複素解析2

何故誰も次スレといふものを立てようとせぬのか

前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1599740381/

>>547
どうもお手数おかけしてすみません
よろしくお願いします

お待たせ。
この本が出たときの感想を目次を見て思い出したのでそこから
「正則関数・有理型関数は存在するか」というタイトルがユニーク。
リーマン面はリーマン球面から多価性についての考察を経て
一次元複素多様体として自然に導入される。
最初の方はありきたりだが、ルーシェの定理で話をきって次の段階に進むという感じ
ディーバー方程式を解いてクザンの問題を解くが
ここを見て「何だ、ヘルマンダーの第一章じゃあないか」と思って
読むのをやめた。しかしリーマンの写像定理の証明などは実に手際が良い。
ディリクレ問題もちゃんと書いてあるし
複素関数論の講義が通年であれば、後期の教科書としては
うってつけかもしれない。

>>549
おかげ様でその本の内容がどういうものか概要はつかめました
どうもご丁寧な解説ありがとうございます

>>545
基礎科目を万遍なくやってからでないと専門科目には進めないという考え方に著者は反対で、、いきなり専門科目の勉強をはじめ必要に応じて基礎科目をつまみ食いをするという方法も悪くない。
「彼らは数学を愛する。登山者が山に惹かれるように、彼らは数学に惹かれる。彼らは汗をかくことはいとわない。」このような人たちを読者に想定する。
序文から

多変数複素解析の問題
・擬凸状性上の問題
・補間問題
・クーザン問題
・モジュライ問題
・特異点の問題
・ルンゲの問題
・力学系の問題
・小林双曲幾何の問題
・値分布の問題

>>多変数複素解析の問題
>>・擬凸状性上の問題 　
擬凸領域上の幾何解析
>>・補間問題
一般化された極値問題
>>・クーザン問題
消滅定理と有限性定理
>>・モジュライ問題
モジュライ空間の幾何とコンパクト化
>>・特異点の問題
変形理論と標準的特異点解消
>>・ルンゲの問題
評価式つきの近似問題
>>・力学系の問題
多重複素ポテンシャル論
>>・小林双曲幾何の問題
Green-Griffiths予想
>>・値分布の問題
Diophantus近似

>>553
多謝

等角写像論と境界値問題の垣根を取り払ったのが
Carath\'eodoryの定理だった。
このような理解に基づいて
多重連結領域上でも等角写像論が展開された。
著しい結果としてはBergman-Schifferの公式や
Ahlfors写像の核関数による表示などがある。
こういうことは笠原本には書かれていない。

>>549
ヘルマンダーは古書でも高価

>>556
藤原書店で2万円だとは。
しかし小平先生の東大のセミナリーノートは
ここで4万円だった。
これは図書室に入ってなかったから買った。

ディーバーやなくてデルバーやろ

>>549
何故杉浦解析入門�T、�Uの索引にはリーマン面や解析接続がないのが謎だったから
笠原本について聞いたが、笠原本と杉浦解析入門�T、�Uの目次は似ているとは思うし、
ヘルマンダーの洋書を持ってるからそっち読むことにしました
辞書的な存在である筈の杉浦解析入門�T、�Uに書いてなくて笠原に書いてある重要なことはあるんですか
一変数なら杉浦解析入門�T、�Uの次は野口本あたりじゃないですかね

リーマン面や解析接続がないのが謎だった−→リーマン面や解析接続がないのか謎だった
どう考えてもリーマン面や解析接続は普通に使われる単語ですよね

>>557
4万出して買うたんか？

>>561
うん

リーマン面や解析接続を知らなくても
複素解析のかなりの論文は読めます

解析接続を知らないとまずいんじゃね

層を知っていれば問題ない

構造層と解析的連接層

抽象化しただけのように見える

一般化ができている

一気に飛べる、理解できる人がいますかｗ

層くらいはアールフォルスの「複素解析」にも出ている。

>>564
解析接続や層の名称は出ていなくても、一致の定理や一値性の定理は書いてある
リーマン面のことはそれとなく名称が出て来て書いてあった
ルンゲの定理も名称はないがそのことは書いてあった
ピカールの定理のことも書いてあった
自然科学者のための数学概説増訂版の基礎編と応用編や解析学の基礎を持っているから、
複素解析に関する基本的なことは、やはり杉浦解析入門�T、�Uで問題ないんだとは思う

