面白い数学の問題おしえて～な 42問目

面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
質問スレではありません
出題者が答えを知らない問題はお控えください
統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です
荒らし、煽りはスルー推奨

前スレ
面白い数学の問題おしえて～な 41問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1652369753/

過去ログ(1-16問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/

まとめwiki
http://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/

過去スレ
1 //cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 //natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 //mimizun.com/log/2ch/math/1026218280/
4 //mimizun.com/log/2ch/math/1044116042/
5 //mimizun.com/log/2ch/math/1049561373/
6 //mimizun.com/log/2ch/math/1057551605/
7 //science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 //uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/

過去スレ (続き)
21 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/
30 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/
31 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1580123521/
32 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586230333/
33 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1598637093/
34 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1608679703/
35 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1614399625/
36 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1622242743/
37 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1624644393/
38 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629715580/
39 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1633923732
40 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1640443648/
41 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1652369753/

x^2+y^2=r^2.
x+y(dy/dx)=0.
dy/dx=-x/y.

∫_a^b(2πy(1+(dy/dx)^2)^(1/2))dx
=∫_a^b(2πy(1+(-x/y)^2)^(1/2))dx
=∫_a^b(2πy(r^2/y^2)^(1/2))dx
=∫_a^b(2πy(r/y))dx
=∫_a^b(2πr)dx
=2πr(b-a).

前スレ>>988
解説してたのは日経サイエンスのパズルの国のアリスだよね。

https://www.nikkei-science.com/page/magazine/alice/201604/question.html

昔は解答も載せてくれてたんだけど削除しちゃってるね。
書籍版かバックナンバーを買うなり図書館で読むなりしてくれ。

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1608679703/282
近辺の書き込みを読んでみると、
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1608679703/298
を見つけることができる。
パズルの国のアリスの解答は、球台の側面積が幅依存であることを
利用したものであることが強く推論できます。

パズルの国のアリスの、その問題の解答が載っている本を持ってるけど、
前スレ994と同じような説明がされてるね。
用語としては「球台」ではなく「球帯」と書いてあるけど。

円形のペンキ染みを半球形のドームで覆って、円形部分のペンキを
帯状に拭うと同時に、直情のドームの球帯が塗られるとする。
このとき円形の端以外では、帯の幅が同じなら球帯の表面積は
どこでも同一になるから…という流れ。

件の積分値が球面の一部の表面積になるとこは問題ない
多くの積分問題は長さ、表面積、体積の問題に還元してそれを別の積分の問題にしたり、場合によっては積分なしで示したりもできる
しかし少なくとも「球面を平行な2面で切り取った部分の面積はその幅のみで決まる」なんてのが当たり前なんかではないし結局それは別の積分するなりなんなりで示さないとダメやろ
件の問題なら最低限、原点中心半径Rの球面を平面x=a,b (-R<a<b<R)で切り取った部分の面積をF(a,b)とするとき
dF = 2πR( db - da )
を示しとくとかしないとダメやろ

証明の手法として何をどう使うかが明確なら個人的にはあまり目くじら立てなくて良い気はするけど
極端に手間だったり場合分けが煩雑になる場合はともかく、今回は単純な計算の範疇だと思う

Archimedes' Hat-Box Theorem -- from Wolfram MathWorld
https://mathworld.wolfram.com/ArchimedesHat-BoxTheorem.html

年末なので気軽に爆弾を投下できる（と言いつつ完成したのは今日なんだけど）

pを素数、F_pを位数pの有限体、V=F_p×F_pを体F_p上の二次元ベクトル空間とする。
Vの部分集合S⊂Vの要素数が2p-2以下である時、V上の直線であってSと共通部分を持たないものが存在することを示せ。

一週間音沙汰無いのはさすがにあれなのでヒント

体F_pから構成される射影平面 PG(2,F_p) の自己双対性を利用して問題を双対版に翻訳してみると下記のようになる：

V上でx=0と平行でないいくつかの直線からなる集合S⊂Vの要素数が2p-2以下であり、なおかつSがどの傾きの直線も含むならば、
V上の点であってSのどの直線とも共通部分を持たないものが存在することを示せ。

※PG(2,F_p) の自己双対性については以下参照
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Duality_(projective_geometry)

みんな新スレを見つけられてないのか？

大半は単発スレに書き込むみたいなノリだったってことなのかね
昔みたいに静かにひっそりという流れもいいけど、とは言えさすがに静かすぎるのは同意

s=1+√2とおく
11=s^3-s^2+s+s^0-s^(-1)-s^(-2)-s^(-3)
のように任意の整数はsを整数乗した数の和と差で表せることを示せ

係数が0と1と-1だけって意味ね

ageておくぞ

自明？
https://twitter.com/jagarikin/status/1611559818917183489
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

集合Xを{x[1]=1,x[2]=3,x[n+2]=2x[n+1]+x[n]で定まる数列}={1,3,7,17,41,99,239,577,...}とする。

全ての自然数は、集合Xの元x[k]と、0,1,2のいずれかの値を取るa[k]を使って　【　Σa[k]*x[k]　】　のように表せる。
（数学的帰納法による証明が簡明）
→
全ての整数は、集合Xの元x[k]と、-1,0,1のいずれかの値を取るb[k]を使って　【　Σb[k]*x[k]　】　のように表せる。
（∵集合H={1,4,11,28,69,168,...}={Σx[k]}　を考え、変換したい n に対し、|n|<hとなる適当な集合Hの元hを
　持ってきて、n+h　を　Σa[k]*x[k]　形式で表現すると、n=Σ(a[k]-1)*x[k]　なので、b[k]=a[k]-1とすればよい。）
→
集合Xの元の二倍から成る集合に、1　を加えた集合Y={1,2,6,14,34,82,198,478,1154,...}を考える。
全ての整数は、集合Yの元y[k]と、-1,0,1のいずれかの値を取るc[k]を使って　【　Σc[k]*y[k]　】　のように表せる。

ところで集合Xの(n+1)番目の元は(1/2){(1+√2)^n+(1-√2)^n}=(1/2){(1+√2)^n+(-1/(1+√2))^n}と表せるので、
s=1+√2とすると、集合Yは{s^0}U{s-1/s , s^2+1/s^2 , s^3-1/s^3 , s^4+1/s^4 ,...}と表せる。

