微分形式

微分形式について語ろう
ω=dx∧dy + dy∧dz + dz∧dx

ω=dx∧dy + dy∧dz + dz∧dx これは何を表しているんだ？

ド・ラームのコホモロジーとは？

>>4
p次ド・ラームコホモロジー群は、次で定義される:
H^p(X;d) = Ker(d)/ Im(d)

空間Xが閉多様体ならば、これはp次の実係数特異コホモロジー群と
同型になると言うのが、ド・ラームの定理。

>>4はアンカーミス
>>3

>>2
2階微分形式やろ？

二階じゃなくて二次微分形式だっけ

そうじゃ無くて、直観的な意味とか

1次微分形式はベクトル場の双対だから、幾何的な意味は分かりやすいけど、2次以上だと何なのか？
2次元平面を表しているの？

1次微分形式から外積で一挙に積み上げる

Faraday-Schouten diagram

>>9
無理に直感的に理解する必要無いんじゃね？
っていうか多分人間には無理

>>12
いや、接平面はイメージ出来るやろw

>>13
ベクトル場でさえ正直イメージは難しい
各点で別の空間を成すからね
ベクトル場もどきはイメージできるけど

>>14
閉形式や完全形式のイメージはどんな感じ？

>>15
わからん

ポアンカレに聞け

>>15
電磁気力を使って
電気メッキしてできる被覆面のイメージそのもの。

>>18
de Rham cohomologyのイメージは？

>>19
ゲェジスライスみたいな同値類縞々。

>>電気メッキしてできる被覆面のイメージそのもの。

>>ゲェジスライスみたいな同値類縞々。

趣味の違いが表れているというべきか

>>15
流体力学でいえば、3次元の閉1-形式ωはrot ω=0となる。

>>18,20
メッキの剥げてるのを特定のタヌキ皮視点

箔をつけるというより或る意味ラミネート加工フォリエーション葉層。

>>19
Hodge理論によれば、調和形式の空間と同型になる。

コンパクトなら

>>24
orbifoldの場合は？

>>25
コンパクトでなくても、完備ならL2-コホモロジーと同型になる

>>コンパクトでなくても、完備ならL2-コホモロジーと同型になる
それは嘘
被約L2-コホモロジーとなら同型だが

関数論では被約でない通常のL2コホモロジーの方が重要

完備の場合は、L2-コホモロジーじゃなくて、L2-調和形式の空間と同型

特異点つき空間で、L2-コホモロジーと交叉コホモロジーと同型になるという予想は解決されたのかな？
孤立特異点くらいなら証明されていたと思うが、一般の場合はどうなっているんだろう。

>>31
未解決

長瀬先生が示したのはどの場合？

Nagase, Masayoshi Remarks on the L2-cohomology of singular algebraic surfaces. J. Math. Soc. Japan 41 (1989), no. 1, 97–116.

>>33
stratified spaceの場合

Nagase, Masayoshi, L2-cohomology and intersection homology of stratified spaces,
Duke Math. J. 50 (1983), no. 1, 329–368.

isolated singularityの場合が結構難しかった

凄い結果なんだけど、日本では全然評価されてないね
幾何学賞でも良いほどなのに

大沢先生は複素のカテゴリー（解析空間）でやっていたのかな？

日本ではD加群を盛り立てていたから
L2は日陰の存在だった

代数幾何屋は解析が嫌いだから読まないし
解析やは代数幾何がわからないので読めない

幾何屋は基本的に複素が嫌い

>>36
Cheegerのテクニカルな評価のやつか
あの様な結果は代数では出せないし、解析の醍醐味だと思うが

>>41
複素だと代数幾何にマウント取られるからな
K"ahler-EinsteinでようやくDonaldsonやが解決したが、
代数幾何の人達はさらに先に進んでいるからね
たたし、出来る所しかやってなくて、解析が絡むと放置する

Intersection Homology の参考図書

A. Borel ed., Intersection Cohomology, 2nd printing, Birkhaeuser, (2008).

F. Kirwan and J. Woolf, An Introduction to Intersection Homology Theory, 2nd ed.,
Chapman and Hall/CRC, (2006).

L. G. Maxim, Intersection Homology & Perverse Sheaves: with Applications to Singularities,
GTM 281, Springer (2020).

G. Friedman, Singular Intersection Homology, New Mathematical Monographs Book 33,
Cambridge University Press, (2020).

最近、2冊の大著が出たね

>>41
複素（正則）のカテゴリーだと、単純に切り貼りが自由に出来ないというのもある

>>44
そう、しかも両方とも分厚いんだよね
こういう分厚い本が出るということは、もう分野的に終わりなのかなあ？

上にもあるように、重要な問題が未解決なんだけど

>>43
そのように放置されている問題のリストがあれば
ありがたいのだが

保型形式を微分形式として解説してる本てないよな

>>48

これは？

紀伊国屋数学叢書
保型形式と整数論
土井公二/三宅敏恒

>>49　thx
微分として出てくるけど
微分形式と微分の関係がわからない

アーベル微分は
複素解析的な1次微分形式

(m, n)-微分というのがあって
(m, 0)-微分は正則 m 次微分とよばれ
別名が第一種アーベル微分
(−1, 1)微分はベルトラミ微分とよばれるらしい
　
これらと微分形式の関係が書かれた本ありますか

タイヒミュラー空間論では(2,0)-微分がよく使われるし
ベルトラミ微分も基本的
タイヒミュラー空間上のWei-Petersson計量の曲率の話なんかは
微分幾何だから微分形式も必須
つまり
リーマン面の変形を反映する幾何学的構造の話として
それらの関係を論じたものならないわけではない。

詳しい案内どうもです
どうやら重さ2kの保型形式というのは単なる微分形式
ではなくて、k-foldの微分形式だということらしいです
このあたりがわからず混乱しておりお騒がせしました
　
あとは、kが半整数のときは何を意味するかが問題・・

>>54

>>kが半整数のときは何を意味するかが問題

これについては土井・三宅とか
清水先生の本をご参照ください。

>>48
そもそも、保型形式って微分形式なの？

留数は微分形式で定義すると良いというのは知っているが、
保型形式もそうやって微分形式で理解出来るということ？

原型が標準束の切断

>>31
Cheeger-Goresky-MacPherson予想

複素関数ろんのCauchyの積分定理も、微分形式を使えばStokesの公式から簡単に得られる

Cheeger, J., Goresky, M., MacPherson, R.: L 2 Cohomology and intersection
homology of singular algebraic varieties. Seminar on differential geometry,
Yau, S.T. (ed.) Princeton University Press, Princeton, NJ 1982

>>47
複素幾何なら参考になれば

RIMS 共同研究報告集 No.1731
複素幾何学の諸問題 Open Problems in Complex Geometry, (2010)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/1731.html

RIMS 共同研究報告集 No.2211
複素幾何学の諸問題 II Open Problems in Complex Geometry II, (2021)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/2211.html

>>62
IIではIで放置された問題の解決が一行で要約されている。

>>56
微分幾何的な意味での微分形式ではないらしく
複素解析的な微分形式で考えないとあかんらしい
保型形式の本にはあまり詳しく書かれていない
まともにやろうとすると説明がやっかいだから？