たいていの複素解析（一変数）はアールフォルスベースで書かれてるでしょ。杉浦Ⅱのもそう書いてある。
野口さんの複素解析概論は違うようだけど（書評の受け売り）

一値性の定理−→一価性の定理

>>たいていの複素解析（一変数）はアールフォルスベースで書かれてるでしょ。
笠原本はそうでないところに魅力の一端があるような気がする。

>>570
ワイエルシュトラスのべき級数による解析接続は歴史的価値しかないけどその思想は大事
アールフォルス

>>575
それでは意味が通りにくいようなので原文をどうぞ

The Weierstrass theory has mostly historical interest, for the restriction to power series and their domain of convergence is more of a hindrance than a help. It should, nevertheless, be recognized that the idea of Weierstrass is still the basis for our understanding of multiple-valuedness in the theory of complex analytic functions.

一変数だと分岐点がある場合でもこれでカバーできるが
多変数になると変な反例があって行き詰る

俺はチマチマ計算するのが好き、いつの日かウサギを追い越すぞー

ちくまからの笠原本の文庫本の解説の原文は宮寺本とかの他の文庫本と違って
ネット上に公開されてなかったが、笠原本の解説の原文は誰が書いたの？

ちくまから再刊された文庫本には全部表紙にも解説あるよな

HPの「この本の内容」がカバーの裏表紙に書いてある

チマチマした計算のない話は
15回の授業のうちせいぜい３回が限度

>>581
そうだったの
ということは、笠原本は原文そのままの再刊ということね

>>582
step by stepと言い換えてもいいが

step by stepでたどりつけそうだと
納得できるところまで来たら
次のstepに進んでもよいだろう

step by stepでもなかなかたどりつけそうもないのが解析学の基礎の第3章
そこの線形位相空間やシュワルツの超関数などの話は
ヘルマンダーが参考書に挙げられている第1章の複素解析の話と違って物凄く難しい
複素解析の話は実解析やシュワルツの超関数などを使って理論展開すると却って分かり易くなる

解析学の基礎は今２章が終わりそうなとこ。３章はトレーブ（未読）、垣田辺りを参考にするつもり。
１章はまだ、てへへ

>>587
トレーブはいい本だよ
今はDoverでも売っている
線形作用素のことは解析学の第2章に書いてある
第3章に垣田のような本は全く通用しない

>>588
そういわれるとそうだけどユークリッド空間上の超関数の話も分かっていないとまずいと思います

>>589
シュワルツが書いた超函数の理論か溝畑の偏微分方程式論あたりがシックリくる
ヘルマンダーの主要型とかいう名称の線形偏微分方程式を研究した1960代の本にも書いてある

>>590
シュワルツはねー、溝畑は読んだけど超関数の所の印象はない

>>591
溝畑の本を読むには超関数は位相解析の基礎で間に合うけど、
それで足りないなら、ヘルマンダーが1960年代に書いたLinear Partial Differential Operators
この本に主要型という方程式や多様体上のシュワルツの超関数のことは書いてある

>>592
ありがとうございます。この話はこの辺で、複素解析の話に戻りましょう。

>>ヘルマンダーが1960年代に書いたLinear Partial Differential Operators

この本は本当によくわかった。
An introduction to complex analysis in several variables
は読めなかったが。

>>594
ヘルマンダーが1960年代に書いたLinear Partial Differential Operatorsは
Lewyによる解が存在しない線形偏微分方程式の反例以降
の線形偏微分方程式の解の存在性や一意性などの研究の本でしょ
その本は、後にとんでもなくページ数が増えて4冊からなる本になったな
今でもLinear Partial Differential Operatorsは読む価値あるの？
まあ、ちくまの笠原本は廉価で買えるから、人体実験で読んで見るわ
杉浦の本とどこが違うのか検証する価値はありそうだ
笠原本にはノルムとかの偏微分方程式の記号や不等号の評価は出て来るとは思うが、
ヘルマンダーのAn introduction to complex analysis in several variables
と同じように∂-方程式の解の存在性や可解性、一意性とかの議論をする本なら面白いわな

>>An introduction to complex analysis in several variables

ここから「ヘルマンダリズム」を読み取った倉田令二郎の眼力はさすが。
Demaillyはこれを踏襲しながら広げることに成功した。

>>595

>>笠原本にはノルムとかの偏微分方程式の記号や
>>不等号の評価は出て来るとは思うが

それが出てくるのは梶原の「複素関数論」

>>595
複素解析と関係は詳しくないけどフーリエ積分作用素、擬微分作用素、それらの多様体上の解析が載ってる線型微分方程式の研究には必須の教科書

>>596
ああいう特徴ある書き方をした多変数複素解析のテキストはヘルマンダーの
An introduction to complex analysis in several variables
がお初だが、そういうものかい？

