微分形式

微分形式について語ろう
ω=dx∧dy + dy∧dz + dz∧dx

証明は完備かつケーラーの場合しか知らない

コンパクトなケーラー多様体上の
調和形式の(p,0)成分は正則になる。
ホップ曲面上の任意のエルミート計量に対し、
0でない実調和1形式の
(1,0)成分は正則ではない。

>>233
サンクス

>>187
え？微分形式でしょ

>>233
ケーラーの場合 △ =2□ が成り立つため、調和性 △ω=0から □ω=0が従い、
完備性から ∂ω=0, ∂‾ω=0 が従うので、正則となる。

しかし，ケーラーでない場合は、 △ =2□ とは限らない。

>>231
コンパクトでRicci flatはケーラー多様体上の調和(p,0)-形式は平行(定数形式)である。

(1/2,0)-形式とか(-1/2,0)-形式の場合はどうなるか

>>238
そもそも 1/2-form dx^(1/2)や-1/2-form dx^(-1/2)の定義は？

それは変換関数系の分数べきが意味を持てば
自然に定義できる

具体的に1次元ユークリッド空間Rのとき、dx^(1/2) って何？

>>240
交代性はどうすんの？
例えば、dx^(1/2) ∧ dx^(1/2) は0か、それとも指数法則で dx か？

テンソル積と違い交代性があるから、単純に変換関数だけでは処理できないのでは？
標準束のルート束もベクトル束ではなく、K群の元としてしか意味持たないし

>>交代性はどうすんの？

ベクトル空間の外積をあてはめるだけ
一般のベクトル束の外積と同様

一般の複素数ｃに対して
(c,0)形式というものが考えられるらしい

>>244
ソースは？

確率微分方程式で√dtみたいな形を見たことがあるが
あれは正規分布の標準偏差が√dtだからって理由で
微分形式と一緒にしていいものなのか分からない
一応確率の組み合わせという文脈で掛け算も出来た筈だが

>>246
確率過程だと (dW_t)^2 = dt とかそういうのがあるからでは？
（この二乗はどういう積なんだっけ、ウェッジ？）

>>217
ストリングの理論においても高階の微分形式によって
表されるポテンシャルがあって、それが弦を一般化した
Dブレーンと結合することで相互作用が生じるわけだ
ストリング理論も一般化された一種のゲージ理論である

微分形式があるのなら積分形式あるのだろうな。

>>249
サイクルだな

>>248
Dブレーンて高次元の幕の様なもんちゃうの？

>>250
> サイクルだな

正確にはチェインだな
サイクルは ∂c=0を満たさなくてはならない、
これは微分形式でいえば dω=0 の閉形式に相当する。

そうだチェインだ
閉じてない領域上も積分はできるからな

spin foam

微分形式もチェインもカレントになる

チェインって加群の列やろ？
積分形式は境界作用素とちゃうか？

積分公式で啓くベクトル解析と微分幾何学
―ストークスの定理から変分公式まで―

著者 小池 直之 著
発売日 2022/09/12
ISBN 9784320114753
体裁 A5・400頁
定価 5,280円 （本体4,800円 + 税10%）

https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10013505.html

本書は、「積分公式」に焦点を当てることにより、ベクトル解析と微分幾何学を俯瞰する一冊である。
　ベクトル解析において、グリーンの定理や（曲面に沿うベクトル場に対する）ストークスの定理、
ガウスの発散定理を学ぶが、これらは微分幾何学において「多様体上の微分形式に対するストークスの定理」
として包括的に論ずることができる。また、多様体論と位相幾何学を結びつけるド・ラームの定理は、
多様体上のストークスの定理を用いて示され、さらに、曲面論におけるガウス・ボンネの定理も
ストークスの定理により導かれる。一方で、微分幾何学における偶数次元閉超曲面におけるガウス・ボンネの
定理の証明には、モース理論を用いたまったく別の手法が用いられる。
　本書ではこれらの事実をスムーズに学べ、さらに、体積汎関数の第1変分公式・第2変分公式と
その完全証明も与えられており、「積分公式」を通して見えるベクトル解析と微分幾何学のつながりを案内する。
　また、モース理論の完全証明や特性類の位相幾何学的定義（障害理論に基づいた定義）、
および微分幾何学的定義（チャーン・ヴェイユ理論に基づいた定義）、さらには、ガウス・ボンネの定理が
特性類の一つであるオイラー類の積分を用いた積分表示公式として与えられることも解説されており、
微分幾何学と位相幾何学の密接なつながりも実感できる。
　本書では各所で図を挿み、視覚的に理解できるよう工夫されている。

