要はない.

f(x) = f(0) + .. + ∫ [0,x] dξₙ₋₁ (1/(n-2)!) ∫..∫ [ξₙ₋₁,x]ⁿ⁻²dξⁿ⁻² f⁽ⁿ⁻¹⁾(ξₙ₋₁)
= f(0) + .. + ∫ [0,x] dξₙ₋₁ (1/(n-2)!) (x-ξₙ₋₁)ⁿ⁻² f⁽ⁿ⁻¹⁾(ξₙ₋₁)
= f(0) + .. + ∫ [0,x] dξₙ₋₁ (1/(n-2)!) (x-ξₙ₋₁)ⁿ⁻² { f⁽ⁿ⁻¹⁾(0)+ f⁽ⁿ⁾(0)ξₙ₋₁ + o(ξₙ₋₁) } .... (∵ 微分の定義)
= f(0) + .. + (1/(n-1)!). f⁽ⁿ⁻¹⁾(0).xⁿ⁻¹ + (B(n-1, 2)/(n-2)!).f⁽ⁿ⁾(0).xⁿ + Rₙ(x) .... (B(a,b)はベータ関数)
= f(0) + .. + (1/(n-1)!). f⁽ⁿ⁻¹⁾(0).xⁿ⁻¹ + (1/n!).f⁽ⁿ⁾(0).xⁿ + Rₙ(x)
Rₙ(x) := (1/(n-2)!) .∫ [0,x] dξ (x-ξ)ⁿ⁻².o(ξ)
|Rₙ(x)| ≦ (1/(n-2)!) |∫ [0,x] dξ (x-ξ)ⁿ⁻².ξ. o(ξ)/ξ | ≦ (1/n!). |x|ⁿ. sup(|o(ξ)/ξ|)
lim[x→0] sup(|o(ξ)/ξ|) = 0 ∴ Rₙ(x) = o(xⁿ)
よって f(x) = f(0) + .. +(1/(n-1)!). f⁽ⁿ⁻¹⁾(0).xⁿ⁻¹ + (1/n!).f⁽ⁿ⁾(0).xⁿ + o(xⁿ)

> f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + (f^{(n+1)}(0)/(n+1)!)*x^{n+1} + o(x^{n+1})
> は成り立たないが
そんなのは存在しない

(追記) >>888, >>889 の証明は x ≧ 0 についてのもの
x<0 については
g(t) := f(-t) と置いて
t≧0 についての証明: g(t) = g(0) + .. + (1/n!).g⁽ⁿ⁾(0).tⁿ + o(tⁿ) より
f(-t) = f(0) + .. + (1/n!).(-1)ⁿ.f⁽ⁿ⁾(0).tⁿ + o(tⁿ) .... ∵ g⁽ⁿ⁾(t) = (-1)ⁿ. f⁽ⁿ⁾(-t)
x=-t で置き換えれば
x≦0 についての f(x) = f(0) + .. + (1/n!).f⁽ⁿ⁾(0).xⁿ + o(xⁿ) を得る.

>>889
『余計な仮定』ということについて疑問がありますけど, テイラーの公式:
f(a+h) = f(a) + Df(a)(h) + ・・・(1/n!) D^n f(a)(h^n) + o(|h|^n)
は, f が a の近傍で n-1 回微分可能で, D^{n-1}f が
点 a でのみ微分可能であっても成り立つのではないですか？

ソリャそうだ

沙羅双樹

dfとDfならdfが主流？

接空間の間に誘導される抽象的な写像の意味での微分についてはdfの方が一般的な気がする

G/Φ(G)が巡回群ならGは巡回群である。
Φ(G):フラッチニ部分群

よろしくお願いします。

lim sup_{D∋z → 1} |f(z)|の定義は何ですか？

あった
https://groupprops.subwiki.org/w/index.php?title=Cyclic_Frattini_quotient_implies_cyclic&mobileaction=toggle_view_desktop

>>896
x∈G-Φ(G)とするとxとΦ(G)でGを生成するけどΦ(G)は生成系から取り除けるのでxで生成されるってんじゃないの？

>>896
G/Φ(G) の生成元の代表元の一つをgとしてgで生成される部分群Hを考える。
G=Hでないとすると、Hを含むGの極大部分群はΦ(G)とgを共に含むことからGと一致することになって矛盾。

補題　x∈φ(G),S⊂G,<{x}∪S> → <S> = G
(∵) <S>≠Gなら極大部分群Mを<S>⊂Mとなるようにとれる
x∈Mだから<{x}∪S>⊂M □

系　φ(G)が有限生成、S⊂G、<{sφ(G) | s∈S}> = G/φ(G) → <S>=G
(∵) 補題を用いてφ(G)の生成元の個数についての帰納法□

系　φ(G)が有限生成、G/φ(G)が巡回群→Gが巡回群

>>899-901
どうもありがとうございました。
ちょっと私の頭がボケていました。

関数の上極限が教科書に書いてないのはなぜですか？

その教科書のレベルが低いからです

関数の上極限が書いてある本の例をあげてください。

解析概論とかなら載ってるんじゃない？知らんけど。
載ってない微積の教科書探す方が難しい気がするが。

解析概論、杉浦、小平

書いていませんね。

実数列の上極限と実関数の極限は定義されているけど、って意味だったりする？