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酒井先生の本の第一章の冒頭を読んであげよう。

1.1　多重級数の収束
複素数列の列
a_{00}, a_{01}, a_{02}, ・・・
a_{10}, a_{11}, a_{12}, ・・・
a_{20}, a_{21}, a_{22}, ・・・
・・・　・・・　　・・・　・・・
を二重数列といい、簡単に無限行列Aまたは{a_{mn}}で表す。ある定数
\alphaがあって、任意の正数\epsilonに対し、自然数n_0を適当に
定めて、n_0\leq m,nならば必ず|a_{mn}-\alpha|<\epsilonとできるとき、
{a_{mn}}は\alphaに収束するといい、
\lim_{m,n\to\infty}{a_{mn}}=\alpha または単に
a_{mn}\to\alpha(m,n\to\infty)
と書く。たとえば、a_{mn}=(-1)^{m+n}[1/(m+1)+1/(n+1)]は0に収束するが、
a_{mn}=mn/(m+n+1)^2は収束しない。
二重数列{a_{mn}}が与えられたとき、部分和
s_{mn}=\sum_{p=0}^m{\sum_{q=0}^n{a_{pq}}}
のつくる二重数列を二重級数\sum_{m,n=0}^\infty{a_{mn}}といい,
単に\sum{a_{mn}}とも書く。
s_{mn}\to s(m,n\to\infty) ならば、\sum{a_{mn}}はsに収束するといい、
\sum{a_{mn}}=s と書く。
この定義は形式的にはごく自然であるが

以下については酒井栄一「多変数関数論」（共立全書）を参照のこと．