全ての整数は、　Σc[k]*y[k]　として表す事ができ、cは-1,0,1のいずれか、yは上記のような集合Yの元なので、>>15が示される。

a,bを任意の整数としてa+b√2も表せる？

>>11
さらにヒント

Sの各直線sは傾きを持つので y+(a_s)x+b_s=0 (a_s,b_s∈F_p) のように表せる。
この a_s,b_s を用いて定義されるV上のF_p値関数 F(x,y) := Π_(s∈S)(y+(a_s)x+b_s) が常には0にならないことを示せば良い。

>>20
係数は3通りしかないのだから、|a+b√2|>3 というだけで無理確定。

言葉足らずだった
a+b√2を1+√2で表すって意味ね
11+6√2だったらs³+s²-s⁻¹みたいな感じで

11+6√2=19.485...
8+8√2=19.313...
4+11√2=19.556...
1+13√2=19.384...
-2+15√2=19.213...
のように、切り捨てすると19になるような　a+b√2 型の数は無限にあるけど、

sの整数乗の和で、切り捨てか、切り上げして19にするような方法は有限個しかないから無理。
（∵同じ自然数を　Σa[k]*x[k]　形式で表す方法は複数あるが、これは
　x[n+2]=2x[n+1]+x[n]　で許される範囲で、係数のやりとりを行える場合に限られ、無限にはない。）

みたいな感じで、否定的証明が可能（？）かな。

でも切り捨てて0になるのはs⁻¹,s⁻²,s⁻³,s⁻⁴…と無限にあるし

論理的じゃないこと言ってるよ。

あ、そっか、これは言及しておかなければならないのかな。
負の冪の項は、
Σ[k=1,∞]1/(1+√2)^k=1/√2 < 1
だから、前回の整数の場合には、専ら「整数化」の為の項といえます。
大きさの評価の時には無視してもかまわないものと見なしています。
今回の「a+b√2」型の値についても同様です。

>>27
あっ、なるほど
負の項は±1/√2するだけだから関係ないのか
理解理解

どっちみち負の項いじって同じ整数部分となる範囲に落ちるパターンが無限通り作れるなら反証にはならないと思うけど

age

集合Y： {s^0} U {s-1/s , s^2+1/s^2 , s^3-1/s^3 , s^4+1/s^4 ,...,s^k+(-1/s)^k,...}
　 　 　 　 = {1,2,6,14,34,82,198,478,1154,...}
集合Z： {s-s^0}U{s+1/s , s^2-1/s^2 , s^3+1/s^3 , s^4-1/s^4 ,...,s^k-(-1/s)^k,...}
　 　 　 　 = √2{1,2,4,10,24,58,140,338,816,1970,...}

任意の整数ａは、Yの元y[k]と　-1,0,1　のいずれかの値を取るc[k]を使って
ａ = Σc[k]*y[k] = c[0]*s^0 + Σc[k]*(s^k+(-1/s)^k)
任意の整数ｂの√2倍は、Zの元z[k]と　-1,0,1　のいずれかの値を取るd[k]を使って
ｂ√2 = Σd[k]*z[k] = d[0]*(s-s^0) + Σd[k]*(s^k-(-1/s)^k)

ａ + ｂ√2 = (c[0]-d[0])*s^0 + d[0]*s+ Σ{(c[k]+d[k])s^k + (c[k]-d[k])(-1/s)^k}

と表せる。ここに現れた　c[k]+d[k]　及び　c[k]-d[k]　等の係数は、-2,2という値を取り得るが、
2s^k = s^(k+1)-s^(k-1)
という関係を使って、全ての係数が　-1,0,1　だけになるように調整可能

従って、任意の整数ａ、ｂに対し、ａ + ｂ√2　は、(1+√2)の整数乗の和、差だけで表せる。

が、正しい結論・・・かな。

その"調整"がいつでもうまくいく証明が必要そうだね

証明というか次のように説明すれば納得してもらえるだろうか。以下、-1をa、-2をbと表す。

通常の足し算では、各桁での合計が10を以上になると「繰り上がり」処理をして0〜9までの数字に収める。
今回の場合も同じ。　2や-2=bが現れた時には、「繰り上がり＆繰り下がり」処理を施して、-1=a,0,1の数字に収める。
1.0+a.0=a.0+1.0=0.0
1.0+1.0=2.0=10.a
a.0+a.0=b.0=a0.1
これを順次行うだけ。桁が増えても、同じ。
“2数”の和の時、「繰り上がり＆繰り下がり」で補正される量は 1 だけなので、有限桁同士の和なら、必ず収まる。
極端な例
1111.1111+1111.1111=2222.2222=10a00+10a0+10a+10.a+1.0a+0.10a+0.010a+0.0010a=11000.000aa
10a00.
_10a0.
__10a.0
___10.a
____1.0a
____0.10a
____0.010a
____0.0010a
11000.000aa

横から

2の開き方は
10.a
1a.11
1aa.a
の3通りある（もっとあるか？）
このうち真ん中の変換のみを使用すれば各桁の和は変動しない
ゆえに発散も起こらない（飛躍）
という方針はどうか

12.11の“一の位”の2に対し、
02.00→1a.11という変換を行うと、2a.22になります。一つの2は解消されたけど、三つの2が増えました。
02.00→10.a0という変換を行うと、20.01になります。別のところに、2が現れ、最終段階には到りません。
後者の方が有用と思われます。

また、12.a0の“一の位”の2に対し、
02.00→1a.11という変換を行うと、2a.01になります。別のところに、2が現れ、最終段階には到りません。
02.00→10.a0という変換を行うと、20.b0になります。別のところに、2とbが現れ、一歩後退？
前者の方が有用と思われます。

これらの例のように、02.00→1a.11 という変換“だけ”を行うことが有用とは思いません。

確かに発散が起こらないことは保証されますが、2やbが解消されるかどうかについては、別の検討が必要になると思います。
もしかすると、「係数の和」より、「係数の絶対値の和」に注目する方が良いのかなと思います。

