三村征雄他著『大学演習微分積分学』には、べき級数の逆数がべき級数になるということの
証明が書いてありました。

2つのべき級数の合成がまたべき級数になることは同様に証明できると書いてあります。
確かにそうなんですが、合成のほうを証明しておけば、逆数のほうはその系として自動的
に証明できます。ですので、合成のほうの証明を書くべきだったと思います。