多変数函数論

多変数函数論（多変数複素解析学）について語りましょう。

【専門書】数学の本第80巻【啓蒙書】
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1542461968/922-

上のスレ922から多変数函数論の話題が続いています。
折角なのでこちらの専用スレで、語りましょう。

新規の方のために、また、今後見返しやすいように、上のスレの関連するレスをコピーしておきます。

>>922
多変数解析函数論　人気あるな、古書高い

>>1
スレ立て乙
まさか多変数函数論のスレが立つとは…

支援します

922 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2022/08/20(土) 13:26:28.52 ID:8u1xSW/o [2/5]
多変数解析函数論　人気あるな、古書高い

923 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/20(土) 16:28:13.43 ID:yHD/9y9V
>>922
一松の本？
復刊版が出たけどそれではダメなのか？

924 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2022/08/20(土) 16:33:57.14 ID:z2sTBZfX
今年は岩波の一括復刊ないの？

925 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2022/08/20(土) 17:47:05.10 ID:8u1xSW/o [3/5]
>>923
売ってないだろ

926 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/20(土) 18:04:20.18 ID:PSydDfXm [1/4]
「古書店」で7500円で売ってる。

927 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2022/08/20(土) 18:05:12.96 ID:8u1xSW/o [4/5]
>>926
それは知ってる

928 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/20(土) 18:32:02.99 ID:PSydDfXm [2/4]
アマゾンだと14800円のと30080円のがある。
これも「売ってる」

929 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2022/08/20(土) 18:47:47.93 ID:8u1xSW/o [5/5]
復刊本のデフォールトが古本なのかｗ

930 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/20(土) 19:05:46.96 ID:PSydDfXm [3/4]
復刊されたのが何年前だと思っているのか

931 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/20(土) 19:29:54.91 ID:PSydDfXm [4/4]
Zoomの講演で一松先生の写真を見せて
He is as old as the queen of England
とやったら
笑いが取れた

932 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/21(日) 06:39:13.58 ID:oUIZN+eU [1/5]
秋月先生の本が文庫になったのだから
この本も文庫化してほしい

933 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/21(日) 08:05:21.94 ID:fPrf5koY [1/2]
野口のじゃあかん？

934 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/21(日) 08:32:17.32 ID:oUIZN+eU [2/5]
「野口の」と言われる時点であかんのでは？

935 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2022/08/21(日) 08:51:13.13 ID:k9mU6Q7u [1/2]
野口の一冊目はコホモロジーが前提だった

936 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/21(日) 09:02:41.61 ID:oUIZN+eU [3/5]
>>935
層の定義が書いてある本は一冊目ではない？

937 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/21(日) 22:20:43.11 ID:fPrf5koY [2/2]
普通に考えると、一松の古い本より、野口潤次郎や大沢健夫らの新しい本の方が
内容も新しくて洗練されているように思うのだが，一松の本って何でそんなに人気あるの？

938 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/21(日) 22:21:55.80 ID:oUIZN+eU [4/5]
>>935
ああ、野口の一冊目は
幾何学的関数論のことだったか。
昔セミナーで読んだが
そうだったかも。

939 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2022/08/21(日) 22:23:17.75 ID:5gLd+HaZ
勧めてる側が最近の本を知らないからでしょ

940 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2022/08/21(日) 22:34:55.00 ID:k9mU6Q7u [2/2]
大沢は難しい、それだけ

941 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/21(日) 22:36:04.77 ID:oUIZN+eU [5/5]
>>937
当時出ていた多変数関数論の文献を
全部読み込んで、それらがグラウエルトによる
複素多様体上のレヴィ問題の解へとまとまっていく様子が
生き生きと語られている。
この本以後に発表されたグラウエルトの
もう一つの代表作のreviewも一松先生が書かれた。
Hartogsの1909年の定理もちゃんと証明付きで述べてある。
この例のように、最近の論文では参照されなくなったが
それ自体として面白い結果が取り上げられていることが多い。

942 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/22(月) 09:31:16.17 ID:g9NufOBG [1/3]
序文で、改変操作について述べられなかったという箇所が
目に付く。
グラウエルトの続編がそれであるし
広中の特異点解消定理が1964年なので
なおさら感慨深い。
その意味で一松本の続編が
広中・卜部の「解析空間入門」でしかないのが
口惜しい。

943 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/22(月) 19:07:53.38 ID:cU0vFZ8D [1/4]
Hartogsの1909年の定理って、各変数について複素解析的なら、多変数関数として解析的になるという定理のこと？
多変数函数論の顕著な性質だけど、ほかの本に証明は書いて無いのか？


944 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/22(月) 19:14:14.80 ID:sYdoBjT0
>>943

>Hartogsの1909年の定理って、各変数について複素解析的なら、多変数関数として解析的になるという定理のこと？
その通りです.

>多変数函数論の顕著な性質だけど、ほかの本に証明は書いて無いのか？
ヘルマンダーの多変数複素解析学入門に載ってます.

945 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/22(月) 19:15:03.26 ID:cU0vFZ8D [2/4]
ググったら、Hartogsはユダヤ人人でナチス・ドイツによって収容所送りにされ、最後は自殺した。
悲しいな

946 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/22(月) 19:24:33.38 ID:cU0vFZ8D [3/4]
複素多様体論って多変数函数論も必要なんじゃ無いかって思うんだけど、、。
でも、例えば小平邦彦の複素多様体論には、この手の話題って全然出て来ないよね。
小平は代数幾何よりのコホモロジー論が中心で、多変数函数論とは余り関係ない話題なのかなぁ

947 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/22(月) 19:25:52.23 ID:cU0vFZ8D [4/4]
>>944
なるほど、ヘルマンダーがありましたね
ありがとうございました。

948 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/22(月) 19:27:41.58 ID:kskCSCM4 [1/2]
>>943
そんなあてずっぽうを言われると
大変悲しい。
1909年の定理は連続関数の正則性が
グラフの補集合の擬凸性によって
特徴づけられるという定理

949 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/22(月) 19:30:13.30 ID:kskCSCM4 [2/2]
>>946
多様体をブローアップして曲率条件を改善してから
存在定理を示し、それをブローダウンしたところへ
戻すときにHartogsの拡張定理を使っている。

950 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/22(月) 20:56:28.67 ID:g9NufOBG [2/3]
>>946
小平先生の土曜セミナーで飯高さんが出された問題の中に
ケーラー族における多重種数の変形不変性があるが
代数性があれば多変数関数論の方法で解かれている。
代数性の仮定なしに示せればフィールズ賞クラスの業績


951 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/22(月) 21:48:47.83 ID:g9NufOBG [3/3]
Riemann-Rochの定理の
スペクトル解析的精密化は
多変数複素解析の枠組みの話
Demaillyの複素Morse理論はその一例

【多変数函数論の和書】 （年代順）

一松信 「多変数解析函数論」 培風館 (1960年) (2016年に復刻版発売)

ヘルマンダー（笠原乾吉訳） 「多変数複素解析学入門」 東京図書 (1973年)

広中平祐，卜部東介「解析空間入門」浅倉書店 (19??年) (2011年に復刻版発売)

樋口禎一，吉永悦男，渡辺公夫 「多変数複素解析入門」森北出版 (1980年)

中野茂男 「多変数函数論 : 微分幾何学的アプローチ」浅倉書店 (1981年)

西野利雄 「多変数函数論」 東京大学出版会 (1996年)

大沢健夫 「多変数複素解析」現代数学の展開 岩波書店 (2006年)

大沢健夫 「多変数複素解析 増補版」 岩波書店 (2018年)

若林功 「多変数関数論」 (数学のかんどころ 21) 共立出版 (2013年)

倉田令二朗 「多変数複素関数論を学ぶ」 日本評論社 (2015年)

野口潤次郎 「多変数解析関数論 (第2版) ─学部生へおくる岡の連接定理」 浅倉書店 (2019年)

野口潤次郎 「岡理論新入門: 多変数関数論の基礎」 裳華房 (2021年)

>>8 (950)
代数性があれば代数的な別証(川又)がある。

1935年に大学を解雇。1938年にはダッハウ強制収容所に送られたものの、
ユダヤ人ではなかった妻との離婚に応じたことで解放される。
その後も政治的圧力と差別・虐殺への恐怖で暮らし、
結局1943年に睡眠薬自殺を遂げた。

>>9

>>広中平祐，卜部東介「解析空間入門」浅倉書店 (19??年) (2011年に復刻版発売)
--->
広中平祐，卜部東介「解析空間入門」朝倉書店 (1981年) (2011年に復刻版発売)