>>598
今でもLinear Partial Differential Operatorsは読む価値あるのね
サンクス

1965年のActa論文の評価が非常に高かったので
それを踏まえて
最初から
新たな多変数複素解析の理論を建設するつもりで書いたのが
1966年の本だったのだと思う。
2003年の論文にはそんな気持ちが出ている。

>>597
解析的な解説の本なのにノルムや不等号の評価とかしないの？
笠原本はどういうことをする本なの？

笠原本のモジュラー関数のところは使える
笠原本に解析接続の手法が数通りある解説があるかどうかは知らないが

>>解析的な解説の本なのにノルムや不等号の評価とかしないの？

ポンペイユの公式を使ってクザン問題を解き
その二三の帰結を述べるだけで
このレベルのtextとしては十分だろう。

ちなみに笠原先生は多変数の積分公式に詳しいことでも有名

>>603
>>笠原本のモジュラー関数のところは使える

なるほど。「学べる」ではないわけね。

>>605
手軽な参考書になるといったところ

>>606
「モジュラー関数がピカールの大定理の証明に使える」
という文章だったら大変よくわかるのだが

取り敢えず笠原本を読むのはそのうちでいいや
興味深い主要型方程式のLinear Partial Differential Operatorsが先

ヘルマンダーが読めれば世話はないという意見

>>607
笠原本に書いてあるかどうか知らないが、
複素上半平面の単位円上のモジュラー関数の解析には興味がある

Linear Partial Differential Operatorsは
Hassell Street Press社から出ているものでも問題ないよね

>>609
どうしても複雑な解析をすることになる微積分レベルのことは身近にある

鬼本の解析学の基礎が話題になっている

>>612
普通は実解析（ルベーグ積分）、偏微分方程式入門（擬微分作用素入門）ぐらいはいる
他に多様体、コホモロジーは知らんけど

>>610

>>複素上半平面の単位円上のモジュラー関数の解析

なにこれ？

君子の楽しみは志を実現すること、小人の楽しみは物を手に入れること

多変数複素関数の一般論の基礎

>>616
パヨクの同誌はオブジェクション連呼しか脳が無い。

>>君子の楽しみは志を実現すること、小人の楽しみは物を手に入れること
>>パヨクの同誌はオブジェクション連呼しか脳が無い。
志を実現することも物を手に入れることもできなければ
・・・・・しかできない。

反対の在日三世なのだ

>>616
論文書いて掲載された雑誌のIFに一喜一憂にするより、自分の数学をつくりたい

>>614
不思議なことに、実解析（ルベーグ積分）、偏微分方程式入門（擬微分作用素入門）のような
ことをしているうちに、複雑な解析を要する微積分レベルのことが出来るようになってしまう

>>615
歴史的には、多変数論を研究していたジーゲルは、モジュラー形式などの特殊関数の理論が
多変数複素関数論に拡張出来そうもなく、不平を漏らしたそうだ

>>615
多変数論を研究していたジーゲル−→多変数関数論を研究していたジーゲル

>>622
>>複素上半平面の単位円
この言葉の意味が分からん

>>624
複素解析で習慣的に使われている名称がよく分からんが、
複素上半平面における単位円周の半円の曲線とでもいえばよいのか
そんな感じ

多元数理の某教授が複素解析の講義ノートに落語調のような文章で書いていた

>終わり名古屋のいいわけなど
>はてさて、としを重ねると厚かましくなるもの、
>複素関数というのか、そういった授業を受けた記憶すらな
>いままのこのような仕儀。まあ、明らかな落第科目を教えるの厚顔に比べれば
>まだしも、食らいつくべし踏み越えるべし、
>謙虚に半歩の振り返りをこそ今はの際の杖ともなし、
>虚しきは人ごみの中の孤、受けるすべなき
>骸。叫喚は大笑に似たるか。
>複素数は奥が深い。代数・幾何・解析という数学の３大柱のどれとも密接に関わるものであるし、
>実数のことは複素数から眺めることで本質がわかるという人も多い。
>ということで、複素数の数学を学ぶわけであるが、
>入門段階で扱うべき内容と段取りはほぼ決まっていて、
>複素数そのものの理解から始まって、複素級数、
>複素変数の関数、複素変数の微積分といった基礎部分をまずして、
>その後、応用とかさらに進んだ話題へと進むもののようである。
>この応用と発展の部分が実は多様を極め、
>その取捨選択が教える人の気分しだいというか、はた迷惑なところかも知れない。
>あれも大事これも大事とお節介を焼くよりも、基本のみ伝授して、
>あとは必要な部分を勝手にどうぞ、と突き放すのが正しい教師の態度かも知れない。
>世にあまたある本にいろいろ書いてあることでもあり。