>>63
まさかすぐに解かれるとは思わなかったんだろうね

>>65
Iの前から数えて40年目の解決だった

すでに有名な話だったから1行で済ませた

>>66
どんな問題？

>>64
？
微分幾何だろうが複素解析だろうが、微分形式の定義は同じ

そういうのいいからｗ

>>68
IとIIを眺めてごらん

>>15
D. Bachman, A Geometric Approach to Differential Forms, 2nd ed. Birkhaeuser (2012)

J. P. Fortney, A Visual Introduction to Differential Forms and Calculus on Manifolds, Birkhaeuser, (2018)

微分形式の本

・多様体を勉強した後に読むと良い本

森田茂之，微分形式の幾何学，岩波現代数学の基礎 (2005)

坪井俊，幾何学III 微分形式，大学数学の入門，東京大学出版会 (2008)

Bott and Tu, 微分形式と代数トポロジー，丸善出版 (2020)

栗田稔，微分形式とその応用　―曲線・曲面から解析力学まで─，現代数学社 (2019)

フランダース， 微分形式の理論: およびその物理科学への応用，岩波書店 (1967)

>>69
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%BD%A2%E5%BC%8F

Wikiで放置されているこの手の劣悪な訳を集めて
改訳と並べて出版できれば良いと思われる

>>75
中国辺りはとっくに日英特許文献完訳システム稼働させてそう。

これくらいなら内閣府の肝いりで
すぐにでもできそうだが

法律的な問題がクリアできないような気がする

>>64
>>74
こういう書き込みするあたり、実微分形式と複素微分形式が別物だと思っているんだな

微分形式は実でも複素でも定義は同じ
特に複素の場合は、複素構造があふから、正則と反正則に分解出来るということ

結局、線形代数の話なんだが、それを理解してないから、実微分形式と複素微分形式が全然別物と誤解してしまう

しつこいよ
なにがそんなに悔しいんだ？

>>80
間違いを素直に認める謙虚な姿勢は大事だぞ
でないと、自分の誤解を改めることが出来ず進歩が無い



69 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2022/11/24(木) 00:15:23.75 ID:5GwQ/ugy
>>64
？
微分幾何だろうが複素解析だろうが、微分形式の定義は同じ

70 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2022/11/24(木) 00:54:15.93 ID:lfS/Mwj6
そういうのいいからｗ

ここでそんな下らん言い争いは辞めてくれ
どうしてもしたけりゃ、以下のスレでやってくれ

ケーラー多様体・ホッジ分解
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1612652658/

>>81
そういうナントカの一つ覚えみたいな
単純な話ではないからな

>>58
一般の保型形式は捻れているベクトル束の切断として表される
つまり、座標系がグローバルに取れない

ゼータ関数だって解析接続したら表示が変わる、つまり、定義域が変わるとその表記が代わるのは当然だろう。
特に、一般の場合には値が直積束ではなく捻れているベクトル束であるということ

>>84
カギ括弧つきの「捻る」ってなんでカギ括弧付けて記載するのかがいまいちピンと来ない。

>>85
>>84の文章のどこにカギ括弧つきの「捻る」が付いているのか？
お前の目が悪いだけだろ

ワロタ
保型形式のスレあったほうがいいな

>>86
ここのレスに限定した話ではなく
一般に数学や物理のPDFで「捻れ」てるにカギ括弧付けてる場合が多く見られる。

なんかこのスレでムキムキしてる誰かさんみたいな粗探しではなくこっちは疑問として提示してる。

H"olmanderのL2理論の成功により、微分形式の解析が一気に広まったね

H"olmander--->Kodaira-H"ormander-

訂正
Kodaira-H"ormander-
ー−−＞
Bochner-Kodaira-Andreotti-Vesentini-Kohn-H"ormander

>>91
おいおい、Hodgeを抜かすのかよｗ
微分形式の解析はHodgeの調和積分論（完全な証明は小平による）によって大きく発展を遂げた

じゃ
Riemann-Hilbert-Weyl-Hodge-Bpochner-Kodaira-・・・

訂正
Bpochner--->Bochner

H"ormander以降はどうなの？

>>H"ormander以降はどうなの？
H"ormander(65)-Skoda(72)-Fefferman(74)-・・・

Skoda以後とFefferman以後は分かれる。

Donaldoson理論も接続1-formに対する、微分形式の解析だね

>>98
なるほど
微分形式で非線形解析を行っている研究って他にある？

K"ahler-Einsteinは非線形だけど、K"ahlerポテンシャルの関数についての議論に帰着されるから、
微分形式の非線形解析ではないからね

>>99
Siuのglobal rigidity

トラクターカルキュラスなども非線形
ペンローズの系統に近い

>>100
それって調和写像を使ったケーラー多様体の同型を示す定理だっけ？
そう言えば、最近調和写像の研究ってどうなの？
全然聞かないんだけど

Siuの続きはWikipediaによれば

Kevin Corlette found a significant extension of Siu's Bochner formula, and used it to prove new rigidity theorems for lattices in certain Lie groups.[32] Following this, Mikhael Gromov and Richard Schoen extended much of the theory of harmonic maps to allow (N, h) to be replaced by a metric space.[33] By an extension of the Eells−Sampson theorem together with an extension of the Siu–Corlette Bochner formula, they were able to prove new rigidity theorems for lattices.

このCorletteの仕事とDonaldsonの同時期の仕事が１１月に金沢であった研究集会の講演で引用されていた。詳しくは浅学非才ゆえ解説できないが。

この他に、比較的最近Sampsonの研究の続きがあったが
論文の著者名を忘れた。

>>102
Y-T, Siu, The complex-analyticity of harmonic maps and the strong rigidity of compact Kahler manifolds.
Ann. of Math. (2) 112 (1980), no. 1, 73?111.

Yauの予想「2つの負曲率のコンパクトケーラー多様体が同じホモトピー型であれば、それらは正則か反正則同型であろう」
を曲率の仮定を少し強めて証明した。
手法は調和写像に対するBochner techniqueを使う。

近年はそれがuniformizationの問題に応用されている。

例えばR上で、ルベーグ測度と微分形式はなぜ一致するのか？
測度と1-形式の概念は全く異なるものだと思うんだが

>>105
n次ホモトピー群の代表元を、調和写像に選べるか？という　Hodge理論の写像版の問題の研究とも関係ある
一般にはダメだけど、どこまで出来るのかも完全に解決はしてないはず

