【超複素数系】複素数→四元数、分解型複素数→双曲四元数、二重数→？？？

(広義の)二元数はつぎとおり
複素数
i^2=-1

分解型複素数
j^2=1 (j≠±1)

二重数(双対数)
ε^2=0 (ε≠0)

（とりあえず虚数部分は一般に用いられている記号を用いた）

では、

広義の四元数はさまざまなものがあるが、

(通常の)四元数
i^2=j^2=(ij)^2=-1
またij=kとおくと、
i^2=i^2=ｋ^2=-1

双曲四元数
i^2=j^2=(ij)^2=1 (i≠±1,j≠±1)
またij=kとおくと、
i^2=i^2=ｋ^2=1 (i≠±1,j≠±1,k,≠±1)

？？？
εi^2=εj^2=(εiεj)^2=0
またεiεj=εkとおくと、
εi^2=εi^2=εｋ^2=0

というように"？？？"となる拡張も可能ではなかろうか

"？？？"のようなものの正式名称は不明だが、googleで調べた所、
どうやら、hyper dual number(直訳:超二重数、超双対数)とう名称のようだ。

>>2
広義の四元数はさまざまなものがあるが、

(通常の)四元数
i^2=j^2=(ij)^2=-1
またij=kとおくと、
i^2=i^2=ｋ^2=-1

双曲四元数
i^2=j^2=(ij)^2=1 (i≠±1,j≠±1)
またij=kとおくと、
i^2=i^2=ｋ^2=1 (i≠±1,j≠±1,k≠±1)

？？？
εi^2=εj^2=(εiεj)^2=0 (ε≠0,εj≠0)
またεiεj=εkとおくと、
εi^2=εi^2=εｋ^2=0 (ε≠0,εj≠0,εk≠0)

というように"？？？"となる拡張も可能ではなかろうか

まだミスがあった。

>>2
広義の四元数はさまざまなものがあるが、

(通常の)四元数
i^2=j^2=(ij)^2=-1
またij=kとおくと、
i^2=i^2=ｋ^2=-1

双曲四元数
i^2=j^2=(ij)^2=1 (i≠±1,j≠±1)
またij=kとおくと、
i^2=j^2=ｋ^2=1 (i≠±1,j≠±1,k≠±1)

？？？
εi^2=εj^2=(εiεj)^2=0 (ε≠0,εj≠0)
またεiεj=εkとおくと、
εi^2=εj^2=εｋ^2=0 (ε≠0,εj≠0,εk≠0)

というように"？？？"となる拡張も可能ではなかろうか

>>5
符号関係

(通常の)四元数
ij=k,ji=-k

jk=i,kj=-i
ki=j,ik=-j
ijk=-1,k^2=-1

双曲四元数
ij=k=ji

jk=i=kj
ki=j=ik
ijk=1,k^2=1

符号関係と結合法則

(通常の)四元数
ij=k,ji=-k

jk=i,kj=-i
ki=j,ik=-j
ijk=-1,k^2=-1

(ij)j=kj=-i=i(jj)


双曲四元数
ij=k=ji

jk=i=kj
ki=j=ik
ijk=1,k^2=1

(ij)j=kj=-i,i(jj)=i

>>7もミス
符号関係と結合法則

(通常の)四元数
ij=k,ji=-k

jk=i,kj=-i
ki=j,ik=-j
ijk=-1,k^2=-1

(ij)j=kj=-i=i(jj)


双曲四元数
ij=k=-ji

jk=i=-kj
ki=j=-ik
ijk=1,k^2=1

(ij)j=kj=-i i(jj)=i

こんなもん
既に研究が終わってるわ

ならば"？？？"はこのように定義してやればよかろう

εiεj=εk=εjεi

εjεk=εi=εkεj
εkεi=εj=εiεk
εiεjεk=0,(εk)^2=0

(ij)j=kj=jk=i=i(jj)

ならば"？？？"はこのように定義してやればよかろう

εiεj=εk=εjεi

εjεk=εi=εkεj
εkεi=εj=εiεk
εiεjεk=0,(εk)^2=0

(εiεj)εj=εkεj=εjεk=εi=εi(εjεj)

>>9
hyper dual numberは二階微分に有用なようなのでもっと普及させようず

>>10-11
あっ
εiεj=εk=εjεi

εjεk=εi=εkεj
εkεi=εj=εiεk
εiεjεk=0,(εk)^2=0

(εiεj)εj=εkεj=εi,εi(εjεj)=0

(εk)^2=0なので、εi(εjεj)=εi(εk)^2＝0
になる

>>12
>>13
でも
εiεj=εk=εjεiより、
εkεj＝εiεjεj＝0だな。

よって
εiεj=εk=εjεi

εjεk=εi=εkεj
εkεi=εj=εiεk
εiεjεk=0,(εk)^2=0

(εiεj)εj=εkεj=εi(εjεj)=0

>>14
まだ駄目だった。
εkにεiかεjを掛けると0になる。

εiεj=εk=εjεi

εjεk=0=εkεj
εkεi=0=εiεk
εiεjεk=0,(εk)^2=0

(εiεj)εj=εkεj=εi(εjεj)=0

εkを導入すると却って分かり難いというヲチ。
εiεjでええやんけ。

(εi)^2=(εj)^2=(εiεj)^2=0 (εi≠0,εj≠0,εiεj≠0,εi≠εj,εi≠εiεj,εj≠εiεj,εiεj=εjεi)

>>8
>双曲四元数
ただの虹の正方行列だろ。つまんね

split 複素数って横田一郎の群論の本でしか見たことないけど他にどんなところに出てくんの?

りぃー群論では複素化して分類とかやるからあんまいみないんだな

8元数や16元数にもいろいろあるのだな？

お前ら三元数を知っているのか?

>>21
聞いたことがない
教えてくれ

作るのは簡単
i^2=j^2=0, ij=-ji i!=j

>>22
俺も知らん
三元豚なら聞いたことがあるが

>>24
では三元数をでっち上げて質問をしてみた理由は？

いや、知っている人がいたら教えていただきたいと思ったんですが
ごめんなさい
ごめんなさい
ごめんなさい
ごめんなさい
ごめんなさい

もともとベクトルというものは四元数あるいはそのベクトルパートと呼ばれる
部分のことだったのだ。ベクトル解析は四元数を使って記述されていて、
それだと3次元あるいは4次元にだけ特有のものだった。

ベクトルはもともと物理学のなかで誕生し，発展してきた概念だと言われている．ベクトルは力学から生まれたと書いてある本もあるが，ベクトルの概念が確立するのは19世紀後半(すでに力学は体系化されていた)といわれている．電磁気学で有名な19世紀のイギリスの物理学者マックスウェル(1831-1879)も．論文の中ではベクトルの記法を使用していない．ベクトルの記法を最初に用いたのは19世紀のアメリカの物理学者ギプス(1839-1903)と言われている．

ガウスの消去法をガウスは行列やベクトルを使わずに書いている。

https://www.gensu.jp/product/行列と群とケーリーと/

線形変換の係数を並べた図形が行列であるとすれば、
線形を越えた多変数多項式の変換の係数を並べたものに対する
図形にはどのようなものがあって使われているのだろうか？
それがテンソルでいいのか？

テンソルは基本的にはそういうもの

五元数

てすと