>9が6個並ぶけど自然数解を持つんですよ。自分の証明を見直すのが先でしょう？

(x^3-1)/3=y(y+1)-1/3は、x^3/3=y(y+1)と同じです。
y=8のとき、成立します。
ただ、(x^3-1)/3=y(y+1)とは、式がちがいます。