>>例えばR上で、ルベーグ測度と微分形式はなぜ一致するのか？
>>測度と1-形式の概念は全く異なるものだと思うんだが

一致しない

>>108
Siuはglobal rigidityに調和写像を使ったのは
学位論文でHodge予想を解こうとして失敗したときの経験から

もっとカレントの理論とかそっちなスレにするかと思ったが。

今日見た雑誌には
nonlinear Dirichlet problem
の論文があったが、内容は微分形式。

>>111
昨日の講演の中に
positive currentに対して
Lelong nummberを拡張する話があった。

訂正
nummber-->number

>>109
どちらもdxではないのか？

片方は接ベクトル空間上の関数で
他方は単に記号の節約の意味でdxを使っている。

両者の関係はどうなっているのか？

少なくとも同一ではない

余接ベクトルと測度が同じとか意味分からん
概念として全然違うもの

>>112
何の研究集会
もし良ければホームページのリンクを貼ってくれるとありがたい

>>108
Eells-Sampsonのheat flowによる調和写像の存在がきっかけとなり進展した
調和写像の微分は"非線形微分形式"ということなのかな

>>119
一見すると異なっていても、実は同じだったり
深い関係があるのは数学ではよくあることだろ

dx dy の意味は？★２
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1642250430/

>>119
値域で積み上がった「葉層」が測度の正体だと幾何学的直観から見えなくもない。

>>120
CONFERENCE ON COMPLEX ANALYSIS, COMPLEX GEOMETRY AND DYNAMICS

_in memory of Nessim Sibony_

at the Laboratoire de Mathématiques d'Orsay, Université Paris-Saclay

CONFERENCE WEBSITE: https://sites.google.com/view/sibony-conference/

>>125
ありがとう

測度と微分形式には深いつながりがあるよ
なぜかほとんどの教科書に書かれていない

調和積分論の証明まできちんと書いてある良い本は、何がありますか？

>>128
Demaillyの講義録

>>128
洋書なら沢山あるけど、日本語だと証明まで真面目に書いている本って無いのかも

秋月康夫の「調和積分論」は
古すぎますか？

北原、河上の「調和積分論」は？

本書は大学教養程度の数学の知識、即ち多変数の微積分と線形代数、のみを仮定して「調和積分論」を論じるという大胆な試みの書である。本書で述べられている調和積分論のHodgeの主定理（Hodge-小平の分解定理）の証明は見事であり(*0)、熱核を用いるAtiyah-Singer理論へと読者を誘ってくれることだろう。

本書を読んで感銘をうけるのは、幾何学研究に適用される「変分法の適用範囲の広汎さ」である。私の知識の範囲においても、すぐに以下の理論を挙げることができる。

(1) 大域変分法への適用: Morse理論、調和写像の理論
(2) Gauge理論への適用: 例えば、Yang-Mills理論
(3) 調和積分論への適用: 例えば、de-Rham･Hodge理論 （本書の主題である）

これらのどの一つを取っても、素晴らしく美しい理論である。これらの理論を学べば、幾何学的な対象に適用される変分原理の摩訶不思議な調べに一層魅せられるのではなかろうか。

>>133
http://natsuyamahanabi.livedoor.blog/archives/27731417.html

>>132
日本語でまともに書いてあるのはこの本くらいですね
証明は熱流の方法を使っているのが特徴だが、解析の基礎(弱解の正則性など)は証明してない
前半が微分幾何の基礎事項にあてているから、どうしても証明をきちんと書くにはページ数が足りない

>>135
熱方程式の場合
非線形になると弱解の正則性をちゃんと書いたものは
英語の文献でもほとんどない

シュワルツ超函数に対応するものとしてカレントがある
わけだけども、佐藤超函数に対応させるとどうなるのか
佐藤超函数のコホモロジーと微分形式のコホモロジーが
合わさったようなものが存在するのだろうか

カレンとで思い出したけど、ドラームの翻訳本があったね
まあ殆ど手に入らないけど、このシリーズ復刊すれば需要あるんじゃないか

ド・ラーム， 微分多様体 : 微分形式・カレント・調和形式，東京図書 (1974)

>>138

>>このシリーズ復刊すれば需要あるんじゃないか

この本も、ヘルマンダーの本も、復刊されないのには
それなりの理由があるのだろう。

>>137
局所コホモロジーならとうぜん超局所解析で
D加群でも指数定理まで出来上がってるんじゃないの？。
知らんけど

>>139
秋月調和積分論の上巻が思いっきりカレントの理論の話なんだね。
ぜんぜん知らんかったわ。

>>136
非線形は解析の結果を引用するでいいんじゃないか
幾何で問題になるのは大域解の存在だが、それは論文でも結構怪しいのがある
結果的には正しいけど、解析の結果を正しく使えてなかっなり、仮定を全部満たすことをチェックしていないとかはある

>>138-139
権利関係かな
でもシュプリンガー(丸善？)は翻訳書を復刊しているし、単純に出版社のやる気かもしれない

東京図書は最近専門書より、教養の教科書レベルしか出してない印書があるんだけど

>>142
読んだことがあればはっきりわかる一つの理由がある

誤訳が多いのか？

そう。高橋訳は特に。

>>145
おそらく院生にやらせたんだろう

>>144-145
へぇ〜そうなんだ、知らなかったなあ
もっともド・ラームの本なんて難しくて訳が完璧でも読む気は無いけどw

Bott-Tuを訳した三村も訳が酷かったなあ
昔の教授は院生をこき使ってたいたというからね

>>147
>>ド・ラームの本なんて難しくて訳が完璧でも読む気は無いけどw
>ド・ラームの本の続編にあたるヴェイユの本は
訳は多分完璧。

>>148
ヴェイユの続編ってどの本のこと？

>>149
>>ヴェイユの続編ってどの本のこと？

148には「ド・ラームの本の続編にあたるヴェイユの本」と書いたわけだが

このヴェイユの本の続編をお尋ね？

>>140
もしあるのなら、例えば"hyperforms"のように
currentとは別の名前で呼ぶべきだと思うんだが

https://i.imgur.com/u5AYxXt.jpg
https://i.imgur.com/tfrvlXe.jpg
https://i.imgur.com/r9FBSeX.jpg
https://i.imgur.com/TgvV9d0.jpg
https://i.imgur.com/gjaGzEr.jpg
https://i.imgur.com/7nx22rj.jpg
https://i.imgur.com/IDqCmGX.jpg
https://i.imgur.com/Bx77K8g.jpg
https://i.imgur.com/IEAEeyW.jpg
https://i.imgur.com/rFGZDWP.jpg
https://i.imgur.com/sd5Tr8a.jpg
https://i.imgur.com/eYWTQCE.jpg

>>149
ケーラー多様体論入門 (シュプリンガー数学クラシックス) 単行本 – 2010/9/11
アンドレ・ヴェイユ (著), 佐武 一郎 (翻訳), 小林 昭七 (翻訳)

この続きでここまでまとまりの良いものを書くのは難しい

ドラームとヴェイユは古典

進化系がHodge予想

ホッジ予想 (Hodge Conjecture)
複素解析多様体のあるホモロジー類は、代数的なド・ラームコホモロジー類であろう、
つまり、部分多様体のホモロジー類のポアンカレ双対の和として表されるようなド・ラームコホモロジー類であろう。

一種のGAGA？

Hodge予想
X を非特異な複素射影多様体とすると、X 上のすべての(p,p)次の有理ド・ラームコホモロジー類は、
X の複素部分多様体のコホモロジー類の有理数係数の線形結合となるだろう。

p=1の時はLefschetzの定理でOK。

これが解けないから
nonlineaar-Hodgeでお茶を濁す

訂正
nonlineaarー−＞nonlinear

Hodge予想はTate予想との関連も指摘されてたよね

>>158
GAGAって何？

ミレニアム問題だから、相当難しいんだろうね
ただ、ミレニアム問題の中では、一番解かれそうと言われている

GAGAは「Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique」
Hodge予想はLefschetz定理とGAGAから思いついたのではないか

>>165
なるほど
Hodge予想は1950年のケンブリッジ大学でのICMで発表されたとある

それとは別に、ホモロジー類の代表元を部分多様体で実現できるか？という問題も一時期考えられていたが、
それとも関係あるのでは？

Hodge予想
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/54/2/54_2_203/_pdf/-char/ja