>>中野茂男 「多変数函数論 : 微分幾何学的アプローチ」浅倉書店 (1981年)

--->

中野茂男 「多変数函数論 : 微分幾何学的アプローチ」朝倉書店 (1981年)

>>野口潤次郎 「多変数解析関数論 (第2版) ─学部生へおくる岡の連接定理」 浅倉書店 (2019年)

---->

野口潤次郎 「多変数解析関数論 (第2版) ─学部生へおくる岡の連接定理」 朝倉書店 (2019年)

>>9

一変数ではないはず

幾何学的関数論 (数学選書) 1984
by 落合 卓四郎 (著), 野口 潤次郎 (著)

微積分は1変数から多変数になると難しくなります．
微積分の場合にはどんな風に難しくなるか分かるのですが，
複素関数論は1変数から多変数になるとどんな感じで難しくなるんですか？

一変数だと孤立特異点というのがあって
除去可能、極、真性と
3種類で済むが
多変数だと特異点が孤立しえないので
途端に難しくなる

>>17

ありがとうございました．

ヘルマンダー（笠原乾吉訳） 「多変数複素解析学入門」

再版を望む

一変数複素解析なら学習の指針として
「とりあえずは留数定理まで行ってみましょう、手計算できる定積分の範囲が一気に広がるから」
みたいなのがありますが
これが多変数だと、どんなのがあるんでしょうか？
とにかく難しいそう(だから面白い？)ってだけで飛びつく分野ではないですよね

>>20
とりあえず若林先生の本で
留数定理の
多変数版を眺めてみたら？

>若林先生

若野やろ

それにしても、かんどころのような初心者向けの本が多変数函数論で出版されたのは驚きやね

ヘルマンダーの訳本は私も復刊を希望する

>>とりあえずは留数定理まで行ってみましょう、
>>手計算できる定積分の範囲が一気に広がるから
これはCauchyが言ったことだよね
AbelとJacobiはその先をやった。

Weierstrass, Riemann, Poincareは
Abelがやったようなことを多変数でもやるためには
何が必要かを考え予備定理などの基礎を作った
ここは微積分を高校レベルから
大学一年レベルまで引き上げる作業で
多変数の留数定理はその一つとしてPoincareが定式化したもの。
きれいな結果だから多変数の世界がどう広がるかという
見当をつけるのにはよいのでは。

>>20
多変数函数論の面白さは、やはり1変数と事情が全く異なることだと思います。

上の方にあふHartogsの定理(各変数で解析的なら、多変数函数として解析的)や正則領域の存在などでしょう。

そのためには、やはり1変数函数論を一通り知らないと面白さや不思議さが味わえないと思います。

>>正則領域の存在

???

Riemann面は全部そう

>>26
スマン
1変数の場合はすべての領域が正則領域やった
だから、多変数の場合は正則領域でない領域が存在するでした

それにしても、多変数函数論を学ぶためのよい本って何でしょうか？
例えばM1がこれから多変数函数論を専門として学ぶ場合。

おお！スレが伸びてる！

>>12-15
訂正ありがとうございます
浅倉の変換ミスは酷すぎた

まだ漏れがあるでしようけど、補完お願いします

>>9
訂正＋追加版

【参考図書】
和書（年代順）

一松信 「多変数解析函数論」 培風館 (1960年) (2016年に復刻版発売)

ヘルマンダー（笠原乾吉訳） 「多変数複素解析学入門」 東京図書 (1973年)

樋口禎一，吉永悦男，渡辺公夫 「多変数複素解析入門」森北出版 (1980年)

広中平祐，卜部東介「解析空間入門」浅倉書店 (1981年) (2011年に復刻版発売)

中野茂男 「多変数函数論 : 微分幾何学的アプローチ」朝倉書店 (1981年)

落合卓四郎，野口潤次郎 「幾何学的関数論」(数学選書) 岩波書店 (1984年)

西野利雄 「多変数函数論」 東京大学出版会 (1996年)

大沢健夫 「多変数複素解析」現代数学の展開 岩波書店 (2006年)

大沢健夫 「多変数複素解析 増補版」 岩波書店 (2018年)

若林功 「多変数関数論」 (数学のかんどころ 21) 共立出版 (2013年)

倉田令二朗 「多変数複素関数論を学ぶ」 日本評論社 (2015年)

野口潤次郎 「多変数解析関数論 (第2版) ─学部生へおくる岡の連接定理」 朝倉書店 (2019年)

野口潤次郎 「岡理論新入門: 多変数関数論の基礎」 裳華房 (2021年)

岡潔の著書や伝記などは除外しています

M1くらいなら
「あれ、こんなことをしても論文になるんだ」
くらいの手頃感があるととっつきやすい。
本と言われても今までのbackgroundによるが
代数を中心にやった人で、線形代数の上に
体論・群論をやって、整数論とのからみで
Hilbertの第12問題で多変数関数論を目にしたような人なら
Siegelのlecture noteがよいだろう。
幾何学が中心で、特に微分幾何で曲率に親みがあれば
中野先生の本がお勧め。
解析中心で、Ahlforsは演習問題を解きながら半分以上は読めたし
Lebesgue積分論は「わが意を得たり」くらいに性に合っているのなら
Hormanderかな。
オールラウンドプレーヤーなら、野口でも大沢でも。

今日中韓の若手研究会を大阪公立(OCAMI)・武漢・慶尚(GNU)を
起点としてやっていて
Zoomの出席者が70から90名くらいだが
高級な話題でもこういうところで聞かせてもらうと
親近感がわくような気がする。

訂正
今日中韓のーーー＞今、日中韓の

訂正
特に微分幾何で曲率に親みがあれば
---->
特に微分幾何で曲率に親しみがあれば

>>31
これは多変数関数論の入門書としても好適

タイトル 複素多様体論講義 : 広範な基礎を身につけるために
著者 辻元著
著者標目 辻, 元
シリーズ名 臨時別冊・数理科学, . SGCライブラリ||SGC ライブラリ ; 94
出版社 サイエンス社
出版年月日等 2012.10

カルタンの複素関数論(和訳あり)にも多変数の話題が書いてあったと思う。コーシーの積分定理とか。

まあ多変数を勉強するには向かないけど。

お勉強なら身につかないな
目的はなんだろ？
偏微分方程式の解を調べるとか、、

複素関数論 POD版 (数学ライブラリー) 2007
by 梶原 壤二 (著)

これも多変数

>>38
偏微分方程式の解を調べるための手段として
有効利用されたことはあったが
いかにも味気ない。
解析をやっていて複素解析的要素に出会った瞬間に
魅了されてしまい
そこから離れられなくなるということはありうる

M1レベルならこれがお勧め

多変数複素解析入門 2016
by 安達謙三 (著)

>>40
複素数√(-1)はX^2＋1=0の方程式の解から。

>>42
-√(-1)は?

X^2＋1=0
(X＋√(-1))(X-√(-1))=0
X＋√(-1)=0 またはX-√(-1)=0
X=-√(-1)も解

√(-1)と-√(-1)はどう違う？

√(-1)-(-√(-1))=2√(-1)≠0

>>46
違うのは当たり前。
質問はどう区別するか
つまり方程式の
二つの解のうちどっちを√(-1)と書いているのかということ。

どう違うかと聞かれたのに
違う理由を答えるというのは
どの国の習慣かな

>違うのは当たり前

？？

>>49
複素数体の標数は2でないからとでも言ってほしかった？

>>42
標数の条件は？

違うのは当たり前w

>>52
二つの解のうちどちらを√(-1)と書いている？

お次の方どうぞ

42は歴史的にはまったくの嘘

>>38
偏微分方程式のために多変数関数論を勉強するか？
普通は微分可能性を落としたL^2理論や関数空間の不動点定理の勉強をするだろ

コシ・コワレスカの場合は？
多変数関数論ってほどはいらんか

>>56
普通ではないが
偏微分方程式の代数的方法なら
hyperfunctionの定義のために
コホモロジー理論が必須。

Nirenbergはずっと多変数関数論に関心を寄せていたようだ

これも多変数関数論

複素解析幾何とディーバー方程式 (数理物理シリーズ)
by 大沢 健夫 (著)

あらら専スレあったのね

>>31　更新

【多変数関数論の図書（和書）】

[A16] 安達謙三「多変数複素解析入門」開成出版 (2016年)

[Ca65] カルタン（高橋礼司訳）「複素函数論」岩波書店 (1965年)