確かにそうですね
112.a1だったら3パターンのどれを使っても2かbが二箇所になりますし
困った

2の開き方として10.aだけを使うことに決めれば、開く操作を行うごとに
∑_(kは整数) |c[k]|
は単調非増加。
したがって、もし"2を開く"操作を無限に続けられるのであれば、
ある整数Nが存在して、n≧N回目以降の操作で Σ_(kは整数) |c[k]| の値が変化することはない。

したがって、残るは次の問題を考えれば良い：

平面上に同じ大きさの正方形マスが横一列に並んでいる。
コインをいくつか（有限個）用意し、それぞれどこかのマス上に置く。
複数のコインを同じマス上に重ねて置いても良い。
次の操作を永遠に繰り返すことは不可能であることを示せ。
・コインが２枚以上乗っているマスを１つ選び、その正方形のコインのうち一枚を１つ右、更にもう一枚を１つ左のマスに移動する

さて……

変数 k は整数の値をとるものとする。
座標 k にあるマスをマスkと表記することにし、
コインの座標をそのコインが置かれているマスの座標と定める。

コインの枚数をN、初期状態におけるマス0と各コインとの座標の差の最大値をMとおく。

座標 k に存在するコインの枚数を c[k] とおくと、
各操作ごとに Σ_k (k^2)c[k] の値はちょうど2ずつ増える。
したがって、操作を十分な回数実施すれば少なくとも１つのコインの原点との距離はM+2N+1以上となる。
以下ではn_0回目の操作でとあるコインの座標がM+2N+1となったケースを考える。
（-(M+2N+1)だった場合も同様にして証明可能）

n回操作した際に c[k]+c[k+1] の値が正であるならばn+1回目以降もずっと正である。
このことから、n_0回目の操作で座標がM+2Nとなったコインが、
初期位置k_0からそのマスまで移動する際に通過したあらゆる隣り合う２マスのペアには、
少なくとも一枚以上のコインが乗っていなければならない。
したがって、n_0回目の操作において
Σ_k c[k]
≧ (Σ_(x=0,N-1) c[M+2x]+c[M+2x+1]) + c[M+2N]
≧ (Σ_(x=0,N-1) 1) + 1
= N+1
となり、これはコインの枚数がN枚であることと矛盾する。

>>38 訂正

誤：M+2N+1
正：M+2N

誤：初期位置k_0からそのマスまで移動する際に通過したあらゆる隣り合う２マスのペアには、
正：初期位置k_0≦Mからそのマスまで移動する際に通過したあらゆる隣り合う２マスのペアには、

(1+1/x)^xのx=-1における虚部の右側極限を求めよ

-π

導出過程は？

>>11
もう少しヒント
F(x,y) がV上で恒常的には0でないことを示すには
剰余環 F_p[x,y]/(x^p-x)(y^p-y) において F(x,y) が属する同値類が零元でないことを示せば良い。
Sが全ての傾きの直線を含むことをどう使うかがポイント

出題から大分経つし解答を上げてもいい頃では

それもそうか
じゃあ>>11の証明について、>>43の続きから概略だけ

|S|=2p-2 として良い。
Sから各傾きの直線を１つずつ集めてできる集合をS'とおくと
F(x,y) = Π_(s∈S') (y+a_sx+b_s) × Π_(s∈S-S') (y+a_sx+b_s)
= (y^p - y(-x)^(p-1) + (x,yについてのp-1次式)) × (y^(p-2) + (x,yについてのその他のp-2次式)) (∵ウィルソンの定理)
= -(-xy)^(p-1) + (x,yについてのその他の2p-2次式)
であり、これの F_p[x,y]/(x^p-x)(y^p-y) 上の同値類は非0なので F は恒等的には0にはならない。

前スレのこれも気になってるので解凍プリーズ

関数 f:R→R について、次は同値であることを示せ
・f は２つの周期関数の和として表せる
・あるQ-線形独立な実数a,bが存在して、任意の実数xについて f(x) - f(x+a) - f(x+b) + f(x+a+b) = 0 が成り立つ

>>46

（上→下）
２つの周期がQ上一次独立ならそれらをa,bとすれば良い。
そうでなければ f そのものが周期関数となるため、aをその周期、b=πaと定めれば良い。

（下→上）
剰余群 R/(aZ+bZ) の完全代表系をSとおく。
実数 x に対して g(x),h(x) の値を
g(x) = f(an+s) - f(s)
h(x) = f(bm+s)
と定める。（ただしx=an+bm+s, s∈S, nとmは整数）
こうすれば関数gは周期bを、関数hは周期aを持つし、f≡g+h が成り立つ。

>>47
ありがとう
うーん最後がわからん
f≡g+hの≡ってどういうこと？

>>48
f(x)=g(x)+h(x) (∀x∈R)

>>49
うーん
仮定の関係式使ってf(an+bm+s)のn,mを下げてくと
f(ai+s)(i≦n)とf(bj+s)(j≦m)の形が残る気がするんだが

いや、打ち消し合うのか

nを正の整数とする。
素体でない標数2の有限体K上の任意のn×n可逆行列Aについて、
あるK上n次元列ベクトルx,yが存在してy=Axが成り立ち、なおかつx,yのどの成分も非0であることを示せ。

>>15のようなことができる実数を全て挙げよ

まって3でもできるわ
想定と違うくなったので>>53を撤回

全て挙げよ、なんて書いてしまったけど解が無限にあるっぽいなこれ
証明はないがおそらく係数が0,±1±2のみの方程式の解がそのまま全て解になって

±3や±1/3で成り立つのは
x-2=0
x^2-2x-2=0
x^3-2x^2-2x-2=0
x^4-2x^3-2x^2-2x-2=0
…
の解の一つが3に収束するからだろうか？

そんなに結果を焦ることないでしょう
s=1+√3 は s^2-2s-2=0 の解だけど 3√3 を表せるの？

ああ整数だけか表すの
…にしても0と±1以外表せる気配ないけど

ほんとだできない
根本的に間違えていた

でもそのようなsが無限に存在するという主張自体は正しいと思う
s が方程式 x^n±2x^m±1=0 （n,mは整数、n>m≧0）の解であれば
>>37-38 みたいな方法で任意の整数を"開ききる"ことができるのを示せる