>>166
そうか間違えた、Hodge予想のほうがGAGAより先だね
けど、Hodge予想もGAGA的な現象なのかもしれない

着想の原点はLefschetzの超平面定理(1924年)だろう
ド・ラームの定理より前

GAGA的な現象の走りは
1939年の「岡の原理」

Hodge分解の基礎からHodge予想まで書いてある本では次が有名かな

C.Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry, I,
Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 76, (2002)

C.Voisin, Hodge theory and complex algebraic geometry II,
Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 77, (2003)

>>170
Hodgeによる調和積分論が先じゃないか（証明に不備があったにせよ）

>>172
調和積分論と岡の原理は
互いに独立な理論

両方ともポアンカレが元ネタ

岡の原理って、シュタイン多様体なら連接層のコホモロジーが消えるってやつ？
それならポアンカレの補題の発展版だよね

>>175
無茶苦茶言うな

岡の原理は岡多様体

>>175
あれ？違ったか
岡の原理ってなんだっけ？

岡の原理とは複素解析におけるホモトピー原理のことである. より厳密には, Stein 多様体 X に対して X 上のあるクラスの解析的対象と位相的対象 (例えば正則ベクトル束の正則切断と連続切断) を考えたときに包含写像
{ X 上の解析的対象 } ,→ { X 上の位相的対象 }
が弱同値になるということである. 標語的に「Stein 多様体上の解析的な問題には位相的な障害しかない」ことが岡の原理であるとも言うことができる. この原理は 1939 年の岡の第 III 論文 に端を発し, Grauert, Gromov, Forstneriˇc らによって岡多様体の理論へと発展した.

微分形式ｄｘから測度ｄｘが定まる

無限次元では？

無限次元でも適当な条件のもと
微分形式DXから測度DXが定まる

>>182
ソースは？

>>180
微分形式に条件が必要

>>184
微分形式dxと言った時点でuniqueでは？

>>185
1次元の話をしているのか？
1次元じゃ微分形式を使うメリットはない
高次元の多様体で初めて効果を発揮する

>>2
> ω=dx∧dy + dy∧dz + dz∧dx これは何を表しているんだ？

この問いに誰も答えていない

とりあえず3変数の非退化2次形式

微分形式はクリフォード代数から生まれる
クリフォード代数の特別な場合が微分形式
だから、測度もクリフォード代数が起源と言える

>>187
物理でなんか名前がついていたと思うが、忘れた
物理的には色々意味があるらしいが、数学では単なる2-形式としか見なされない

>>189
でもクリフォード代数は次数付け(Z-grading)が出来ないから、
微分形式の理論をすべて含んでるわけでは無い

クリフォード代数は±のZ_2-gradingしか出来ない

>>191
含んでるよ

>>193
では、クリフォード代数にどの様にZ-gradingを入れるのか示してくれ

クリフォード代数も普通の微分形式の空間もものとしては2ⁿ次元ベクトル空間じゃないの？
代数束としての積の構造が違うだけで
逆にいうと積の構造が違うんだから外積代数はクリフォード代数の一部というのはちょっと誤解を生むな
クリフォード代数は交換関係にその空間の計量を使って積を定義する
なので底空間ぎ同じでも計量が違えば一般には代数束としては別の物ができる
計量として退化してる物も許して<ω,η>=0 (∀ω,η)をとったらその内積で作ったクリフォード代数は外積代数になる
だったような

>>193>>195
理解が甘い
全体の空間が同型でも、次数まで込めて同型では無いから(DGAとしては同型でない)。

微分形式はZ-次数付け出来るが、クリフォード代数はZ_2-次数付けしか出来ない。

wikipedia
クリフォード代数
https://ja.wikipedia.org/wiki/クリフォード代数

>>196
それ反交換関係入れなければでしょ？
当然ここでいう“微分形式”は反交換関係入れて2ⁿ次元の束の話でしょ？
大体そんな事言い出したら交換関係一切いれずに自由テンソル場でアルファベットn文字のワードでグレーディングされるクソでかい束でもできますがな

おっと撤回
グレーディングとして自然なのはせいぜいℤまでやな
ただし交換関係を入れても入れなくてもℤ gradeになるけどものは違うよな？
そんな話してなくね？

>>197
クリフォード代数は、DGA(Differential graded Algebra)にならない。
当然、微分形式もクリフォード代数もどちらも積構造を考えている。
クリフォード代数の関係式で、2つのベクトルのクリフォード積がスカラーに落ちる(次数を保たない)のが原因。

これ以上は専門書を見てくれて。

>>198
>>191はお前じゃ無かったのか？
クリフォード代数が、微分形式も含んでいるというから、
それは違うと指摘したまで。

>>200
アンカーミス
正しくは

>>189>>193はお前じゃ無かったのか？
クリフォード代数が、微分形式も含んでいるというから、
それは違うと指摘したまで。

オレは>>193じゃないけど>>193の言うところの“含む”は「内積が0の場合にクリフォード代数は外積代数になる」つて話じゃないの？

クリフォード代数は偉大だよ
やろうと思えば微分形式をすべて説明できる
けど、通常はそんなことしないだけのはなし
回りくどくてわかりにくくなるだけだから

>>190
ベクトル場の回転かな
回転っていっても静的な物で、流れの変化率だけど

>>204
底空間の各点に対する変化率ね

dxを無限小という人があるが本当か？
そもそも無限小って数学に必要かい？

そんなもんに正しいもクソもない
もちろん「無限小"infiniticimal"と見なすこともできる」と言う理論もある
しかしこのスレでも既出の“微分形式と解釈する”考えとは相容れない
じゃあ結局何を“デフォルト”とするのと言う話でしかない、もちろん現代数学の一般的な教程ではまずは“微分形式としての解釈を理解する”と言うのがまぁ大勢

無限小というより
二度微分すると消えるランダウ記法とか
幾何学的双対的に余接空間とか
そっちのほうに力点おいた方がよくね？

こんな学部レベルの勉強の話は“俺様定義”じゃなくて、まず一般的な数学の教程で第一義に数えられるものから順に勉強してけばいいんだよ
無限小解析とかやりたいならやってもいいけど、それもこれもまずは普通に微分形式、微分幾何勉強し終わった後でやればいい
受験数学でよく出てくる“計算法”

d( sin(x³) ) = 3x²cos( x³ )dx

を単なる便法と考えるならそれで終わりでいいし、そこに何か意味を見出そうとするなら、まずは微分幾何やろ
もちろんそれが最も現代数学で応用の広い豊かな世界に繋がってるんだから
まぁ「俺様無人の荒野を行く」のがいいならそうすればいいけど

>>206
無限小はΔxかδxだろ
物理の人は良く使う

>>206>>210
それと微分形式は全然別物

その考えでは線形和 dx∧dy + dy∧dz + dz∧dx はどう理解するんだ？

言葉足らずだった
δxとかの無限小はあくまで無限小のイメージであって
微分のdxとは全く違う使い方をする
物理の講義ではわざとごっちゃにしたりするのかも
大学一年の電磁気でガウスの発散定理とストロークスの定理をやらされたがそのときは誤魔化された

ある種の微分形式はディラック・スピノルとよばれるが
そのスピノルからなる空間にクリフォード代数は作用する
微分形式の空間はクリフォード代数の表現というわけだ

数学の大家、佐藤幹夫さん死去　94歳　「佐藤超関数」など理論示す
https://news.yahoo.co.jp/articles/d602a10d5975589cf3f182258d864b1b24dc6642

