>>283
n次元一般リーマン多様体上の計量テンソルならば基底ベクトル場に対する正定値性は必要無く、単に対称な二階テンソル場であればいい
独立成分はn(n+1)/2個

クリストッフェル記号Γは(1,2)形式について
Γ^i_{jk}=Γ^i_{kj}
であるので独立成分はn^2(n+1)/2個

リーマン曲率テンソルRは(1,3)形式では共変微分の括弧積で表されることから負でも良い添字を下ろした際に(0,4)形式について
R_{ijkl}=-R_{jikl}
R_{ijkl}=-R_{ijlk}
R_{ijkl}=R_{kjil}
R_{ijkl}+R_{iljk}+R_{iklj}=0
を満たす
独立成分はn^2(n+1)(n-1)/12個

そこから縮合して得られるリッチ曲率テンソルは
R_{ijkl}=-R_{jikl}
R_{ijkl}=-R_{ijlk}
R_{ijkl}=R_{kjil}
より
R_{ijik}=R_{ikij}
⇔R_{jk}=R_{kj}
自由度はn(n+1)/2


一般には二階テンソルは計量テンソルやリッチ曲率テンソルにはならないし、三階テンソルはクリストッフェル記号にはならないし、四階テンソルはリーマン曲率テンソルにはならない

ただしこれらは単体での話だが
また、クリストッフェル記号は物理学的流儀だと座標変換則の観点からテンソルには常にならない