[GR12] グラウエルト，レンメルト「シュタイン空間論」シュプリンガー東京 (2012年)

[HYW80] 樋口禎一，吉永悦男，渡辺公夫 「多変数複素解析入門」森北出版 (1980年)

[HU81] 広中平祐，卜部東介「解析空間入門」浅倉書店 (1981年) (2011年に復刻版発売)

[Hi60] 一松信 「多変数解析函数論」 培風館 (1960年) (2016年に復刻版発売)

[Ho73] ヘルマンダー（笠原乾吉訳） 「多変数複素解析学入門」 東京図書 (1973年)

[Ka07] 梶原壤二 「複素関数論」 POD版 (数学ライブラリー) (2007年)

[Ko92] 小平邦彦 「複素多様体論」 岩波書店 (1992年) (2015年に新装版発売)

[KT15] 倉田令二朗，高瀬正仁 「多変数複素関数論を学ぶ」 日本評論社 (2015年)

[Na81] 中野茂男 「多変数函数論 : 微分幾何学的アプローチ」朝倉書店 (1981年)

[Ni96] 西野利雄 「多変数函数論」 東京大学出版会 (1996年)

[No19] 野口潤次郎 「多変数解析関数論 (第2版) ─学部生へおくる岡の連接定理」 朝倉書店 (2019年)

[No21] 野口潤次郎 「岡理論新入門: 多変数関数論の基礎」 裳華房 (2021年)

[ON84] 落合卓四郎，野口潤次郎 「幾何学的関数論」(数学選書) 岩波書店 (1984年)

[O06] 大沢健夫 「多変数複素解析」現代数学の展開 岩波書店 (2006年)

[O06] 大沢健夫「複素解析幾何とディーバー方程式」 数理物理シリーズ2, 培風館 (2008年)

[O18] 大沢健夫 「多変数複素解析 増補版」 岩波書店 (2018年)

[Wa13]若林功 「多変数関数論」 (数学のかんどころ 21) 共立出版 (2013年)

多変数函数論和書とかで検索するとまだけっこうあるみたいだけど

これを忘れてはいけない

酒井栄一　「多変数関数論」　共立全書　1966　

[HU81] 広中平祐，卜部東介「解析空間入門」浅倉書店 (1981年) (2011年に復刻版発売)

ーーー＞

[HU81] 広中平祐，卜部東介「解析空間入門」朝倉書店 (1981年) (2011年に復刻版発売)

第9章が多変数

工科のための複素解析入門 1977
by ウィルフレッド・カプラン (著), 道脇 義正 (著)

上空移行の原理

L^2拡張定理

不定域イデアル

グザン第1問題

ラインハルト領域

多重劣調和

強擬凸

解析的多面体領域

シロフ境界

ハルトークスの正則性定理

>>17
> 多変数だと特異点が孤立しえないので

多変数関数になると極が無いということですか？
その場合、特異点集合の留数というのが定義できるのですか？

また，１変数と同様に積分の留数計算というのはできますか？
質問ばかりで済みませんが、よろしくお願いします。

>>多変数関数になると極が無いということですか？
一変数の意味での孤立した極はあり得ないという意味でならそう
>>特異点集合が解析的な集合であるという条件下では
留数を定義する手続きを多変数に拡張することができる。
>>１変数と同様に積分の留数計算というのはできますか？
Stokesの定理により「多変数の留数の計算」に帰着する定積分は存在する。

一変数の場合でも実際の留数計算は
結構手間がかかるようだ

1/zの極はz=0
1/(zw)の極はzw=0

複素2変数(z,w)において、1/(z-a) の特異点は { (a,w) | w∈C ｝と孤立点にならず、有界集合にもならない。

z/wの極はw=0で
z=w=0は不定点

なるほど、特異点が孤立しないのが良く分かりました。
この場合の留数はどうなりますか？

dz/zの留数はz=0上の定値関数
dz\wedgedw/zwの「Poincareの留数」は１．

Hartogs-type theorems in real algebraic geometry, I
Marcin Bilski, Jacek Bochnak, Wojciech Kucharz
Page range: 197-221

最新号のクレレ

分離正則性の方

Let f:X-->R be a function defined on a connected nonsingular real algebraic set X in R^n. We prove that regularity of f can be detected on either algebraic curves or surfaces in X. If dimX>1 and k is a positive integer, then f is a regular function whenever the restriction f|C is a regular function for every algebraic curve C in X that is a C^k submanifold homeomorphic to the unit circle.

変数が無限にある関数の理論はどうなりますか？

$\el^2$内の正則領域の正則凸性なら同様。
無限変数の特殊函数論はあるが
一般論で面白いものは知らない。

確か、無限変数だと
ドルボーの定理は無条件では成り立たないはず。

84
訂正
dz\wedgedw/zwの「Poincareの留数」は１．

---> dz\wedgedw/zwの「Poincareの留数」は
dw/w|_{z=0}-dz/z|_{w=0}

91
再訂正
dz\wedgedw/zwの「Poincareの留数」は
z=0でdw/w、w=0で-dz/z．

本来、留数というのは関数ではなく微分形式に対して定義されるものです。
理由は以下にあるように、関数では座標変換により留数の定義が変わってしまう(well-definedでない)ためです。

留数とは関数f(z)ではなく、微分形式f(z)dzに対して定義されるべきものである理由
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13242147348

多変数だと留数は次数が一つ低い微分形式になります

n-形式 w = f(z_1,z_2, ,,, z_n)/z_1 dz_1 ∧ dz_2 ∧ ,,, ∧ dz_n の z_1 =0 の留数形式は、
Res(w, z_1=0) = f(0, z_2, ,,, z_n) dz_2 ∧ ,,, ∧ dz_n となる (n-1)-形式。

易しい本から難しい本へと、
読んでいく順番を考えてリストを並べるとしたらどうなる？

>>96
>>62の文献
まずは[Wa13]若林のかんどころで多変数函数論のポイントを掴んでから、
ヘルマンダー[Ho73]、一松[Hi60]、野口[No19]あたりかな。

ただ一松もヘルマンダーも古いのが難点かな

多変数自体が古いからそれでよい

多変数函数論は岡信者がうるさいから研究しにくい

>>100
例えばどんな主張が目障りですか？

最近は数学と何の関わりもない憂国烈士様までアゲアゲしてるしな

岡の論文の日本語訳集というようなものはないのでしょうか？
フランス語はだいたい英語に似てるけれども、あやふやに
読んで居るうちに0.8の理解の冪乗を重ねていくと、結局
誤解・理解不能になってしまうし、だいたい眠たくなってしまう。
あるいは完全な日本語訳がなければ完全な英語訳でも良い。

>>103
英訳があるのはご存知？
Henri CartanのCommentaireがついていて面白い。

>>100
ありがちな話だな
日本人は偉人を利用して他人を叩くからな

岡の後はまったく見るべき成果がないとか

>>105
偉人を利用して偉人を叩くなら全く問題ない

>>103
英訳にはRemmertのVorwortもついている

英訳本には広中先生による揮毫もある

「人間の建設」は人気が衰えないようで驚きだ
駅の書店のおすすめ文庫コーナーにまだあった

正則領域の例を教えて下さい。

多重円板や開球
より一般には凸領域

＞英訳があるのはご存知？

知らないです。出版社、タイトル、著者、発行年などをＰｌｅａｓｅ。

Collected Papers Hardcover – September 1, 1984
English Edition by Kiyoshi Oka

Oka, Kiyoshi Collected papers.
Translated from the French by Raghavan Narasimhan.
With commentaries by Henri Cartan.
Edited by Reinhold Remmert. Reprint of the 1984 edition [MR0754337].
Springer Collected Works in Mathematics.
Springer, Heidelberg, 2014. xiv+223 pp.

Cartan, Narasimhan, Remmertの順だったかな
亡くなったのは

>>122
証明というか、拡張できない正則関数の例を教えて下さい。

1/(z-1)は単位円板上で正則で、z=1を越えては拡張できない。
これは自明としてよいだろう。
このことから
単位円板のどの境界点pに対しても、
単位円板上の正則関数でpを越えて解析接続できないものがあることも
自明としてよいだろう。
すると
1/(z-1)をC^2内の二重円板上の正則関数と思うことさえできれば
二重円板が正則領域であることも自明ではないか?