「数学の大家」として知られ、関数を極限まで一般化した「佐藤超関数」などの理論を示した
京都大名誉教授の佐藤幹夫（さとう・みきお）さんが9日、老衰のため死去した。94歳だった。
葬儀は近親者で営まれた。喪主は長男信夫さん。

1928年、東京に生まれた。東京大卒業後、大阪大教授、東京大教授、京大数理解析研究所教授、
同所長などを歴任した。

ノーベル物理学賞を受けた朝永振一郎に学んだが、数学を目指した。「佐藤超関数」のほか、
微分・積分などの解析をきっちりと代数的に調べる「代数解析学」、特殊な波の物理方程式の
解析などを開拓し、数学や物理学に大きな影響を与えた。
69年度朝日賞、76年日本学士院賞、84年文化功労者、97年ショック賞。2003年には、ウルフ賞を受けた。

dx∧dyなどは、向きを持った無限小同士の外積と考えればいい

>>215
クリフォード代数はプラスマイナスゼロの代数
符号を持ったゼロの代数。

電磁気の理論において、場の強さをあらわす2-形式Fは
マックスウェルの方程式によりdF＝０を満たしている
つまりこの2-形式は閉じているというわけだから、ある
1-形式Aによって、F＝dAという形に書けるであろう
我々は1-形式Aをゲージポテンシャルなどとよんでいる

ベクトルポテンシャルだろ

>>215-217
表裏がある境界

1950年代にヤンとミルズは、電磁気の理論を2成分を持つ
波動関数によって表される核子の場へ理論を一般化した
そこでもやはりゲージポテンシャルの1-形式Bが活躍する
D=∂+igBとおくと、その交換子［D,D］は＝(ig)Fであり
場の強さを表し、Dは一般化された共変微分となっている

上で、(ig)Fのところ正しくは(-ig)F
マイナス符号が抜けてたので訂正する

>>217
数学ではAは接続1-形式、Fは曲率2-形式に相当する
ちなみに、dF=0 はビアンキの恒等式と呼ばれている。

>>222
へぇ〜それは知らなかった
数学の本ではそんな説明無いからなあ

ビアンキを米国人は梅安記と呼ぶ

複素解析学特論
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/publication/documents/saito-lectures.pdf

>>222
3-形式は物理的に何を意味しているの？

超弦理論に出てくるD-ブレーンというのを微分形式で記述出来るそうだ

dωのdは双対境界写像でしょ？
じゃあdx∧dyのdはなんなんだろう
dxが1形式なのでxは0形式
ある点の局所近傍に対応付けられたR^n上のうちある一つの成分についてφ(x)=∂[a,b]={a}∪{b} (a,b∈R)ならφ(dx)は[a,b]
dx=φ*([a,b])といったところかな？
局所近傍ゆえの無限小っぽさはある

はい

圏論的？

Xが完備ケーラーなら、L^2調和な(p,0)形式は正則である

ケーラーで無い場合は？

証明は完備かつケーラーの場合しか知らない

コンパクトなケーラー多様体上の
調和形式の(p,0)成分は正則になる。
ホップ曲面上の任意のエルミート計量に対し、
0でない実調和1形式の
(1,0)成分は正則ではない。

>>233
サンクス

>>187
え？微分形式でしょ

>>233
ケーラーの場合 △ =2□ が成り立つため、調和性 △ω=0から □ω=0が従い、
完備性から ∂ω=0, ∂‾ω=0 が従うので、正則となる。

しかし，ケーラーでない場合は、 △ =2□ とは限らない。

>>231
コンパクトでRicci flatはケーラー多様体上の調和(p,0)-形式は平行(定数形式)である。

(1/2,0)-形式とか(-1/2,0)-形式の場合はどうなるか

>>238
そもそも 1/2-form dx^(1/2)や-1/2-form dx^(-1/2)の定義は？

それは変換関数系の分数べきが意味を持てば
自然に定義できる

具体的に1次元ユークリッド空間Rのとき、dx^(1/2) って何？

>>240
交代性はどうすんの？
例えば、dx^(1/2) ∧ dx^(1/2) は0か、それとも指数法則で dx か？

テンソル積と違い交代性があるから、単純に変換関数だけでは処理できないのでは？
標準束のルート束もベクトル束ではなく、K群の元としてしか意味持たないし

>>交代性はどうすんの？

ベクトル空間の外積をあてはめるだけ
一般のベクトル束の外積と同様

一般の複素数ｃに対して
(c,0)形式というものが考えられるらしい

>>244
ソースは？

確率微分方程式で√dtみたいな形を見たことがあるが
あれは正規分布の標準偏差が√dtだからって理由で
微分形式と一緒にしていいものなのか分からない
一応確率の組み合わせという文脈で掛け算も出来た筈だが

>>246
確率過程だと (dW_t)^2 = dt とかそういうのがあるからでは？
（この二乗はどういう積なんだっけ、ウェッジ？）

>>217
ストリングの理論においても高階の微分形式によって
表されるポテンシャルがあって、それが弦を一般化した
Dブレーンと結合することで相互作用が生じるわけだ
ストリング理論も一般化された一種のゲージ理論である

微分形式があるのなら積分形式あるのだろうな。

>>249
サイクルだな

>>248
Dブレーンて高次元の幕の様なもんちゃうの？

>>250
> サイクルだな

正確にはチェインだな
サイクルは ∂c=0を満たさなくてはならない、
これは微分形式でいえば dω=0 の閉形式に相当する。

そうだチェインだ
閉じてない領域上も積分はできるからな

spin foam

微分形式もチェインもカレントになる

チェインって加群の列やろ？
積分形式は境界作用素とちゃうか？

積分公式で啓くベクトル解析と微分幾何学
―ストークスの定理から変分公式まで―

著者 小池 直之 著
発売日 2022/09/12
ISBN 9784320114753
体裁 A5・400頁
定価 5,280円 （本体4,800円 + 税10%）

https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10013505.html

本書は、「積分公式」に焦点を当てることにより、ベクトル解析と微分幾何学を俯瞰する一冊である。
　ベクトル解析において、グリーンの定理や（曲面に沿うベクトル場に対する）ストークスの定理、
ガウスの発散定理を学ぶが、これらは微分幾何学において「多様体上の微分形式に対するストークスの定理」
として包括的に論ずることができる。また、多様体論と位相幾何学を結びつけるド・ラームの定理は、
多様体上のストークスの定理を用いて示され、さらに、曲面論におけるガウス・ボンネの定理も
ストークスの定理により導かれる。一方で、微分幾何学における偶数次元閉超曲面におけるガウス・ボンネの
定理の証明には、モース理論を用いたまったく別の手法が用いられる。
　本書ではこれらの事実をスムーズに学べ、さらに、体積汎関数の第1変分公式・第2変分公式と
その完全証明も与えられており、「積分公式」を通して見えるベクトル解析と微分幾何学のつながりを案内する。
　また、モース理論の完全証明や特性類の位相幾何学的定義（障害理論に基づいた定義）、
および微分幾何学的定義（チャーン・ヴェイユ理論に基づいた定義）、さらには、ガウス・ボンネの定理が
特性類の一つであるオイラー類の積分を用いた積分表示公式として与えられることも解説されており、
微分幾何学と位相幾何学の密接なつながりも実感できる。
　本書では各所で図を挿み、視覚的に理解できるよう工夫されている。