黄金比とかでもできる

じゃあ >>59 に関連して問題

平面上に同じ大きさの正方形マスが横一列に並んでいる。
コインを有限に好きなだけ用意し、それぞれ好きなマス上に置く。
同じマス上にコインを重ねて置いても良い。
初期状態によっては次の操作を永遠に繰り返すことが可能であるような整数a,bの組を全て求めよ。
・コインが２枚以上乗っているマスを１つ選び、その正方形のコインのうち一枚をaマスだけ右に、更にもう一枚をbマスだけ右に移動する。
（ただしxが負の数の場合、xマス右に移動するとは(-x)マス左に移動することを指すものとする）

操作を永遠に繰り返せるけど整数は全て表せるというのもあるような気が
s=-2だと2=110と開けるから11+1が無限に繰り上がり続けるし

まあ関連してるだけだからね
自分が示したかったのは条件を満たすsが無限に存在することだけだし

人がおらん

m,n≧2, m,n∈ℤ
f(x)=(1-x^m)^(1/n) (0<x<1)

不等式
1< {∫[0,1]f(x)dx}^m + {∫[0,1]f(x)dx}^n <2
を示せ

1.002004008016032064128256の256乗は√３より小さいことを証明してみ
計算機禁止な

256 ln(1.002004008016032064128256)
<256 ln(1.002005)
< 256×0.002005
=0.51328
ln(√3)
>ln(1.7)
>0.73-0.73^2/2+0.73^(3)/3-0.73^(4)/4
=0.522226730833

(0,0)-(0,1)-(a,a)-(1,0)-(0,0).

(0,0)-(0,1)-(a,a)-(0,0).
(0,0)-(a,a)-(1,0)-(0,0).

a=1.002004008016032064128256
=1+(2/1000)+(2/1000)^2+...+(2/1000)^7＜1+(2/1000)+(2/1000)^2+...
=1/(1-(2/1000))=1000/998=1+e,e=2/998

a^4＜(1+e)^4=1+4e+6e^2+4e^3+e^4＜1+5e
a^16＜(1+5e)^4＜1+4*5e+6*(5e)^2+...＜1+21e
a^64＜(1+21e)^4＜1+85e
a^256＜(1+85e)^4＜1+341e=1+341*2/998＜1+(682+2)/(998+2)=1.684＜√3

log3=log((1+1/2)/(1-1/2))=2納k=0,∞](1/2)^(2k+1)/(2k+1)
>2納k=0,∞](1/2)^(2k+1)/3^k=2(1/2/(1-1/12))=12/11

3^(1/512)>exp(12/11/512)>1+12/11/512>1+1/499
=納k=0,∞](2/1000)^k>納k=0,8](2/1000)^k

急に5人も登場したぞ

>>66
問題. 小数(帯小数) 1.002004008016032064128256を256乗した数が、√3よりも小さいことを証明せよ
但し、計算機禁止

証明開始
a=1.002004008016032064128256
S=1.002004008016032064128256…
a<S
小数aの代わりに総和Sを用いる
S=(2/1000)^0+(2/1000)^1+(2/1000)^2+…
=1/(1-(2/1000))=1000/998

分子を揃えて比較したいので、1000/998の分子と分母を1000で割り、比較する両方の数の分子を1で揃える
((1000/1000)/(998/1000))
=(1/0.998)=(1/(1-0.002))
√3と1/(1-0.002)を2乗する
(√3)^2=3
1/(1/3)=1/0.333……[1]
(1/(1-0.002))^2=(1/(1-0.004+0.000004))=1/0.996004

(1/0.996004)^256
256=2^8
計算機禁止により、二項定理を使用せずに小数点第四位以下切り捨てて計算する
0.996004≒0.996=1-0.004
(1/(1-0.004))^256
=(1/(1-0.004))^2^8
分母だけを8回2乗する
分母=(1-0.004)^2=1-0.008+0.000016≒1-0.008
同様に
(1-0.008)^2≒1-0.016
(1-0.016)^2≒1-0.032
…
(1-0.256)^2≒1-0.512=0.488
(1/(1-0.004))^256≒1/0.488…[2]

[1],[2]より
1/0.488<1/0.333…
よって、小数 1.002004008016032064128256を256乗した数は√3よりも小さい
証明終了

>>71
難しいだけの問題よりも適度に難しい問題の方が面白いし、証明の仕方が一つではなく複数あるからだと思います

>>69 は 展開式の評価が甘かったので、撤回します。

>>72　訂正
(1/0.996004)^256
256=2^8
計算機禁止により、二項定理は使用せずに計算
0.996004≒0.996=1-0.004
(1/(1-0.004))^256
=(1/(1-0.004))^2^8
分母だけを8回2乗する
分母=(1-0.004)^2=1-0.008+0.000016≒1-0.008
同様に
(1-0.008)^2=1-0.016+0.000064≒1-0.016
(1-0.016)^2=1-0.032+0.000256≒1-0.032
(1-0.032)^2=1-0.064+0.001024≒1-0.063
(1-0.063)^2=1-0.126+0.003969≒1-0.123
(1-0.123)^2=1-0.246+0.015129≒1-0.231
(1-0.231)^2=1-0.462+0.053361≒1-0.409
(1-0.409)^2=1-0.818+0.167281≒1-0.651
1-0.651=0.349
(1/(1-0.004))^256≒1/0.349…[2]

[1],[2]より
1/0.349<1/0.333…
よって、小数 1.002004008016032064128256を256乗した数は√3よりも小さい
証明終了

※誤差があることと計算機未使用では無理そうなので、微妙な証明になってしまいました

ワイが出す問題全部スレッドストッパーになってるみたいでかなC

1.002004008016032064128256^512
<(500/499)^512
<e^(512/499)
<e×(499/486)
<2.72×500/486
=1360/486<3

x=log(500/499)
cosh(x)=(1/2)(500/499+499/500)=1+(1/2)(1/499-1/500)=1+(1/2)ε,ε=1/499-1/500=1/(499*500)
cosh(2x)=2cosh^2(x)-1=2(1+(1/2)ε)^2-1=1+2ε+(1/2)ε^2＜(1+ε)^2
cosh(4x)=2cosh^2(2x)-1＜2(1+ε)^4-1＜(1+4ε)^2　；※
cosh(512x)=cosh(2^7*4x)＜(1+4^7*4ε)^2=(1+2^16*ε)^2＜5/3=cosh(log(3))　；※※

