＞ところが、２重級数が収束することの定義が書いてありません。

実数の1重級数の場合は、Riemann の定理により、
絶対収束しないが条件収束する数列は、数列の順序を入れ替えることで
どんな値にでも収束するように組み替えることができるからだろう。

二重級数の場合、足し算をどの順にするかは自明に定義されていないから。
例えば　a_{i,j} を 　i+jの合計値が単調に増加する順に足していくというような
制約を設けないと（絶対収束しない）二重級数の値は、WellーDefinedに
ならないだろうから。