>>256
境界作用素もおかしかった
加群の元が積分形式や
つまり微分形式は同時に積分形式でもあるんや

微分形式の平方根はどうなる？

Jacobianの平方が出てくる
知らんけど

平方→平方根

(ds)^2=g_{ij} dx^i dx^jは微分形式っぽいけど微分形式じゃない

>>258
お前は境界知能ではなくて知的障害

>>262
お前はただの知的障害者

>>262
対称微分形式でしょ？

>>262
対称テンソルです
まあどっちでもいいや

>>262
>>265
テンソルと共変ベクトル反変ベクトルって難しいよな
おれも最初わからなかった
dsは微分形式だ
逆にここのdx^i dx^jは微分形式じゃなく記号

正確にいえば(ds)^2が2-微分形式か

微分形式とは、微分可能多様体上に
定義される共変テンソル場のこと。

>>268
(ds)^2=g_{ij} dx^i dx^jって微分形式のウェッジ積じゃなくて単なる積で表されるから微分形式じゃないと思った

対称テンソルを微分形式とは呼べないが
エルミート計量はその基本形式としばしば
同一視される

微分形式は交代性を満たさなくてはならないが(外積束の切断)、
(ds)^2=g_{ij} dx^i dx^j は交代性は満たさないので微分形式ではない。
対称性をみたすただのテンソル場(対称テンソル束の切断)。

>>269
ダウト！
交代性が必要

>>272
その通り！
ウェッジ積は交代的だから、リーマン計量は微分形式ではありませんね

勘違いしてたけど確かに(ds)^2はただの2次形式だな
“微分”形式ではない

2次形式の変数を微分に変えたものが2次微分形式。

変数を微分に変えるというのは
幾何的に何を意味しているのか

接ベクトル束上の関数を考える

なるほど！

>>249
微分形式を積分するわけだけども
積分形式の微分は何になるのかな？

・境界説
・接ベクトル（微分係数）説

を提唱する

微分形式でコホモロジーが作れるけど
積分形式からホモロジーが出るんかな？

二次形式を計量テンソルとする対称微分形式が微小な線素の長さを表すのなら、
三次形式や四次形式は何を表すか。
クリストッフェル記号とか曲率テンソルなのだろうか？

>>283
気分で書き込むなよ
n次テンソルは線形空間で、その中の特別なものが計量や曲率と名付けられてる
だからn次=○○みたいな考え方はおかしい

外微分作用素dの双対である余微分作用素はホッジのスター作用素*とdを併用して
*d*と表せる

>>283
n次元一般リーマン多様体上の計量テンソルならば基底ベクトル場に対する正定値性は必要無く、単に対称な二階テンソル場であればいい
独立成分はn(n+1)/2個

クリストッフェル記号Γは(1,2)形式について
Γ^i_{jk}=Γ^i_{kj}
であるので独立成分はn^2(n+1)/2個

リーマン曲率テンソルRは(1,3)形式では共変微分の括弧積で表されることから負でも良い添字を下ろした際に(0,4)形式について
R_{ijkl}=-R_{jikl}
R_{ijkl}=-R_{ijlk}
R_{ijkl}=R_{kjil}
R_{ijkl}+R_{iljk}+R_{iklj}=0
を満たす
独立成分はn^2(n+1)(n-1)/12個

そこから縮合して得られるリッチ曲率テンソルは
R_{ijkl}=-R_{jikl}
R_{ijkl}=-R_{ijlk}
R_{ijkl}=R_{kjil}
より
R_{ijik}=R_{ikij}
⇔R_{jk}=R_{kj}
自由度はn(n+1)/2


一般には二階テンソルは計量テンソルやリッチ曲率テンソルにはならないし、三階テンソルはクリストッフェル記号にはならないし、四階テンソルはリーマン曲率テンソルにはならない

ただしこれらは単体での話だが
また、クリストッフェル記号は物理学的流儀だと座標変換則の観点からテンソルには常にならない

>>285
符号が必要

>>286
> クリストッフェル記号は物理学的流儀だと座標変換則の観点からテンソルには常にならない

数学的にもクリストッフェル記号はテンソル場にはならない。
クリストッフェル記号は共変微分∇の成分表示したもの、
そもそも「共変微分」という微分作用素なので、テンソル場にはなり得ない。

>>285
その余微分作用素が、積分形式の微分と考えられるのかな？

>>287
>符号が必要
そうでした
すみません

emanの物理学見てたけど馬鹿だから結局リーマン曲率とかクリストッフェル記号とかは分かったような分からないような理解しかできてない
誰か分かりやすく説明してくれねえか