1/(z-1) が拡張できない？
z=1 以外全部で正則じゃん

>>119
>>1/(z-1) が拡張できない？
「z=1を越えては拡張できない。」と書いてある。
目は確か？

というか、「気は確か？」と書いた方がよかったかな。

あああそうか
「z=1を越えて拡張できる」の意味が分からなかったわけだ。
言葉の使い方としては
単位円板D上で正則な関数fが
z=1を越えて拡張できるとは
z=1の近傍UとU上で正則な関数gがあって
U\capD上でf=gとなることを言う。

凸領域が正則領域である理由も同様で
領域に含まれない任意の点pに対し
pを含み領域と交わりを持たない
複素超平面が存在するからである。

ハルトーグスの拡張定理によれば、1/(1-z) を|w-1|=1で積分するとz=1
を超えて正則になるのでは？

∫_{|w_2-1|=1}}∫_{|w_1-1|=1} 1/{(1-z_1)(w_1-z_1)(w_2-z_2)}dw_1dw_2

は(z_1,z_2)の正則関数では？

つまり、コーシーの積分公式をくりかいして、

f(z_1, z_2)=(2πi)^(-1)∫_{|w_1-1|=1} f(w_1, z_2)/(w_1- z_1) dw_1

= (2πi)^(-2)∫_{|w_2-1|=1}∫_{|w_1-1|=1} f(w_1, w_2)/(w_1- z_1)(w_2- z_2) dw_1 dw_2

積分の式を書く時には
積分路上の交通事故に注意

>>118-120
1次元は任意の開集合が正則領域になるが、
2次元以上では正則領域にならないような開集合がある。

例えば凸で無い集合はなぜ正則領域ではないか、直接的な反例が作れますか？

C^2-{(0,0)}

>>127
>>例えば凸で無い集合はなぜ正則領域ではないか、
凸領域が正則領域だからと言って
凸でなければなぜ正則領域でないかなどという
血迷った質問をしないように

おそらく
「凸でない領域はなぜ正則領域とは限らないか」
の書き間違いだろうが、日常生活でも
こんな間違いをしていると
良いことはないよ。

多変数（2以上とする）の関数の問題で、

変数の個数が特別の場合にだけ、例外的なことが
あるというような話はないのかな？トポロジー
などでは空間の次元などでそういうことがあったりも
するようだけれども。

>>130
解析ではそのようなことはない
特別なPDEに次元の制限が付くことはあるが、それは方程式の形による制限で
空間次元の性質ではない

>>130
シュタイン多様体の埋め込み問題では
1次元が未解決で2次元以上は解決済み

多変数関数論の意味のある未解決問題ってどんな問題がある？

C^n上の分岐正則域の特徴づけ(岡潔の問題F)

これよりは見込みがあると思われる
P.A.Griffithsの予想

C^nの開集合の解析的な(相対)閉部分集合Xが
局所的にSteinなら
XはSteinか

有名なアバンダンス予想や藤田予想も
複素幾何の重要な未解決問題だが
多変数複素解析の問題と言ってよい

コンパクトなケーラー多様体の
ケーラー的解析族における
多重種数の変形不変性も
有名な未解決問題。
代数多様体の場合には多変数関数論の手法で
解決されたので
ここが突破できれば多変数関数論の
新たなブレイクスルーとなる。
解決できれば
ブレイクスルー賞くらいはもらえるかもしれない。

残された問題は難しいのばかりですね。

今は特異点のある場合の研究が多いですかね。

ところで、Gromov がやったシンプレクティック多様体への概正則曲線のように
正則性を落とした（概正則構造の）研究ってありますか？

概複素構造で積分可能でないものの
条件を付きの変形が
力学系的な視点から研究されているのを
セミナーで聞いたことはあるが
理解はしていない

>>138
>>今は特異点のある場合の研究が多いですかね。
MMPを中心とした研究はそうだね。
特異点そのものの研究は難しい

>>138
難しいといっても
多重種数の変形不変性は
代数的な場合は解けたわけだし
方法も最初は解析だったけど
すぐに川又先生が代数的な証明を見つけたわけだから
一般の場合も解けてしまえばあっけないのかもしれない

多様体の場合の結果を特異点の種類によって小出しに結果を出しても
論文は書けるかもしれないが
本質的な進展を遂げたことになるかどうか。

>>138
そういう興味からであれば
今度女性研究者たちの集まりで
McDuffさんが話されるから
聴いてみられると面白いかもしれない

>>138
>>今は特異点のある場合の研究が多いですかね。

特異点のあるシュタイン空間上では
領域のシュタイン性が局所シュタイン性によって
特徴づけられるかどうかは未解決。
Griffithsの予想と似ているが
こちらは特異点集合の次元が0である場合には解けている
(by Andreotti and Narasimhan)

特異点がキーワードだと
やや萎える感じがあるが
漸近解析だと意外に多くの新しい方向がある。

YauがTianの学位論文で示唆した方向がその一つだった。
最近でもpseudonorm projectとか言っていろんな進展があるようだ。

最近のFinskiの仕事など、Demaillyのcomplex Morse theoryの
方法を古典的なスペクトル解析とからめて
おもしろい方向に広げている

Xiajun Wuの
Chern classes of coherent sheaf and Bogomolov inequality
は
去年シンガポールの集会で聞いたBismutたちの仕事とは独立らしい
立派なものだと思う

訂正
Xiajun ---> Xiaojun

Wuの話は日本・中国・韓国共同の若手研究会での講演
そこでは特異点がある場合はどうかという質問が
時々出た。

>>138
>>今は特異点のある場合の研究が多いですかね。

ちょっと前の話になるが
対称有界領域の商空間上の公式に関連して
特異点のある空間の交叉コホモロジー群が
盛んに研究された。
Cheeger Goresky-MacPherson予想というのがあったが
これも未解決。

>>136
ありがとうございます！

>>129
僕も叱られたい…

特異点ではないけど、Demaillyは退化するエルミート計量を扱っている。

>>153
確かに学位論文では退化するエルミート計量を
扱ったが有名なのは特異エルミート計量で
これは特異性を許した計量
特異エルミート計量と退化エルミート計量は
区別するべき

>>154
特異エルミート計量と退化エルミート計量って何が違うの？
「正定値性が崩れる点がある」という意味で使ったのだが

|z|^2はz=0で退化する退化エルミート計量
|z|^{-2}はz=0で特異性を持つ特異エルミート計量
区別すべきなのは当然

>>156
なるほど、ごもっともです。

ゼロ点と極を混同するのと一緒

Mittag-Lefflerの部分分数分解はわかっても
Weierstrassの乗積定理はわからないというのと一緒

おそらく、そういう誤解は138の
>>残された問題は難しいのばかりですね。
と根は一緒

多変数関数論の未解決問題をブレイクスルーするための
強力な武器はどの辺にあるのでしょうか？

昔セミナーでそれに似た質問をしたら
先生がフランスでの講演で
一つの予想を述べられたとき
「解く方法は？」と質問されて困ったと
言われ、
「それは山に今から登ろうかというとき
鎖はついていますかと聞くようなものだ」
と答えられた。
その答えを聞いて「バカなことは聞くな」と言われたように感じたし
「方法がないのなら勉強しても仕方がない」
と思って、そっちの方面はおいておくことにした。
しかし多変数複素解析全体は結構広かったので
食べていくくらいのことはできた。

>>162
なんだかとても恥ずかしい質問をしてしまいました。
申し訳ありませんでした。

>>163
全然かまわない。

変なジジイが一人イキってるなw

>>165
一番イキってるのはオマエだな

イキるだけの材料と元気を持っている者を
爺呼ばわりは失礼

多変数関数論やるのに、岡やカルタン流をやるかヘルマンダー流の解析をやるか、どちらが良いのだろうか？

ハルトークス流やポアンカレ流もあるだろうし
E.M.Stein流やFefferman流もあるし
Grauert流やSiu流
そしてDemailly流もある
ほかにもたとえば
野口流とかFornaess-Sibony流とか
まあその二通りというのは少なくとも
トレンディーではなかろう

ポイントは解析の分野で
特に複素解析的な嗜好を満足させることのできる
問題を探すことだ

>>168
>>多変数関数論やるのに、岡やカルタン流をやるかヘルマンダー流の解析をやる
>>か、どちらが良いのだろうか？
その二つが入り口だったのは1965年。
今から57年も前。
この二つがあるので
多変数関数論の勉強を富士登山に例える先生もいた。