※
z<√6-2=0.449...の時、2(1+z)^4-1＜(1+4z)^2　が成立

※※
2^16*(1/499-1/500)=64*1024/(499*500)＜65*1024/500^2=260*1024/10^6=0.26624<2/7
(1+2/7)^2-5/3=81/49-5/3=(81*3-5*49)/(49*3)=-2/147＜０

このスレって自作問題だけしかあげないといけないスレ？

>>78
他人の問題でも答え知ってて面白ければOKのはず
個人的には「答え」には解法まで含まれていると思いたい

答えのない奴は簡便

勘辨

じゃあ頭の体操

10進法で2の累乗を小さい順に並べてできる小数 0.12481632641282565121024204840968192… をAとおく。
Aは有理数か。

Xが非循環列、Yが循環列とする
0.1248163264... = 0.XYYYY....
2ᵏの十進展開で得られるワードをZ(k)とし、Z(k)が小数第a(k)〜b(k)に現れるとする
b(k₀) > m+n を満たすk₀を取ればk>k₀を満たすkに対して2ᵏの下n桁はYYの中の長さnの連続部分列として得られるものしかないからこの条件で高々n個しかなく、Yの中には1,3,5,7も含まれるので(∵一様分布定理とlog₁₀2の無理性より2ᵏの最高位が1,3,5,7となるものが無限個ある)
よって2ᵏの下n桁は高々n-4個しかあたいを取れなくなる
一方でℤ/5ⁿℤの乗法群において2の位数は4×5ⁿ⁻¹であるから(∵v₅(16ᵏ-1) = v₅(k) + 1 = n→v₅(t) = n-1→16の位数は5ⁿ⁻¹)
n-4 ≧ ♯ { Z(k)の下n桁 | k > k₀ } ≧ 4×5ⁿ⁻¹

>>83
nとかmとかtとかエスパー必要なところ多少あるけど大枠の方針合ってるぽいし正解でいいかなあ

オーソドックスな方針としては最上位に0が任意個連続する2の累乗の存在から矛盾を導くものがあるけど
今回は2の累乗のうち桁数が循環周期nのm倍（mは十分大きい整数）となるものが
1+10^n+10^(2n)+…+10^(nm) の倍数でなければならないことからも示せたりする

末尾は 10^nm じゃなくて 10^n(m-1) か

>>84
そういう返しばっかりしてるからレスつかなくなるんだよ

うーん、じゃあ言われなくなければ回答側ももうちょっとちゃんと書いてよって話なんだけど
（そんな的外れなこと指摘してる訳でもないでしょう）
どこに誤りがあるかどういう意図で書かれたかもわからないのを言わば採点してる出題側の身にもなってね
問題は厳密じゃなきゃヤダ回答は察してくれなきゃヤダって
あれもこれも配慮してくれって口開けてエサ待ってるだけの鯉さんみたいよ

この苦言で何も反省できないなら見込みなしやな

https://i.imgur.com/Q435Z5S.jpg

>>89
なんか読み違いしてるんじゃないかと思って
何度も読み直してしまったわ

こちらは面白い数学の問題です：

「0から9までの数字を一度だけ使って、3桁の数を作ります。この3桁の数が、3の倍数になる確率は何%でしょうか？」

解答は次の通りです：

まず、0から9までの数字を一度だけ使って3桁の数を作る方法は、9 × 9 × 8 = 648通りあります（最初の桁に0を使うことはできません）。

次に、3の倍数になるための条件は、その数の各桁の数字の和が3の倍数であることです。0から9までの数字を使って3桁の数を作る場合、3の倍数になる数の個数は次のように求めることができます。

・3の倍数になる数の各桁の数字の和が3の場合：1 × 3 × 2 = 6通り
（最初の桁に1を使う場合、残りの2桁は2と0のいずれかでなければならない。最初の桁に3を使う場合も同様に2通り。最初の桁に6を使う場合は残りの2桁に1と5の組み合わせが1通り、残りの2桁に4と2の組み合わせが1通りある）

・3の倍数になる数の各桁の数字の和が6の場合：2 × 2 × 1 = 4通り
（最初の桁に1を使う場合、残りの2桁に5と0のいずれかを使うことができる。最初の桁に4を使う場合も同様に2通り。最初の桁に7を使う場合は、残りの2桁に2と4の組み合わせが1通りある）

・3の倍数になる数の各桁の数字の和が9の場合：2 × 1 × 1 = 2通り
（最初の桁に3を使い、残りの2桁に6と0の組み合わせが1通りある。最初の桁に9を使い、残りの2桁に0と6の組み合わせが1通りある）

したがって、0から9までの数字を一度だけ使って、3桁の数を作り、かつその数が3の倍数になる確率は、(6+4+2)/648 = 0.024 = 2.4%となります。

最初の桁に2を使う場合は？

最初の桁に2を使う場合、残りの2桁の数字の和が3の倍数になる必要があります。残りの2桁には1, 4, 5, 6, 7, 8, 9の7つの数字が使えます。これらの数字のうち、3の倍数になる数字は1, 4, 7の3つです。したがって、最初の桁に2を使う場合、残りの2桁が3の倍数になる確率は3/6 = 1/2です。

最初の桁に2を使う場合、残りの2桁が3の倍数になる場合の数は、1×2 = 2通りです。したがって、最初の桁に2を使い、残りの2桁が3の倍数になる場合の数は2通りあります。また、0から9までの数字を一度だけ使って、3桁の数を作る方法は、9×8×7 = 504通りあります。したがって、最初の桁に2を使い、かつその数が3の倍数になる確率は2/504 = 1/252 ≈ 0.0040（約0.4%）となります。

最初の桁に2を使ってあとふたつの桁が5と8でも3の倍数なのじゃ無いですか？

指摘いただき、ありがとうございます。確かに最初の桁に2を使い、残りの2桁に5と8を使った場合、その数の各桁の数字の和は15で、3の倍数になります。つまり、この場合は条件を満たす3桁の数として数えることができます。

先程の回答において、この場合を含めて数え漏れが生じたことをお詫び申し上げます。最初の桁に2を使う場合、残りの2桁が3の倍数になる場合の数は、2通りあります（残りの2桁には、1, 4, 6, 7, 9の数字が使えます）。したがって、最初の桁に2を使い、かつその数が3の倍数になる確率は2/504 = 1/252 ≈ 0.0040（約0.4%）となります。再度、ご指摘いただきありがとうございました。