という態度は正しいとは思うよ
確かに実解析や偏微分方程式とか他分野には、
複素解析では出て来ないような複素数を用いた定理は数多ある

名古屋と言えばエビフライ、きし麺と大沢先生

∂-方程式を解こう
https://www.jstage.jst.go.jp/article/emath1996/2004/Spring-Meeting/2004_Spring-Meeting_38/_pdf/-char/ja

A History of Existence Theorems for the Cauchy-Riemann Complex in L2 Spaces
http://sites.nd.edu/meichi/files/2018/03/HistoryHormander.pdf

Hörmander, Lars The multinomial distribution and some Bergman kernels. Geometric analysis of PDE and several complex variables, 249–265, Contemp. Math., 368, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005.

>>625
そんな感じは構わないとしても、習慣的には
モジュラー関数は上半平面上の関数であって
特殊な保型性を持つものを指すのだと思っていた

>>世にあまたある本にいろいろ書いてあることでもあり。

裏返せば、「ほんとうに大切なことはどこにも書いてない」
と言いたいわけだ。

大切だと思うことは自分で探せだろ

何でも書いてある本は「辞書」と言われる本だよ、例kobayashi-nomizu

>>633
要するにビッグデータに対してAIが行う作業をまねろということ

>>635
ビッグデータの数学が熱い

解が存在しない線形偏微分方程式を無理矢理差分近似や有限要素法近似して
近似解を作ったらどうなるの？

laissez faire

>>632
>裏返せば、「ほんとうに大切なことはどこにも書いてない」と言いたいわけだ。
複素数の世界は広過ぎるから、それを使う人が自由に本を選んで独自で学習してどうぞってことじゃないの
複素解析全体を把握するには、辻正次の本や
標準的な複素解析のテキストといわれるアールフォルスの本でも、
目的に応じてそれだけでは足りなくなって、他の複素解析の本が必要になることがある

>>637
近似解の数値の挙動にもよるけど、その解が存在しない
線形偏微分方程式に関する何らかの評価などを予想出来る可能性はある

Hans Lewyの例でやってみたらどうなるか
面白い結果が出たら論文になる

>>637
解が存在しない方程式を少し摂動しただけで、解が存在することがある
つまり、近似は元の方程式ではなく、元の方程式に近い解が存在する方程式の近似になってしまうこともある

そもそも、「解が存在しない」というのは、どの関数空間で考えているかにもよる
連続な解は存在しないが、L^2の解は存在する場合なら、L^2関数の近似を与えているだけだし
結局、関数空間と近似ノルムを指定しないと意味の無い話になる

最近、数値計算を用いて微分方程式などの「解の存在証明」が為されることが
流行っている。もちろんそれは解が存在することがほぼわかっている問題を、
「証明」するために行う。
それでは、それとは違って、「解の不存在証明」を数値計算を用いて厳密に
行おうという考えがあっても良い。しかし、なにかが存在しないことの証明は
普通は悪魔の証明であって難しい。先に数学的に解が存在しないことが厳密に
保証されている場合ばかりではなくて、任意にポンと与えられた場合、
線形のみならず非線形の方程式で、解も解析的、連続的、区分連続的、などと
クラスを指定してその範疇の解が無いことを示すなどが数値計算で予想できて
それを数値的に厳密証明できたらいいのにね。

ここに特異点があるとか解が不安定だとかはすぐ言える
グラフにすればいいだけだから
ただ微分方程式の解のあるなしはどうやって表現するのだ?
まあ一般は無理というか出来たら流体の先生方は泣くだろうね

偏微分方程式入門の本を読んでくれ

これなら線型・非線型両方書いてある
Partial Differential Equations (Graduate Studies in Mathematics, 19) 　Evance

偏微分方程式の解の何らかの存在性は保証されているから、
得られた解に関する幾何学的な考察は出来るかもは知れない
こういうのが流行っているかどうかは知らないが