でも入口(最初に読む本)は今でも変わらないと思うけど。
野口先生の本とかあるけど、野口先生の本は岡流。
大沢先生はヘルマンダー流って感じで、大まかに分けられる。

カルタンの定理Bが多変数関数論のすべてのように言う人たちがいる。
そういう立場からすれば確かに
岡・カルタンの方法とヘルマンダーの方法があるわけで
野口は前者、大沢は後者と分けられる。
しかし、ちょっと見方を変えると
ハルトークスの仕事はワイエルシュトラスの
「多変数においてはすべての領域が正則領域」
という誤った主張への反例から始まったわけで
Fornaess-StensonesのPrinceton講義録に沿って反例を片端から勉強していくのも
立派な勉強法ではないか。
ちなみに、Fornaess自身は今世紀に入ってから
北京でL2理論の講義録を残していて
わかりやすいので評判が良い。
日本の院生でこれを読んで修論を書いた人を知っている。

今週は
OberwolfachとBochumで研究集会があった。
Complex Geometryが二派以上に分かれて
活動している印象がある。
多変数函数論はもはや富士山ではなくなった。

カルタンの定理BへのL2理論的アプローチを最初にやったのは
AndreottiとVesentiniの1962年の論文だが
ヘルマンダーは完成度が高く使いやすいので
みんなヘルマンダーの方法と言うようになった。

AndreottiとVesentiniの方法は
小平理論がもとになっているので
小平の消滅定理が載っている
小林昭七の「複素幾何」あたりも
多変数関数論の入門としてはよいだろう。

野口潤次郎 「岡理論新入門: 多変数関数論の基礎」 裳華房 (2021年)

↑これですが，証明は丁寧ですか？

>>177
読んだことがないので「丁寧なんだろうなあ」としか言えないが
ネットで読めるところだけ読んだ印象では
著者の宣伝文句の「Weierstrass preparationもL2 estimateも使わない」
というのが誰に向けた言葉なのだろうかと思う。
両方とも知っていて岡理論を勉強したことがない人は
そんなにいないと思われるから、著者としては岡理論を一通り勉強した人に
「こんなに簡単に説明できることがあるんだぞ、エッヘン」
と自慢したかったからこの本を書いたのであろうと思われる。
だから初心者にはお勧めできない。

>>178

ありがとうございました．

初心者にはスタンダードな本のほうがいいということですね．

結局，無理しているわけですよね．

>>178
自分のように多変数関数論が専門じゃない人の需要がうある。
代数幾何をやっている人が多変数関数論を勉強したい人には、
丁度いいんじゃないかな。代数の人はL2評価とかは嫌がるよね。

逆に自分のような解析屋からすると、逆にL2評価ゴリ押しの
ヘルマンダー流の本の方が理解しやすい。
こっちは、連接層のコホモロジー系列とかいややから。

ただ、今までの野口先生の本と何が違うのかは、見てみないと分からない。

>>174
現地で参加されてるのですか？

>>182
現地で参加していた人からのメール
日本からの参加者は約3名

C^nの領域の場合、ケーラー計量で考えているから、
ケーラー多様体への拡張、一般化等幾何への発展はどのくらいおこなわれていますか？

カルタンの定理と小平の消滅定理など非常に似ているようにみえますが、
両者の関係性はありますか？

>>184
岡理論はc^n上なので
ユークリッド計量を用いたが
CP^n上でFubini-Study計量を用いて
同様の結果を得たのが武内
武内以前に岡理論が正則領域の完備ケーラー性を言っていると
指摘したのがGrauertの学位論文
これを踏まえて小平の消滅定理を
完備ケーラー多様体上へと一般化し,
岡・カルタン理論を小平理論の非コンパクト版として
再構成したのがAndreottiとVesentini。
Andreotti-Vesentiniの方法(またはH\“ormanderの方法)で
代数幾何や微分幾何の多くの重要な問題が解かれた。

>>185
ご解答ありがとうございます
やはり、小平の消滅定理が岡・カルタンの定理Bと結びついて、
さらに完備ケーラー多様体へと一般化されたんですね。

カルタンの定理Bは代数幾何的にスキーム理論へ一般化されたので、
やはり重要な定理というのは、様々は方向へ発展していくようですね。

>>185
> 武内以前に岡理論が正則領域の完備ケーラー性を言っていると
>指摘したのがGrauertの学位論文

正則領域が完備ケーラーとなる様なケーラー計量が存在するという意味か？

C^nの計量では、領域は完備になるとは限らない

>>187
>>正則領域が完備ケーラーとなる様なケーラー計量が存在するという意味か？
正則領域は完備ケーラー計量を持つという意味
もう少し詳しく言うと
岡は1942年の論文で、正則領域の内部で境界までのユークリッド距離を測った関数を
d(z)とすれば、-log d(z)は多重劣調和性を持つことを発見した。
Grauertは1956年の論文で、この関数を用いれば任意の正則領域上に
完備なケーラー計量が作れることを示した。

>>188
ご丁寧にどうもありがとうございます。
多重劣調和関数が取れると、それから作られる計量が正曲率になって、
小平の消滅定理と同様にして、カルタンの定理Bが得られるという感じでしょうか。

このような、多変数関数論を微分幾何的に論じている本はどの様な物がありますか？

>>189
ここで書いた計量は、空間のケーラー計量ではなく、
自明直線束のエルミート計量です(小平の消滅定理の、正な直線束になる)。

多変数函数論和書リスト
http://mathbh.nobody.jp/math/scv/top.html

>>189

>>多重劣調和関数が取れると、それから作られる計量が正曲率になって、
>>小平の消滅定理と同様にしてカルタンの定理Bが得られるという感じでしょうか。

正確には、正則領域X上では-log d(z)を基にして、滑らかな関数で近似したり|z|^2を足したりして、強多重列調和なexhaustion function f(z)を作ります。e^{f(z)}のLevi形式が完備なケーラー計量になります。
e{-f(z)}は自明直線束のエルミート計量になり、その曲率形式は
f(z)のLevi形式で、正です。これを踏まえると、
Xが強多重劣調和関数でexhaustされる複素多様体ならば
任意の正則直線束は正になり、小平消滅定理と同様の方法で
正則ベクトル束に対するカルタンの定理Bが得られます。
この方法で小平理論と岡・カルタン理論を統一的な視点で論じることができます。191のリストの中では中野の本がそれを実行しています。

多変数関数論をやるとなると、
コホモロジー理論とかイデアルとかが
良く理解できてないとだめなんでしょ？
１変数の場合に比べて多変数なりの道具立てが要りますよね？

辻正次先生って多変数の教科書書いてたんだ

>>191
凄いね、結構出ているんだね
ただ、グラウエルト・レンメルトのシュタイン多様体(シュプリンガー)の和訳本が無い

岡潔の全集の和訳が欲しいな

>>193
層のコホモロジーで多変数関数論から脱落するのはよくある話
自分も最初は層が全く分からなくて脱落した。
1変数のノリで解析をやるんだと思っていたら、代数の議論(それも道具の準備）で萎えた

>>195
グラウエルト・レンメルトのCoherent Analytic Sheavesもない
このリストには未掲載だが他にも大切なSCVの洋書は色々とある

Krantzの本は初心者向きなのでよく読まれている。

不定域イデアルと層は何が違うの？

>>192
詳細なご解答ありがとうございます。
中野先生の本は図書館にも無いんです。
洋書でも良いので、この様な幾何的応用が書かれた本をご教示いただけると助かります。
よろしくお願いいたします。

>>197
>1変数のノリで解析をやるんだと思っていたら、
>代数の議論(それも道具の準備）で萎えた

本当そうですよね。
解析しようと思ったら、代数の話ばかりなんですから。

幾何学的な議論のほうが俺にとっちゃずっといいや。

幾何は急速に進展している印象が強い。
例のペレルマンのリッチフローあたりから。
複素幾何では、ドナルドソンらが、ケーラー・アインシュタイン計量の存在条件の予想を解決した。
この予想の解決が、多変数関数論にも波及するのかどうか？
いずれにせよ幾何的にはホットな話題が多い。

層ではなく不定域イデアルを使わなければ
証明しにくいような定理があるのかどうか

>>201
3MBのファイルがあります
DemaillyのComplex analytic differential geometry
無料なのでよくダウンロードされているようです。

>>205
不定域イデアルは今でいう連接層の元になった概念らしい
従って、連接層の方が一般化されている
だから連接層で議論できれば、不定域イデアルを持ち出す必要は無いと思われる

>>206
ありがとうございます、ダウンロードできました。
Demaillyの名は特異エルミート計量の話で聞いたことがありますが、
具体的に何をしたのか知りませんので、これを読んで勉強してみます。

>>204
ドナルドソンが解いた、ケーラー・アインシュタイン計量が存在すると、
複素関数論的に何か分かったりしますか？

The goal of this course is to launch a new attack, turning functional analysis into a branch of commutative algebra, and various types of analytic geometry (like manifolds) into algebraic geometry.