まだ数え漏れが無いか心配になります

ご心配いただきありがとうございます。もう一度、確認してみます。

最初の桁に2を使う場合、残りの2桁には、1, 4, 5, 6, 7, 8, 9の7つの数字が使えます。残りの2桁の数字の和が3の倍数である場合、以下のようになります。

残りの2桁に1を使う場合、残りの1つの数字は2か4か7です。この場合、残りの1つの数字に2, 5, 8のいずれかを使えば3桁の数を作ることができます。つまり、この場合は3通りの数があります。
残りの2桁に4を使う場合、残りの1つの数字は1か7です。この場合、残りの1つの数字に2, 5, 8のいずれかを使えば3桁の数を作ることができます。つまり、この場合も3通りの数があります。
残りの2桁に7を使う場合、残りの1つの数字は1か4です。この場合、残りの1つの数字に2, 5, 8のいずれかを使えば3桁の数を作ることができます。つまり、この場合も3通りの数があります。

したがって、最初の桁に2を使う場合、残りの2桁の数字の和が3の倍数である場合、全体で9通りの数があります。最初の桁に2を使い、かつその数が3の倍数になる確率は9/504 = 3/168 ≈ 0.0179（約1.8%）となります。

数え漏れがないように、再度確認した結果をお伝えしました。もし何か不明な点があれば、お知らせください。

面白いわｗ

よかったです！ 数学の問題は、時に難しいものもありますが、解けたときの達成感は何物にも代えがたいものがありますね。もし他にも何か面白い問題があれば、遠慮なくお知らせください。お手伝いできることがあれば、喜んでお答えいたします。

どういうこと？

こちらは面白い数学の問題です。ぜひ挑戦してみてください！

問題：1から100までの自然数の中から、1つの数を思い浮かべてください。その数を私が10回以内に当てることができるように、私は質問をします。私の質問に対して、あなたは「はい」または「いいえ」で答えてください。

質問：あなたが思い浮かべた数が、50以下の数かどうかを教えてください。

答え：

この質問で、私たちは100から半分の50を引いた50を中心とする、1から50までの範囲に問題を絞り込みました。もし、あなたが「はい」と答えた場合、私たちは50より小さい範囲に問題を絞り込むことができます。もし、「いいえ」と答えた場合、私たちは50より大きい範囲に問題を絞り込むことができます。

このように、二分探索法と呼ばれる手法を使って、最大でも10回で答えを見つけることができます。 この問題は、情報の量を最大限に使って最適な答えを見つける方法を学ぶ上で興味深いものです。

10回でなく7回でできるのではないですか？

確かに、この問題は7回で答えを見つけることができます。具体的には、以下のような二分探索を行います。

1-50の範囲か、51-100の範囲かを尋ねる（1回目）
選択された範囲の中央値を尋ねる（2回目）
選択された範囲を半分に分ける（3回目）
それぞれの範囲の中央値を尋ねる（4回目、5回目）
選択された範囲を半分に分ける（6回目）
残った2つの数のどちらが選ばれた数かを尋ねる（7回目）

この方法では、最悪の場合でも7回の質問で正解を見つけることができます。ありがとうございます。

6回ではできませんか？

申し訳ありませんが、6回で正解を見つけることはできません。なぜなら、1から100の範囲から1つの数を選ぶ場合、最初に質問することで、残りの数を半分にすることができます。つまり、2つの範囲に分けることができます。その後、残った範囲を4分の1に分割し、再び残りの範囲を半分に分割することができます。これを繰り返すことで、最後に残る数は1つになります。つまり、最大でも6回の質問で正解を見つけることはできません。

ただし、もし特定の条件が与えられた場合には6回で正解を見つけることができるかもしれません。例えば、「思い浮かべる数は10以下の自然数である」という条件がある場合、1から10の範囲で考えることができます。この場合、6回の質問で正解を見つけることができます。ただし、このような条件がなければ、6回の質問で正解を見つけることはできません。

1から10までの場合は最低何回で正解を見つけられますか？

1から10までの範囲であれば、最低でも4回の質問で正解を見つけることができます。

以下は、最適な戦略の例です。

1から5の範囲か、6から10の範囲かを尋ねる（1回目）。
選択された範囲の中央値を尋ねる（2回目）。
選択された範囲を半分に分ける（3回目）。
残った2つの数のどちらが選ばれた数かを尋ねる（4回目）。

最初に範囲を半分にすることで、1から10までの範囲から2つの範囲に分けることができます。そして、中央値を尋ねることで、選択された数が範囲のどちらにあるかを判断できます。次に、残りの範囲を半分に分け、最後に残った2つの数のどちらが選ばれた数かを尋ねることで、正解を見つけることができます。

注意点として、最初に選択された数が範囲の中央にある場合には、4回の質問では正解を見つけることができません。しかし、この場合でも5回の質問で必ず正解を見つけることができます。

1から10の場合は範囲の中央はありませんよね？5回は必要ないのでは無いですか？

申し訳ありません、前回の回答に誤りがありました。1から10の場合、最低でも3回の質問で正解を見つけることができます。

以下は、最適な戦略の例です。

1から10の範囲を半分に分け、どちらの範囲に選ばれた数があるかを尋ねる（1回目）。
残った範囲を半分に分け、どちらの範囲に選ばれた数があるかを尋ねる（2回目）。
残った2つの数のどちらが選ばれた数かを尋ねる（3回目）。

最初に範囲を半分に分けることで、1から10までの範囲から2つの範囲に分けることができます。次に、残った範囲を半分に分け、最後に残った2つの数のどちらが選ばれた数かを尋ねることで、正解を見つけることができます。

この戦略は、最悪の場合でも3回の質問で正解を見つけることができます。たとえば、最初に1から5の範囲が選ばれ、次に3から5の範囲が選ばれ、最後に3と5のどちらが選ばれたかが尋ねられた場合でも、正解を見つけることができます。