>>290
クリストッフェル記号は↓
https://eman-physics.net/relativity/co_dif.html


リーマン曲率テンソルについて
曲率のある空間中でベクトル場を平行移動すると、ベクトル場の方向がズレる
例えば地球上で東方向に向いたベクトルを平行移動する
ベクトルの方向に対して前方にπ/2、左方にπ/2の順と、左方にπ/2、前方にπ/2の順だと最終的なベクトルの向きが異なる

これを無限小に対して適用するとある一点における曲率を表せる
異なるベクトル場∂/∂(x^k)、∂/∂(x^l)に沿った共変微分∇_kと∇_lの作用させる順番次第でベクトルの方向にズレが生じる
その大きさ[∇_l,∇_k]=∇_l∇k-∇_k∇_lが(1,3)形式がリーマン曲率テンソル

そのベクトルの変換のなす群がホロノミー群やな

>>291
ここでの共変微分は共変ベクトルへの作用としてのね

>>291
基底ベクトル場に沿った共変ベクトルの共変微分

共変微分があるなら
共変積分もあるのかな？

微分形式（接分布）に対して、積分多様体という概念がある
ベクトルばの積分曲線の高次元版に当たる

フロベニウスの定理か
あれムズイねんな

BRS（T）コホモロジー

>>295
その発想を展開させると
prolongationの理論になる

jetsですか

チェインとコチェインがあるから
formに対してcoformもあるのかな？

>>301
お前アホか？単なる線形代数の話だ

有限次元ベクトル空間 V に対して、双対を２回取れば元の空間と同型になる：(V^*)^* = V
V= TxM と接ベクトル空間と見れば、1-coform は通常のベクトル場になる
2次以上も同様

形式とは接ベクトル空間上の線形汎関数
余接ベクトルによる内積表示が可能なので、この余接ベクトルを形式とみなすこともアリ
余接ベクトルの共役は接ベクトルであろう
コフォームは接ベクトル

>>302
こりゃ一本取られましたなｗ

>>303
×共役
○双対

>>フロベニウスの定理か
>>あれムズイねんな

本の証明がへたくそなだけ

>>301-303
余接空間の元をcovectorと読んでる本もある

一般に、ベクトル空間Vの元をvectorと呼べば
双対ベクトル空間V*の元はcovectorと呼ぶことになる。

微分作用素はベクトルなわけだが、そうすると
コベクトルは積分作用素ということになるんかな？

>>309
直前のスレくらい読めや
ベクトル場の双対は微分形式

>>309
素人の思いつきで書き込むなよ

偏微分方程式で弱微分は積分形式で解釈するのは常識だからさ

弱微分の双対としての弱積分がルベーグ積分

空間の方向性をどう表現するかの問題

微分方程式論の本道

【カルタンの定理B】
シュタイン多様体X上の解析的連接層Fに対して、H^p(X;F)=0(p>0)である。

カルタンの定理Cが仮にあるとすれば、それはどんなものであるか？

>>315
多変数関数論は良く知らないのですが、これは岡潔の結果を層のコホモロジーで言い換えた定理という認識で合っていますか？

またこの層コホモロジーをド・ラーム（ドルボー）コホモロジーを通して、微分形式の計算により証明することは出来ますか？
例えば小平消滅定理のように、調和積分論を使って微分形式の話に持ち込んだ議論です。

>>187
微分形式だよ

>>317
応用上は局所自由層のコホモロジーで十分な時が多く
その場合には小平式の方法が通用します

微分形式の定義について
ブルバキで議論があったとき
カルタンがデュードネの批判に兜を脱ぐ場面があったそうだね

あいつとやり合ってもしょーがねーや

微分形式でCartan's magic formulaて呼ばれている公式があるけど、何がmagicなんや？

>>322
日本語の本では単に「カルタンの公式」としか書かれてないけど、
英語の本では"magic formula"と書かれているのが多いね。
出た当時の印象が魔法のような関係式だったのだろうか？

アーノルドはhomotopy formulaと呼ぶ
熱力学の第一法則を解き明かす不可思議

>>187

2-formだよ

>>325
いつまでそんなのに相手してるんだよ
少しはまともな書き込みしろ

テスト

二次元以上の連結な概複素多様体の強擬凸領域は
連結な境界を持つ。
2014年の論文に出ていた。

2次元以上の連結ケーラー多様体の滑らかな局所擬凸有界領域なら
いたるところ両面擬凸でなければ境界は連結

ストークスの定理の簡単な応用

しかし今世紀に入ってからの論文