Peter Scholze

関数解析はどんどん代数幾何学化して面白くなっていきそう

>>204
幾何は幾何でどんどん進展すればいいと思う
しかし私は多変数関数論の二つの未解決問題はかなり違う方向から解かれると思う
代数幾何で足りるならもう既に解決してるだろうし似たことを考える人が大杉よ

>>209
「複素関数論的には」という言い方はもうやめようと
1932年のICMでセヴェリが言ったが
広い意味でよければ
ケーラー・アインシュタイン計量の存在問題がもたらした
モジュライ空間の理論の進展は
複素関数論的な成果の一つだろう。

>>207
なるほど、了解です

>>211
二つの問題とは？

>>212
>>209の質問は逆で、ケーラー・アインシュタイン計量があると、
複素関数論的に何か新しい結果が得られるかという質問だと思います。

個人的には空間の計量よりは、エルミート束の計量の方が良い効果があるように思いますが、
どうなんでしょうか？
昔Siuがエルミート・アインシュタイン計量の存在条件を示していますが、複素関数論に応用
されているのを知りませんが，何か結果があるのでしょうか？

>>215
さすがに読解力なさ過ぎるし無礼だぞ
本当に研究者か？

>>215
多変数モジュラー関数論において
佐武のコンパクト化が有名だが
ドナルドソンたちの理論の文脈で
モジュライ空間の新しい理論展開が
佐武理論を含む形で進行中

>>217
それは大変失礼しました。>>212さんにもお詫び申し上げます。

私としては悪気は全くなく、単純に「ドナルドソンらの結果が多変数関数論に応用できませんか？」
という質問だと解釈して、>>215のような発言に至りました。
それが読解力不足というのであれば、すみませんでした。

>>218
215ですが、大変失礼なことを申し上げてすみませんでした。
ですが、私の質問に解答を下さいまして、ありがとうございます。

岡潔の影響か日本では多変数関数論が人気だな

多変数函数論て代数幾何学に含まれるの？

>>222
それはコロナ問題がどこに含まれるかによるだろう

代数幾何学で函数を扱うと思ってる奴いるの？

代数幾何学における函数論的方法というものなら
あるような気がする

複素多様体論とか両方にまたがる分野はあるが、
どちらかが一方の部分集合ということは無いでしょ

それなら、複素多様体論はどちらに入るのか？

Hirzebruchの本で「代数幾何における位相的方法」って本があったな

代数も、幾何も、解析も、みんなトポロジーに帰着されてしまうんだ、
そのうちそれが圏論になる、とかだれか言ってた気がする。

圏論は数学の見方だろ
数学は全部圏論で記述できる
数学は全部集合論で記述できるのと変わらん

>>227
ちょっと知ったかを言わせてもらうと
秋月康夫が「輓近代数学の展望」でセールの口を借りて
述べているように、代数幾何学の前身は射影幾何学だが
近代的な代数幾何学は、カルタン、小平、セール、グロタンディーク
らにより展開された、層係数コホモロジーの方法によっている。
この方法はもともと多変数函数論の難問を解決するために
岡潔がいくつもの基礎理論を組織的に組み合わせて生み出した
不定域イデアルの方法に他ならない。
したがって「代数幾何学における位相的方法」より先に
「代数幾何学における函数論的方法」があったと見るのが正しい・

層係数コホモロジー難しいな

確かに、層係数コホモロジーは多変数関数論が生んだ強力な手法だね

難問解決への努力が優れた理論を生む

三位一体の高次元化を目指さない限り進展は望めない

>>234
実4次元多様体にはエキゾティックな微分構造があるけど、
エキゾティックな複素構造ってのもありそうな気がする

腐るほどある

複素構造の変形理論ってのがあるくらいやから、沢山なきゃ困るわな

エキゾティック ジャパーーン

複素構造の代わりに双曲構造だとどうなる？

Margulisの剛性

Teichm\"uller空間の剛性を示したのは誰？

最近は多変数関数論オンリーでやっていくのが厳しいかな
大抵は幾何か代数幾何と絡んだ話題が多い

多変数関数論の新しいテーマってもう無いのかなあ

どっちにしろ絡まんわけがない

岡理論は代数とも幾何とも絡んでいた

1変数は等角写像とか楕円関数論とか比較的、複素関数論だけで出来る話題が沢山あるのに、
多変数にたると一気に関数論だけの話題が無くなる感じがする

多変数だと等角写像論は固有正則写像論に
楕円関数論はアーベル関数論になるから
関数論プロパーと言えなくもない

>>245
そういう理由で
日本では岡潔の数学は認められなかったが
世界の大数学者たちが奈良もうでをしたので
やっと認められた

複素解析は一変数だけやっていればよいと言った
京大教授がいたそうだ

うそくさ

小平先生の自伝に
岡先生はよい仕事をしているのに
日本では認められなくて気の毒だという意味の
下りがあったので
248に似たことがあったとしても
不思議ではない

今でもPDEなどの分野では
複素解析といえば
基本的に一変数の結果しか使わないのではないか

いわゆる代数解析では多変数が基礎になっておるがな

よく知らんが実解析を土台にするPDEではそうだろうか

いわゆる代数解析が基礎にしているのは
いわゆる多変数複素解析
つまりH^1=0以後重要な問題はないとされている数学

概複素構造Jに対し、ナイエンハウステンソル N_J=0ならばJは複素構造になる、
という定理は良く見るが、その証明はPDEでも難しいんでしょうか？
証明が書いてある本を見たことが無いので。

これに関連して、6次元球面 S^6には概複素構造が入るのですが、それが複素構造に
なるかどうかはまだ未解決問題で、この解明は多変数関数論的に出来るのか？
それとも、上のPDEの定理の証明に立ち戻る必要があるのだろうか？

>>254
Newlander-Nirenbergによるもとの証明は難しかったが
線形のPDEの問題に直すと
ハーン・バナッハの定理の応用として
比較的簡単に証明できます。
与えられた概複素構造が実解析的であれば
何も使わなくてもできます。
S^6の複素構造の問題は
Atiyahが2016年に指数定理の応用として
非存在証明ができると主張したpreprintを書きましたが
誰も理解できませんでした。

1変数を超えた複素関数論は具体的応用に乏しい気がする。
難しいので応用されないのか、それとも。。。

>>256
多変数関数論ができたのは
岡潔が独創的なアイディアで難問を解いたからで
何かに応用することが目的ではなかった
難問が解けた結果
層係数コホモロジー論や多重劣調和関数を利用した
関数空間の理論などがまとまって
代数幾何や微分幾何など数学のあちこちに浸透した。

結局、正則関数が(1変数以に)少なかった
これが最大の要因

具体例や豊富な内容を含むには、扱えるモノが沢山無いとね

多変数保型形式を研究すべし

とジーゲルが言っていたことは事実で
有界対称領域の様々な研究(例えば佐武コンパクト化)の延長上に
最近のモジュライ空間の複素幾何の目覚ましい展開がある。
つまり具体例はいっぱいある。
その一方で、正則関数があるかないかの問題を究めた岡理論が
貧弱だという話は聞いたことがない。
扱えるモノがたくさんあったから多変数関数論が盛んになったわけではない。

>>255
S^6の複素構造の問題をAtiyahが解いたのってマジ？
結構な問題だから難解でも、その筋の人達が解読して真偽を判定してくれそうなものだが

>>261
論文はネットに上がっただけで
出版公表されたものではないし
理解できた人がいなかったので
解いたとは言えない

>>258
岡理論を全く分かってないから平気でそんなこと言えるんだろうな

Atiyahはリーマン予想を解決したとの論文も書いたらしいが
まあ、晩年のことだしな

奥さんが先に亡くなったので
寂しくてたまらなかったのだと思うよ

>>263
わかっていてもわかっていなくても
昔から岡理論の悪口を吹き込まれ続けていれば
こんなコメントしかできなくなる

>>263
多変数複素関数論が1変数の場合に比べて、具体例や具体的な問題
(例えば、修論のネタになりそうな問題)が乏しいのは事実

それは岡先生の業績とはなんの関係も無い
むしろ、岡先生の悪口と捉えるあなたがひねくれすぎ。

>>263
逆に聴きたい
そこまで岡理論を理解しているあなたに、多変数関数論が1変数関数論と同等の
沢山の具体的な話題を教えて頂きたい

>>267
>>多変数複素関数論が1変数の場合に比べて、具体例や具体的な問題
>>(例えば、修論のネタになりそうな問題)が乏しいのは事実

「硬直化した1変数関数論」という言葉が
春季賞の講演中に発せられたことがあった。
arXivでcomplex variablesを覗いてごらん。
一変数プロパーの論文がいかに少ないかが分かるだろう。