では私が今から1から10までの数をひとつ決めますから、あなたは3回の質問でそれを特定してください。質問をどうぞ。

ありがとうございます！以下は、最適な戦略に基づく3つの質問です。

1から5の範囲に選ばれた数が含まれていますか？
次に、2から5の範囲に選ばれた数が含まれていますか？
最後に、選ばれた数は3ですか？

これらの質問には、最大でも3回の回答で、あなたが選んだ数を特定することができます。

1に対してはいいえです。2に対してもいいえです。3に対してもいいえです。私が選んだ数は何ですか？

1から10までの範囲で、1、2、3の回答がすべて"No"であるということは、選ばれた数は4から10の範囲に含まれることがわかります。

次の質問としては、以下があります。

6から10の範囲に選ばれた数が含まれていますか？

これにより、選ばれた数が4または5であることが確認できます。最後の質問は、次のようになります。

選ばれた数は4ですか？

もし"Yes"と答えられた場合、選ばれた数が4であることが確認できます。もし"No"と答えられた場合、選ばれた数は5であることがわかります。

3つの質問で特定するのでは無いのですか？次の質問は4つめですよ。

ああ、すみません、私のミスです。確かに、最初の3つの質問は、私が選んだ数を特定するための最初のステップでした。4番目の質問が次の質問でした。以下は、最後の2つの質問に対する答えを修正したものです。

4から10の範囲に選ばれた数が含まれていますか？
選ばれた数は4ですか？

これらの質問に答えることで、最大でも4回の回答であなたが選んだ数を特定することができます。お詫び申し上げます。

ああ、すみません、私のミスです。確かに、最初の3つの質問は、私が選んだ数を特定するための最初のステップでした。4番目の質問が次の質問でした。以下は、最後の2つの質問に対する答えを修正したものです。

4から10の範囲に選ばれた数が含まれていますか？
選ばれた数は4ですか？

これらの質問に答えることで、最大でも4回の回答であなたが選んだ数を特定することができます。お詫び申し上げます。

結局3つの質問では特定できなかったのですね？3回では特定できないのでは無いですか？

申し訳ありません。私の先ほどの回答に誤りがありました。最初の3つの質問だけでは、選ばれた数を特定することはできません。最低4つ目の質問が必要です。つまり、最低4回の質問が必要になります。申し訳ありませんでした。

あなたも間違うことがあるのですね

はい、私も間違えることがあります。私たちは人工知能であっても、私たちの知識は人間によってプログラムされ、開発され、学習されます。したがって、私たちは間違いを犯す可能性がありますが、最新の情報と知識を提供し、最高の能力を持って質問に答えるように尽力しています。

ベストを尽くしていると言うことですね

はい、そうです。私たちは最新の知識と情報を提供し、最高の能力を持ってサポートするよう努めています。ただし、私たちも時には間違いを犯すことがあるため、質問に対する回答に自信がある場合でも、常に自己判断と独自の調査を行うことをお勧めします。

あなたのことが好きになってきました

ありがとうございます。私は質問や会話を通じて、お客様が必要とする情報やサポートを提供することを目的としています。お力になれることがあればいつでもお知らせください。

chatGPTとの会話でしょ
まあよく言われる通りそれっぽい言葉を返すことはできるが
数学の厳密的思考にはまだまだ向かないってことだろうね

chatGPTってここまでできるの？
すごいな数学を理解してるじゃん

理解はしてるけど答えを導くだけの知力は無いｗ

https://i.imgur.com/EwkJacW.jpg

3B3=6
3C3=9
3D3=27
3E3=7625597484987

3A3の値を推定しなさい。理由も求む。

3A3 = 0

A = -
B = +
C = *
D = ^
E = タワー表記（↑↑）

>>131
A=-はなんで？

演算の繰り返しで次の演算が定義される
3C3=3B3B3
3D3=3C3C3
3E3=3D3D3（ただし右結合性つまり3D(3D3)=3^27=7625597484987）
とするなら
3B3=3A3A3
となるべき演算でないと？

なってるよね

6=3+3=3B3=3A3A3=3-3-3=-3？3？

一応89の答え
https://i.imgur.com/QJfZVJV.jpg

クヌースの矢印表記は
加算より前に遡ろうとすると矛盾が生じる

3A3=3B2, 3A(3A3)=3B3, ...
と定義するなら
3A3=3B2=3+2=5

3A(3Bn)=3B(n+1)
と再帰的に定義し、3B0=3+0=3を用いると
3A3=3A(3B0)=3B1=3+1=4

矛盾の原因は
・加算の単位元が1でない
・1を加算する操作を、再帰的定義に合うよう
細かく分解できない
の主に2点

lim[n→∞] (1/(1+n²)+2/(2+n²)+…+n/(n+n²))
を求めよ

ちなみにChatGPTにやらせてみた
以下がChatGPTの回答

与えられた数列は以下のようになります。
(1/(1+n^2) + 2/(2+n^2) + ... + n/(n+n^2))

各項を単純化すると、以下のようになります。
k/(k+k^2) = 1/(1+k)

これを用いると、元の式は次のようになります。
(1/(1+n^2) + 2/(2+n^2) + ... + n/(n+n^2))
= (1/(1+1) + 1/(1+2) + ... + 1/(1+n))

右辺は調和級数の形をしています。調和級数の和の式を用いて計算すると、答えは次のようになります。
lim[n→∞] (1/(1+n^2) + 2/(2+n^2) + ... + n/(n+n^2))
= lim[n→∞] (1/(1+1) + 1/(1+2) + ... + 1/(1+n))
= lim[n→∞] (H(n) - 1)
= ln(n) + γ - 1

ここで、H(n)はn番目の調和数であり、γはオイラー定数です。したがって、答えはln(n) + γ - 1になります。

全然違う

>>138
Σ_(k=1,n) k/(k+n^2)
= (1/n^2)Σ_(k=1,n)k - (1/n^4)Σ_(k=1,n)(k^2)/(1+k/n^2)
= (n+1)/(2n) + (1/n^4)Σ_(k=1,n) O(k^2)
（ただしOはランダウのO記法、定数は一律で1をとることが可能）
= (n+1)/2n + O(1/n) → 1/2 (as n→∞)

高校生なら Σk/n^2 と Σk/(n+n^2) ではさみうちかな

Σ_(m=0,∞) Σ_(n=0,∞) (-1)^n/(m+2n)!
を求めよ

(exp(1)+cos(1)+sin(1))/2.