>>256
境界作用素もおかしかった
加群の元が積分形式や
つまり微分形式は同時に積分形式でもあるんや

微分形式の平方根はどうなる？

Jacobianの平方が出てくる
知らんけど

平方→平方根

(ds)^2=g_{ij} dx^i dx^jは微分形式っぽいけど微分形式じゃない

>>258
お前は境界知能ではなくて知的障害

>>262
お前はただの知的障害者

>>262
対称微分形式でしょ？

>>262
対称テンソルです
まあどっちでもいいや

>>262
>>265
テンソルと共変ベクトル反変ベクトルって難しいよな
おれも最初わからなかった
dsは微分形式だ
逆にここのdx^i dx^jは微分形式じゃなく記号

正確にいえば(ds)^2が2-微分形式か

微分形式とは、微分可能多様体上に
定義される共変テンソル場のこと。

>>268
(ds)^2=g_{ij} dx^i dx^jって微分形式のウェッジ積じゃなくて単なる積で表されるから微分形式じゃないと思った

対称テンソルを微分形式とは呼べないが
エルミート計量はその基本形式としばしば
同一視される

微分形式は交代性を満たさなくてはならないが(外積束の切断)、
(ds)^2=g_{ij} dx^i dx^j は交代性は満たさないので微分形式ではない。
対称性をみたすただのテンソル場(対称テンソル束の切断)。

>>269
ダウト！
交代性が必要

>>272
その通り！
ウェッジ積は交代的だから、リーマン計量は微分形式ではありませんね

勘違いしてたけど確かに(ds)^2はただの2次形式だな
“微分”形式ではない

2次形式の変数を微分に変えたものが2次微分形式。

変数を微分に変えるというのは
幾何的に何を意味しているのか

接ベクトル束上の関数を考える

なるほど！

>>249
微分形式を積分するわけだけども
積分形式の微分は何になるのかな？

・境界説
・接ベクトル（微分係数）説

を提唱する

微分形式でコホモロジーが作れるけど
積分形式からホモロジーが出るんかな？

二次形式を計量テンソルとする対称微分形式が微小な線素の長さを表すのなら、
三次形式や四次形式は何を表すか。
クリストッフェル記号とか曲率テンソルなのだろうか？

>>283
気分で書き込むなよ
n次テンソルは線形空間で、その中の特別なものが計量や曲率と名付けられてる
だからn次=○○みたいな考え方はおかしい

外微分作用素dの双対である余微分作用素はホッジのスター作用素*とdを併用して
*d*と表せる

>>283
n次元一般リーマン多様体上の計量テンソルならば基底ベクトル場に対する正定値性は必要無く、単に対称な二階テンソル場であればいい
独立成分はn(n+1)/2個

クリストッフェル記号Γは(1,2)形式について
Γ^i_{jk}=Γ^i_{kj}
であるので独立成分はn^2(n+1)/2個

リーマン曲率テンソルRは(1,3)形式では共変微分の括弧積で表されることから負でも良い添字を下ろした際に(0,4)形式について
R_{ijkl}=-R_{jikl}
R_{ijkl}=-R_{ijlk}
R_{ijkl}=R_{kjil}
R_{ijkl}+R_{iljk}+R_{iklj}=0
を満たす
独立成分はn^2(n+1)(n-1)/12個

そこから縮合して得られるリッチ曲率テンソルは
R_{ijkl}=-R_{jikl}
R_{ijkl}=-R_{ijlk}
R_{ijkl}=R_{kjil}
より
R_{ijik}=R_{ikij}
⇔R_{jk}=R_{kj}
自由度はn(n+1)/2


一般には二階テンソルは計量テンソルやリッチ曲率テンソルにはならないし、三階テンソルはクリストッフェル記号にはならないし、四階テンソルはリーマン曲率テンソルにはならない

ただしこれらは単体での話だが
また、クリストッフェル記号は物理学的流儀だと座標変換則の観点からテンソルには常にならない

>>285
符号が必要

>>286
> クリストッフェル記号は物理学的流儀だと座標変換則の観点からテンソルには常にならない

数学的にもクリストッフェル記号はテンソル場にはならない。
クリストッフェル記号は共変微分∇の成分表示したもの、
そもそも「共変微分」という微分作用素なので、テンソル場にはなり得ない。

>>285
その余微分作用素が、積分形式の微分と考えられるのかな？

>>287
>符号が必要
そうでした
すみません

emanの物理学見てたけど馬鹿だから結局リーマン曲率とかクリストッフェル記号とかは分かったような分からないような理解しかできてない
誰か分かりやすく説明してくれねえか

>>290
クリストッフェル記号は↓
https://eman-physics.net/relativity/co_dif.html


リーマン曲率テンソルについて
曲率のある空間中でベクトル場を平行移動すると、ベクトル場の方向がズレる
例えば地球上で東方向に向いたベクトルを平行移動する
ベクトルの方向に対して前方にπ/2、左方にπ/2の順と、左方にπ/2、前方にπ/2の順だと最終的なベクトルの向きが異なる

これを無限小に対して適用するとある一点における曲率を表せる
異なるベクトル場∂/∂(x^k)、∂/∂(x^l)に沿った共変微分∇_kと∇_lの作用させる順番次第でベクトルの方向にズレが生じる
その大きさ[∇_l,∇_k]=∇_l∇k-∇_k∇_lが(1,3)形式がリーマン曲率テンソル

そのベクトルの変換のなす群がホロノミー群やな

>>291
ここでの共変微分は共変ベクトルへの作用としてのね

>>291
基底ベクトル場に沿った共変ベクトルの共変微分

共変微分があるなら
共変積分もあるのかな？

微分形式（接分布）に対して、積分多様体という概念がある
ベクトルばの積分曲線の高次元版に当たる

フロベニウスの定理か
あれムズイねんな

BRS（T）コホモロジー

>>295
その発想を展開させると
prolongationの理論になる

jetsですか

チェインとコチェインがあるから
formに対してcoformもあるのかな？

>>301
お前アホか？単なる線形代数の話だ

有限次元ベクトル空間 V に対して、双対を２回取れば元の空間と同型になる：(V^*)^* = V
V= TxM と接ベクトル空間と見れば、1-coform は通常のベクトル場になる
2次以上も同様

形式とは接ベクトル空間上の線形汎関数
余接ベクトルによる内積表示が可能なので、この余接ベクトルを形式とみなすこともアリ
余接ベクトルの共役は接ベクトルであろう
コフォームは接ベクトル

>>302
こりゃ一本取られましたなｗ

>>303
×共役
○双対

>>フロベニウスの定理か
>>あれムズイねんな

本の証明がへたくそなだけ

>>301-303
余接空間の元をcovectorと読んでる本もある

一般に、ベクトル空間Vの元をvectorと呼べば
双対ベクトル空間V*の元はcovectorと呼ぶことになる。

微分作用素はベクトルなわけだが、そうすると
コベクトルは積分作用素ということになるんかな？

>>309
直前のスレくらい読めや
ベクトル場の双対は微分形式

>>309
素人の思いつきで書き込むなよ

偏微分方程式で弱微分は積分形式で解釈するのは常識だからさ

弱微分の双対としての弱積分がルベーグ積分

空間の方向性をどう表現するかの問題

微分方程式論の本道

【カルタンの定理B】
シュタイン多様体X上の解析的連接層Fに対して、H^p(X;F)=0(p>0)である。

カルタンの定理Cが仮にあるとすれば、それはどんなものであるか？

>>315
多変数関数論は良く知らないのですが、これは岡潔の結果を層のコホモロジーで言い換えた定理という認識で合っていますか？

またこの層コホモロジーをド・ラーム（ドルボー）コホモロジーを通して、微分形式の計算により証明することは出来ますか？
例えば小平消滅定理のように、調和積分論を使って微分形式の話に持ち込んだ議論です。