>>267
ひねくれてるのはお前だろーがw
勝手に邪推して一方的に暴言吐いたあげく時間割いて教えろってか？
修論のネタwとか頭悪いというか書き込みが全体的に鈍くさーいし慇懃無礼
具体例を履き違えてるお前は多変数以前に層コホに撃墜されたとみた

>>267
>>それは岡先生の業績とはなんの関係も無い
>>むしろ、岡先生の悪口と捉えるあなたがひねくれすぎ。

多変数関数論を作ったのは岡先生。

>>具体例や豊富な内容を含むには、扱えるモノが沢山無いとね

岡理論は結局空砲だったというに等しい。

今どき1変数で修論のネタを探すとしたら
どの辺ですか？
レウナー方程式が流行みたいだけど。

多変数関数論は全く完成されたものではないからね
岡潔によって完成されたという誤解が広く存在する

そういう誤解がうまれたのは
岡潔のアイディアがあまりにも独創的だったからだが
多変数関数論の展開を短くまとめると
凸性の概念の関数論的な意味が理解されていく過程に
数学の理論としての進展が見られる。
最初はかなり漠然とした形でHartogsが導入した擬凸性が
Leviによって微分幾何的に表現され
Cartan-Thulleの正則凸性が現れるに及んで
岡の活躍の舞台が整った。
岡は正則凸性を利用して上空移行原理により
Cousinの問題とRunge型近似問題を解決し
多重劣調和関数を導入してLeviの条件から
大域的な正則関数の存在が従うことを示し
特にC^n上の任意の正則領域が正則凸であるという
決定的な結果に到達した。
1960年代になるとPDEの方法により
岡の構成法がより精密に実行可能になり
Bergman核の漸近挙動の解析がH\"ormanderらによって・・・
以下略

>>274
お疲れ様でーす
でも多分こいつら趣味で遊んでるだけのポンコツ爺ですよ
無能なくせに学問への謙虚さゼロですから処置なしです

274
訂正
Cartan-Thulle ---> Cartan-Thullen

多変数関数論もつぎのステージに進んだってことじゃないか
幾何との関係、大域的な問題、特異点の問題など。

特に特異空間の幾何、解析は最近やたら目にする。
特異空間での正則関数とは？など未定義の話題もある。

>>特異空間での正則関数とは？など未定義の話題もある。
正規解析空間の概念を知っている人は
こんなことは言わない

能力がない人間ほど理解が浅い段階ですぐ口を開けたがるのはどうしてだろう？

>>267
で、層コホは？

理解が浅い段階で自分の意思に反して人から植え付けられた先入観を
無意識のうちに吐き出したがっているから

>>280
本質的には補間定理
主に次元に関する帰納法を走らせるため

8元数射影平面の幾何の話を聴いた
標準束が自明であることを示すのが
大変な計算らしかった

>>828
ランク1の対称空間だけどそんな計算が大変なのか
ケーラー構造は持つのか？

余接束の0セクションを除いたものの上に
ケーラー構造を入れていた
完備かどうかは聞きそびれた

>>278
解析空間はイデアルで正則関数を与えているだろ
そうではなく、距離空間上で微分が定義出来る様に、
距離空間上で正則関数というのが定義出来るか？
という意味。

>>286
両者の一致を示したのが
Grauert-Remmertの"Komplexe R\"aume"

被約な正規解析空間

>>284
JMSJにアクセプトされたそうだ。
70ページ以上の原稿を40ページほどに
縮小させられたそうだが。

H. Tsuji, L2-methods in complec differential geometry
https://member.ipmu.jp/hiraku.nakajima/Surveys_in_Geometry/autumn2003.pdf

>>283
> 8元数射影平面の幾何の話を聴いた
> 標準束が自明であることを示すのが

そもそも8元数射影平面って複素多様体なのか？
（4元数射影空間は複素多様体ではない）
ていうか、そもそも8元数射影平面って定義出来るんだっけ？
8元数は結合律を満たさないから、well-defined性が示せないんじゃなかったっけ？

勘違いしているか？

>>291
講演では結合律を避けながら定義していたと思う

>>291
ケーリー射影平面というのがあるが、FII型対称空間F4/Spin(9)でエルミート型ではない。
別の複素構造を入れるのか？または全然別の話？

Calabi-Yau structure and Bargmann type transformation on the Cayley projective space

訂正
projective space --> projective plane

>>291>>293
ご指摘の通り、ハ元数は結合率を満たさないので、通常のような定義では
八元数射影平面は定義出来ない。
しかし、K射影空間は等質空間表示できるので、それを利用すると八元数
射影平面は定義出来て F_4/Spin(9)という対称空間になる。
だが、通常の意味の複素構造は持たないしH^2=0なので、概ケーラー構造
(シンプレクティック構造)も持たない。
特別な意味づけをしているのだろうか？謎だ。

>>294
https://arxiv.org/abs/2101.07505

論文を見たら、八元数射影平面上の話ではなく、八元数射影平面上の余接束から０セクションを除いた空間上の話じゃんｗ
何かおかしいなあと思ったら、そういうことか

>>297
285だけど
そう書いたつもりだった。

多引数函数とは違うもの？

>>299
C言語について何か？

8元数とかC言語とかスレチだろ
別スレ立てて他所でやれ

層コホから逃げてハ元数とか本当に馬鹿なんだな

多分Ahlforsも通読できないレベルなんだろうな

>>267
お前ちょっと出てこい

ハ元数は例外群とか玄人向け

>>268
いい年こいて親切な269にお礼と返事もできねーのか？
匿名なら書き逃げして後は知らん顔でいいのか？

>>305
その玄人がこの分野で手も足も出ないじゃん

>>307
そりゃ分野が全然違うからなw

だからスレチだっての

>>309
ID:votkwKF0
お前こそスレ汚しだから出て行け

お前が出て行けアホ爺

>>310
そいつは複素解析スレでも荒らしているから、相手にするな

>>992
> スレチだろ別スレ立てて他所でやれ

NGワード
ID:votkwKF0

>>312
報告ありがとうございます
どうせ荒らしだとは思いましたが、案の定ですね

関連話題でも、自分の知らない言葉に過剰反応してスレ違いと叫ぶ、典型的なキ○ガイですね

複素解析
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1599740381/

>992 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2022/10/07(金) 20:15:18.23 ID:votkwKF0
>スレチだろ別スレ立てて他所でやれ

多変数函数論
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1661188085/

>309 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2022/10/07(金) 20:55:36.66 ID:votkwKF0
>だからスレチだっての

二変数関数論、三変数関数論、四変数関数論などのように、
変数の数がそれぞれの場合について個性的な理論は全く無いのだろうか？
1，2，3、沢山、という具合にならないのは少し不思議だ。

>>315
一口に多変数といっても
二変数と三変数以上ではかなり様相が異なる
二変数で解けて三変数以上で未解決とか
逆に三変数以上ではわかるが二変数では大変な難問とかがある
無限変数はまだまだ未開拓

幾何なら低次元、すなわち、1. 2. 3. 4次元で全然違う。
フィールズ賞のケプラー予想も、8次元だけ特殊で沢山球面を詰め込めるそうだ。

とある数学本を読んでいたら、関数の概念がわりと最近まで確定してはおらず、
数学者たちは関数の厳密な定義を問わず関数を使っていた、
なんて趣旨のことが書かれていてびっくりしました。異論はありますか？

>>318
関数を厳密に定義したのはDirichletだから、19世紀半ば過ぎ。微積分が厳密に定式化された時代の話。
だが、これを最近とは普通は言わないだろう。

それまでは微分と積分の順序交換なんか気にせずやっていたから

関数の厳密な定義は、
まずWiener–Hausdorff–Kuratowskiが1921年で順序対を完成させて、
FraenkelとSkolemがZermeloの集合論の修正の中で初めて与えられた

書き忘れたが1925年のこと

多変数関数、多変量関数、多仮引数関数は、同じ概念の言い換えですか？

>>318
ガウスの追悼論文を書きかけて亡くなった人のことを
言っているのなら、それは最近とは言えないのではないか。
そのその関数の概念はどこかの(アラブのではない)お坊さんが
日中の気温変化を棒グラフで表したのが始まりだと書いたものを
見たことがあるが
アルキメデスは関数を自在に使いこなしていたと思われる。
岡潔によれば、函数はニ数の関係をいうのであって
「ファンクションハコとカズと訳したのは多分
ソロバンを函数と思ったのだろう」
と言っている。

>>320
Dirichletが関数をそう定義したことは数学辞典にも書いてあるし
いわば人口に膾炙しているが
Hausdorffたちのその定義から始まる関数論または解析学の教科書というものを
見たことがない。
強いて言うなら写像をグラフで定義するのがそれにあたると思うが。

>>322
ちがいます。それに、「多変量解析」はよく見ますが
「多変量関数」というものはググっても出てきませんでした。

訂正
そのそのーー＞そもそも

>>323
関数は写像の一種なので正解
とりあえず関数の厳密な定義が与えられたのは1925年、FrankelとSkolemによって

　
数＝関数

>>172
大沢先生はヘルマンダー流というよりも既に大沢流ですよ。
https://zbmath.org/authors/?q=ai%3Aohsawa.takeo

>>323 どうもありがとう。
凄く真面目そうな人から真面目なレスをいただいてしまった。😊

>>326
複素解析屋にとっての関数は
数論屋の整数に等しい

>>325
Dirichletの定義を集合論の言葉で言い直したのが厳密化？

>>330
LobachevskyとDirichletが独立に関数の解釈を出して貢献したのは確かだが、
関数の厳密な定義が出たのは1925年、FrankelとSkolemによって
これが史実だからこれ以上説明することがない

>>331
>>1925年、FrankelとSkolem
これを「集合論的な定義」でなく「厳密な定義」と記してある文献は？

>>332
文献はない
でも集合論的定義はコンピュータによってモデル化出来るから厳密

>>333
デジタル化可能なものはみな厳密ではないのか？

>>334
proof assistantでモデル化出来るものが厳密
集合による定義以前の、自然言語レベルだったものではそれが出来ないだろう

多変数関数をカリー化せよ

三位一体の高次元バージョン

自然言語でしかできない数学が大部分

スレチばかりもうどうでもいいよそんな話

>>338
少なくとも数学の定義や定理は全てコンピュータで出来る

原理的にそうだということと
実際の状況がそうだということの間の
相違はバカにならない

原理がそうなんだからそうだろ
実際ICM2022のplenary speakerの一人、kevin buzzardによるセッション「数学における形式主義の台頭」で説明している通り、
現代数学の多くの理論がコンピュータで形式化され、現実にもなりつつある

https://youtube.com/watch?v=SEID4XYFN7o

コンピュータによる証明検証が行われると
根本的な破綻とギャップだらけで何も残らなくなる人、
続出しそうだね・・・笑

>>342
いずれそうなることには異論はなかろうが
現実にABCが10年以内に検証できるとは考えにくい

実数上至る所で定義されない関数とかも考えればそれなりにあるわけだが、
あまり役に立たないんだろうな。

またｘが超越数なら1、超越数でなければ0というような関数も，
与えられたｘに対する値を決定出来なかったりすると、あまり
使い道が無いだろうし。

>>345
クロネッカーはそのような理由で
リンデマンの仕事を認めなかった

>>235
三位一体といっても、

三位一体にこだわる必要はありません

両極化した方が面白いと思う

一変数は三位一体と三極化が両立

スレチの荒らしは退散したようだ

>>318
1925年がわりと最近であるかどうかについては
異論があると思う

>>315
西野の二変数整関数の分類理論は個性的

>>267
>>351
↑
Ahlforsも通読できない荒らしのアホ爺
1割も理解できない岡理論をむりくり喝破して皆から袋叩きw

ここ見てると社会人の趣味数学があちこちで評判悪い理由がよく分かるよ
ごく少数まともな人もいるがそんな人は博士号を持っていたりする

実際にオカケツが隣に住んでるほうが恐怖だろうな。

崗潔の思想とは何だったか

三位一体を確立しない限り
関数論の発展はあり得ない

奥深い数学の理論は、言ってみれば真言密教のようなものであり、
修行を収めないと入り口にも立てず、そうして部外者には何も
その内容がわからないものなんだろうな。そうして秘伝は口伝で
愛弟子にだけ伝授され受け継がれる。門外漢には体系の詳細は
不明で、なんだか凄いらしいとか、噂だけがひろがり。。。

多変数関数論は整数論と比べれば浅い世界。
昔は大学院の博士課程まで進んでやっと岡論文が読めるようになろうか
というほど難解だったが、今では
野口本をパラパラめくっただけで誰でも概要がわかるようになっている。

>>343
そういう人は今のうちに改心すべきだな

scholzeのDiamondの理論などラングランズに関する事実を、コンピュータによって形式化する博士課程に資金を出すプロジェクトも出ている
https://www.uea.ac.uk/course/phd-doctorate/formalising-aspects-of-the-langlands-program-in-lean-birkbeckc-u23sciec

既存の結果がコンピュータによってまとまれば、それに毛が生えたような普通の論文もすぐにコンピュータで検証できるようになっていくだろうし

三位一体が確立できれば
函数論は数論の一部となろう

たらればは北海道

>>362
東大の教養課程と学部は東大東島にでも全面移転して米軍のMPに護ってもらえ（笑）。

三位一体を度外視して函数論の進展などあり得ない

>>364
それは函数論を度外視した見解

>>359
難しいと思ってたら意外と簡単だったでござるの巻

三位一体は函数論そのものなのだよ

>>367
もういい。言いたいことは分かった。

一次元の場合はリーマン面が複素多様体になるから
三位一体はやさしいけども、高次元ではそうはいかん
岡理論を追いかけてるだけでは進歩はあり得んのでは

岡先生は進歩は行き詰ってからでないとありえないとおっしゃった

岡先生自身が行き詰まってしまった
そして進歩が止まり今もそのまま
なぜプロの数学者は現状に甘んじて
ばかりで魂の燃焼を避けているのか

>>なぜプロの数学者は現状に甘んじて
>>ばかりで魂の燃焼を避けているのか
まったく意味不明なので
コメントのしようがない
悪いけど

>>371
何だか例の馬頭観音が
あの世で愚痴っているみたいだな

職業数学者は所詮そのレベルなのか
それでは函数論が進展しないわけだ

進展しないのは函数論だけではなかろう

追いつけないってこと？

そういえば誰かが、多変数関数も一変数関数と足し算の有限回の合成で
実現できるとかいってたが、真偽の程は不明。

岡潔には誰も追いつけない

こえらんよ

「関数論外伝」って？

>>372
こじらしたアホどもにあなたが付き合うことはない
ここやツイッターに好き放題書いてる馬鹿は不思議とばちがあたっている

岡潔大明神を祀る神社を作ろう

>>381
ｗｗｗ

\382
来年橋本市の柱本小学校に開設されるのがそれにあたる。

高木貞治記念室は立派だが
半年に一度くらいは講演会をやるのだろうか

岡潔の絵本やカルタを販売するらしい

単調増加／減少関数はどれも単射ですか？

狭義の単調関数ならそうですね

一変数と多変数の著しい相違として
永田先生が挙げたのは多項式関数の値域だった。

>>384
凍結してた話がついに動きましたか？
アンカ>>の打ち方はレスNo.を左クリックすれば一発表示されます

岡理論は不滅の価値があるので
記念館の設立はいずれは実現すると思っていました。

来年度ということで再来年の3月

三位一体って何ですか？

キリスト教の父と子と霊の三つが一体であるという教え

マジか

さんみいったい【三位一体】
1.三位⑵はすべて神の現れで、本来一体のものだというキリスト教の教義。
2.三つのものが本質において一つのものであること。また、
三者が（心を合わせて）一体になること。

代数函数はなんで決まるか？
それはリーマン面で決まる。
というのと
閉リーマン面は代数曲線である
というのと
代数曲線上の有理型関数体の超越次数は１である
というのが大まかには一変数の三位一体
というのが

コンパクトなn次元複素多様体上の
有理型関数体の超越次数はn以下である。

>>397
閉リーマン面の三位一体の応用例ってあるの？

>>399
セルバーグのゼータ関数とか

種数が2以上の代数曲線のモジュライは
負定曲率リーマン計量のモジュライに帰着するとか
CAT(0)幾何との絡みも

有限体上の代数函数論の結果を使って
リーマン面上の定理を導いた例はありますか

有限体はCAT(0)空間の幾何の定理が得られる

いかにも三位一体の勝利

>>403
どんな主張なの？
ていうか、CAT(0)空間って何？