>>187
微分形式だよ

>>317
応用上は局所自由層のコホモロジーで十分な時が多く
その場合には小平式の方法が通用します

微分形式の定義について
ブルバキで議論があったとき
カルタンがデュードネの批判に兜を脱ぐ場面があったそうだね

あいつとやり合ってもしょーがねーや

微分形式でCartan's magic formulaて呼ばれている公式があるけど、何がmagicなんや？

>>322
日本語の本では単に「カルタンの公式」としか書かれてないけど、
英語の本では"magic formula"と書かれているのが多いね。
出た当時の印象が魔法のような関係式だったのだろうか？

アーノルドはhomotopy formulaと呼ぶ
熱力学の第一法則を解き明かす不可思議

>>187

2-formだよ

>>325
いつまでそんなのに相手してるんだよ
少しはまともな書き込みしろ

テスト

二次元以上の連結な概複素多様体の強擬凸領域は
連結な境界を持つ。
2014年の論文に出ていた。

2次元以上の連結ケーラー多様体の滑らかな局所擬凸有界領域なら
いたるところ両面擬凸でなければ境界は連結

ストークスの定理の簡単な応用

しかし今世紀に入ってからの論文

Merker-Portenの接続定理も新しい

>>300
コーシーの積分定理も、ストークスの定理の簡単な応用

>>333
マジ？
その証明が書かれている本は？

>>334
微積分学の基本定理を言い直しただけ

複素関数論のほとんどの教科書はストークスの定理や微分形式の知識を仮定してないから、
コーシーの積分定理の証明が、道の取り方に依らないなど面倒な議論をせざるを得ない。

留数も本当は値ではなく、留数形式という微分形式で定義するとスッキリする
特に無限遠点の周りの留数を考えるときは、留数形式で考えないと間違える。

>>336
>>複素関数論のほとんどの教科書はストークスの定理や微分形式の知識を仮定してない
例外は？

二変数の微積分でガウス・グリーンの定理はやる

機体トラブルで酸欠状態に
残りあと１０分しかなく、必死で家族が待つ地球へ戻ろうとする様を描いています。
想像してみてください。//youtu.be/oWs3yvVADVg

>>コーシーの積分定理の証明が、道の取り方に依らないなど面倒な議論をせざるを得ない。
それは「領域の内部を左手に見る向き」を積分を使って定義するとき
素朴な形の「境界に沿う線積分が０」だけなら「滑らかなジョルダン曲線で囲まれる領域」
に対して証明するだけなので楽

>>290
クリストッフェル記号はベクトル場の微分を自分で構成してみると自然に導入できるぜ

雑誌「数理科学」が微分形式の特集のせいかネット書店で売り切れてる

数理科学 2023年8月号 Ｎｏ.722
微分形式で書く・考える
空間に現れる現象を記述する言語
https://www.saiensu.co.jp/search/?isbn=4910054690835&y=2023

内容詳細

微分形式は，３次元実空間のみならずさまざまな空間の上の関数を拡張した概念であり，
微分や積分で表される関係を表現する道具です．微分形式は，微積分やベクトル解析の
延長上にある概念記法ですが，表現形式が洗練されており，理論物理に現れるさまざまな
数学的関係を見通しよく表現する言葉になっています．また，微分形式自体が数学的研究
の対象になることもあります．本特集では微分形式の数学的役割や物理現象との対応など
の話も交えて，様々なテーマについて紹介していきます．

目次

特集
巻頭言　谷村省吾
空間図形と微分形式　大森英樹
微分形式と力学　柴山允瑠
微分形式と電磁気学 ～ アブラハム‒ミンコフスキー論争 ～　谷村省吾
微分形式と熱力学　新井朝雄
微分形式と量子力学 ～ 幾何学的位相入門 ～　野村健太郎
相対性理論における微分形式　井田大輔
微分形式と多様体　橋本義武
微分形式と代数幾何　植田一石

書評
重点解説 微分方程式とモジュライ空間　松原宰栄
組合せ最適化から機械学習へ ～ 劣モジュラ最適化とグラフマイニング ～　永野清仁

連載
計算機科学の数学 7 ～ 一階述語論理(4) ～　龍田真

微分積分で使うdxとdyって任意の点における基底ベクトルってことなん？

>>344
微分形式の特殊じゃなくて、物理法則や理論も微分形式で書けますよって話で、期待外れ。
微分形式とコホモロジーや特製類の話など、数学の世界で有効な微分形式の話を
書いて欲しかった。

微分形式と多変数関数論がない
執筆者が見つからなかったのか

ドルボーの補題なしの
微分形式の話など
考えられない

ヤコビが量子力学を知っていた
という岩堀先生のつぶやきは
印象的

>>347
多変数関数論はそれだけで一つの特集が組めるだろうけど、最近は余り見かけ無いね
数学の話題だけじゃなくて、どうしても岡潔の話題を取り上げざるをえない。この手の雑誌では岡潔の話題は一般人の食いつきがは良いからね

岡潔が人気あるから、どうしてもヘルマンダー流の微分形式の話は日本では陰の存在になってしまう。

ヘルマンダー流などない
あるのは
岡流と小平流

∂‾-問題はヘルマンダーでしよ

ヘルマンダリズムby倉田令二朗
https://researchmap.jp/blogs/blog_entries/view/81393/5a82ec648b8a4cdc822859dbdef278a7?frame_id=406408&lang=en

>>352
>>∂~-問題はヘルマンダーでしよ
複素境界値問題を多変数関数論に持ち込んだのは
スペンサー
クザンの問題を正則領域上で解いたのは
岡潔
コンパクトなケーラー多様体上で解いたのは
小平邦彦
これらを完備なケーラー多様体上の∂~-問題として
統一的に論じたのはアンドレオッティとヴェゼンティー二が最初で
そのあとでコーンやヘルマンダーの論文が出た
ヘルマンダーが教科書を書いたので
多変数関数論をヘルマンダーの教科書のみで勉強した者たちは
全部ヘルマンダーがやったことだと勘違いした

リーマン面の一意化定理は
ケーベの定理と呼ばれていて
これはアルフォルスがそう呼んだかららしいが
最近はヒッチンがポアンカレの定理と呼びだして
それに追随するものが増えている

ケーベの定理で何がよくない？

ヘルマンダーはフィールズ賞、ウルフ賞受賞者
最初にやっては無かったが、∂‾-問題のアプローチを多変数関数論まで昇華させた

>>351
>>354の流れを見ると、これを小平流と言うのは無理がある

$L^{2}$ 拡張定理における最近の二三の進展 (大沢健夫) 2016
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1980-13.pdf

減留曼蛇

ヘルマンダーは偉大なり

層係数コホモロジーど∂￣コホモロジーの同型は
ドルボー
それを用いてコンパクト多様体上でクザンの問題を解いたのは
小平
小平の方法を完備ケーラー多様体上に拡張するのは
容易なことで
アンドレオッティ・ヴェゼンティー二の論文の結果だけで
岡理論の大半はカバーできる

カルタンの定理A,Bは？
シュタイン多様体上で∂‾-問題を解かなくてはならない

>>363

>>シュタイン多様体上で∂~-問題を解かなくてはならない

これをやったのがAndreottiとVesentini

359が読めなくなっている

>>364
なるほど、それは知りませんでした
となると、多変数関数論におけるヘルマンダー流というのは、
例の本が余りにも有名過ぎてヘルマンダーが作った理論と誤解されていますね

逆に、ヘルマンダーの多変数関数論の研究成果って何がありますか？

>>365
今アクセスしたが、普通に読めるけど
たまたまサーバーのメンテナンス時間やったのでは

>>366
ベルグマン核の境界挙動

L2拡張定理の出発点

L2拡張理論以外は2003年の論文に詳しい

複素多様体上での岡理論はどうなの？

Forstnericの本によくまとまっていると思ったが
最近になって新たに面白い展開があり
スロベニアとオスロではその話題で盛り上がっていたらしい

>>371
Forstnericの本はStein多様体上のホモトピー原理だが
岡の定理が成り立つ複素多様体はStein多様体とは
限らない。
Stein多様体上のStein束で全空間がSteinでないものが
いくつかしられているが
その中には岡の原理が成り立つものがある。
これは近い将来の多変数関数論の一つの方向性を示唆していると
思われる。

372と373は岡の原理の話
多様体上の岡・カルタン理論であれば
擬凸なケーラー多様体上での
拡張定理にごく最近
目覚ましい進展があったようだ

多重種数の変形不変性は
ケーラー多様体論の主要な
未解決問題の一つ

>>9
面素で

曲面論の理解がまとまれば
リーマン多様体論へと進める

>>373
> Stein多様体上のStein束で全空間がSteinでないものが
> いくつかしられているが

ファイバー束の連接層係数のコホモロジースペクトル系列で
コホモロジーが消えてないことが示せるのだろうか？

高次順像が消えても０次順像は残り
これは連接ではないから
スペクトル列が出てきても
一般論では扱いようがない

岡の原理と楕円性
https://kusakabe.github.io/pdf/kansuron_ellipticity.pdf

現代数学の12月号から連載開始

>>378
とはいえ、2次以上のコホモロジーが消えることは
Stein多様体上のStein束すべてに対して
言えることらしい。

>>382
それはカルタンの定理Bとスペクトル系列の一般論だけでは分からないことですか？

>>383
無理、E_2=0までしか分からん

2-完備性が言えるからだろう
pluripotential theoryは
sheaf theoryより
ずっと深い

ワイ、スペクトル系列が分からず涙目🥹

>>386
商加群の段階的な構成法と
軽く考えておけば十分
簡単な計算例が分かればなおよいが

３重以上の多重複体ってないの？

すいませんどなたかおしえてください
二次元球面上でベクトルを平行移動させたくてjavascriptでコードを書いてみたんですが
うまくいきません
どこに間違いがあるんでしょうか？
https://codepen.io/yamada-yamada/pen/WNLvzQJ

アニメーションではわけわかんない軌道を描いてますが球面状を真っ直ぐ平行移動させたいです

真っ直ぐとはどういう意味か

>>391
曲がった二次元平面空間におけるまっすぐです
正しくは大円を描くはずなんですが・・・

複素多様体M上の正則領域の特徴付けはC^nの場合と同様に出来ますか？
例えば、「複素多様体Mの集合Uが正則領域となるための必要十分条件は、U上のLevi形式ωが正定値となる」は成立しますか？

>>393

>>U上のLevi形式ωが正定値となる

M内の相対コンパクトな開集合Uが名C^２級の滑らかな境界を持つとき
境界の定義関数のLevi形式が正定値ならUは強擬凸であるという。

定理(1958 Hans Grauert)強擬凸な開集合は正則領域である。

>>394

>>例えば、「複素多様体Mの集合Uが正則領域となるための必要十分条件は、U上の>>Levi形式ωが正定値となる」は成立しますか？

問題の述べ方が雑なので、それに関連した有名な定理を上にあげた。
Grauertの定理の逆は正しくない。つまりLevi形式が半正定値でも
正則領域になる例はC^n内でも多い。

レビ形式が正定値になるとケーラー形式になる

中国、日本水産物の加工品禁止　輸入停止に続き

日本鬼子は脅せば簡単アルヨ

>>397
邪魔すんなよなー？数板だぞ
不埒なニュース小僧は出禁だ出禁だ

C^n内では境界が実解析的な領域が
完備なケーラー計量を持てば
正則領域であることを1956年に
Grauertが学位論文で示しています。
Grauertの学友であったRemmertによると
この結果はHeinz Hopfをたいへん驚かせたそうです。

P^n内ではどうなるの？

>>400
当然岡潔はその問題も重要なものと考えた。
そしてそれを弟子たちに学位論文の課題として与えた
最初に答えを出したのが藤田玲子で
これで学位をもらった。
C^nの場合の岡の証明を利用するものだった。
それを見た武内章は岡の証明に用いられた
微分幾何的な補題が
ユークリッド計量に対してだけではなく
フビニ・ストュディ計量に対しても成立することを見抜き
論文を日本語で書いて大阪の大学の紀要に発表した。
学位論文としてもっと一般的な形にまとめているときに
エレンツワイクに先を越されてしまったが
結局学位は無しのままで京大の助教授になった。

シュタイン多様体のP^nにおける類似物ってあるんですか？

正則凸多様体

P^nの正則凸多様体や正則函数としてどんな例がありますか？

>>396
そうなん？
ケーラー幾何と正則領域って関係あるの？

>>404
P^nはコンパクトやから、正則関数は定数しか無い。
コンパクト多様体を考えるなら、その真部分集合やないとね

「P^n上の局所擬凸な非コンパクトなリーマン領域はシュタインである」
が藤田の定理。(岡・藤田の定理と呼ぶべきかもしれない)

P^n上の局所擬凸な非コンパクトなリーマン領域上で
フビニ・ストゥディ計量に関する境界距離をδとしたとき
-logδは強擬凸関数になるというのが
武内の定理で
これとグラウエルトの定理を合わせると
藤田・岡の定理が系として導ける。

一般に、コンパクトなケーラー多様体上の
非コンパクトな局所擬凸リーマン領域に対し、
δ=/=∞の場合には
双正則断面曲率が正である限り
武内の定理と同様な結果が得られる。
しかしながら、シウ・ヤウ・森の定理(フランケル予想の解決)によれば
このような多様体はP^nに限る。

双正則断面曲率が半正のときは
完全には分かっていないが
岡・藤田の定理は上田によりグラスマン多様体上に
拡張された

P^2内の擬凸領域はシュタインだが
その中に
局所的に両面擬凸なものがあるかどうかは
未解決の有名な難問

多変数函数論を展開するにあたって
P^nというのは、十分に一般的な世界
と考えてしまってもいいのでしょうか
あるいはもっと広い枠組みが必要ですか

解析学を展開するためにはC^nで十分
幾何学を展開するためにはP^nでも足りない

>>407
δは多重劣調和関数なのか？
∂∂‾logδはケーラー形式のように見えるが、、、

C^nに埋め込めるのがシュタイン、
P^nに埋め込めるのが代数多様体。
小平の埋め込み定理は、P^nに埋め込めるための十分条件を与えている。

>>412
P^nでも足りない、というのはどのように
考えればいいですか、初学者な者ですから

>>415

K3曲面とか