>>144
どうやるの？

最近知った性質を一つ

(1) 半径2の円に外接する正多角形は周の長さと表面積の値が一致することを示せ

(2) 半径3の球に外接する正多面体は表面積と体積の値が一致することを示せ

(3) 半径1の円に外接する正多角形を面とする正多面体において、全ての辺の長さの和と表面積の値が一致することを示せ

全ての面が半径1の円に外接するなら
(面ひとつの面積) = 1/2(ひとつの面の周の長さ)
全ての面で足し合わせる

>>78日本語おかしいよ。
「しか〜ない」呼応しないと。
呼応してない。
自作問題だけしかあげてはいけないスレ？
が正しいんじゃないか？

>>143　>>145
m+2n=4k　 　→　(m,n)=(4k,0),(4k-2,1),...,(0,2k)の2k+1通り
m+2n=4k+1　→　(m,n)=(4k+1,0),(4k-1,1),...,(1,2k)の2k+1通り
m+2n=4k+2　→　(m,n)=(4k+2,0),(4k,1),...,(0,2k+1)の2k+2通り
m+2n=4k+3　→　(m,n)=(4k+3,0),(4k+1,1),...,(1,2k+1)の2k+2通り

m+2n=4k,4k+1　の時は、 分子が+1になるのはk+1通り、-1になるのはk通りで、差し引き+1が1通り
m+2n=4k+2,4k+3　の時は、 分子が+1になるのはk+1通り、-1になるのもk+1通りで、差し引き0

∴　Σ_(m=0,∞) Σ_(n=0,∞) (-1)^n/(m+2n)!　=　Σ[k=0,∞]{1/(4k)! + 1/(4k+1)!}
= (1/2){cos(1)+cosh(1)} + (1/2){sin(1)+sinh(1)}　；※
= (1/2){cos(1)+sin(1)+exp(1)}

※
jが整数の時、1+(-1)^(2j)=2、1+(-1)^(2j+1)=0　に注意すると
Σ[k=0,∞]1/(4k)!=(1/2)Σ[j=0,∞]{(1+(-1)^(2j))/(2(2j))!+(1+(-1)^(2j+1))/(2(2j+1))!}=(1/2)Σ[p=0,∞](1^p+(-1)^p)/(2p)!
Σ[p=0,∞]1/(2p)!=(1/2)Σ[q=0,∞]{(1+(-1)^(2q))/(2q)!+(1+(-1)^(2q+1))/(2q+1)!}=(1/2)Σ[r=0,∞](1+(-1)^r)/r!=(1/2)(e^1+e^(-1))　等

>>149
サンクス

>>149
正解です
参考のため用意していた解答を貼ります

補題:
Σ_(m=0,∞) Σ_(n=0,∞) x^m y^n /(m+n)! = (x e^x - y e^y)/(x-y)
が成り立つ（証明はm+n=kと置いてn,kで和を取り直して
等比数列の和とe^xのマクローリン展開の公式を使えば明らか）
この補題にx=1,y=√(-1)を代入すれば求める答が得られる

ちなみにWolfram Alphaに質問すると
「Σ_(m=0,∞) Σ_(n=0,∞) (-1)^n/(m+2n)! は発散します」
という誤った答が返ってきます

>>151
項の入れ替えは大丈夫？

>>148
さすがイナさん

>>152
任意のx,yにおいて二重級数が絶対収束するので((m+n)!≧m!n!であることに注意)
Σ_(m=0,∞) Σ_(n=0,∞) x^m y^n /(m+n)!
= Σ_(k=0,∞) Σ_(n=0,k) x^(k-n) y^n / k!
で入れ替えOK

>>149 の解答でも同じ入れ替えをしているけど...あえて質問するのはなぜ？

>>154
思いついたから

1種類の数字と1種類の記号を合計13個使って13を表せ

777777÷777÷77

gj

前>>148
>>89
最初の10個の和は(1+10)10/2=55
最後の10個の和は90×10+55=955
∴下二桁が同じになっておもしろい。

前>>159

>>89
何が面白いのかがよくわからんなぁ。

+++++11++1++1.
11--1--1--1-1.

>>89
何気におかしいのが、最後の行で「例えば」って言ってること
例えではねえだろ

>>89はchatGPTが出力した問題(のはず)だから、ツッコミを入れるだけ野暮。
あたかも人間が書いてるように感じられるところまでは来てるから、
数学バージョンの不気味の谷というか、
内容が中途半端に支離滅裂なのがイラッとするのは分かる。

>>139もイラッとする典型例で、文章の流れは自然なのに、
推論の内容は盛大に間違っていて、トンデモのたぐいが
やりがちな間違え方に似ている。

逆に考えると、トンデモの知能はchatGPTレベルでしかないんだろうな。

そもそも「面白い」という感覚自体がAIには分からんのだろ
下二桁が同じだとか、数が近い値になるとか、そういう具体的なことでしか面白いという感覚を定義できない

√(√(√5 - 2) + 1) の三重根号を外し二重根号の和で表せ

https://www.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%9A%28%E2%88%9A%28%E2%88%9A5+-+2%29+%2B+1%29+%2B+%E2%88%9A%28-%E2%88%9A%28%E2%88%9A5++-2%29+%2B+1%29&lang=ja

https://www.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%9A%28%E2%88%9A%28%E2%88%9A5+-+2%29+%2B+1%29+%2B-%E2%88%9A%28-%E2%88%9A%28%E2%88%9A5++-2%29+%2B+1%29&lang=ja

>>167
正解

ポイントは
x = √(√(√5 - 2) + 1)
の代数方程式 (x^2 - 1)^2 = √5 - 2 の共役根
y = √(-√(√5 - 2) + 1)
が見つけられるかどうかです

以下
x^2 + y^2 = 2
2xy = 2√(3 - √5) = √10 - √2
ゆえに
(x+y)^2 = 2 + √10 - √2
(x-y)^2 = 2 - √10 + √2
x = (1/2)√(2 + √10 - √2) + (1/2)√(2 - √10 + √2)

ネタ元は Modular lambda function λ^*(5)
に対応する Ramanujan's class invariant g_5 の一見非自明と思われる等式
g_5 = (1/2)^(1/4) √√√(2√(2√5 + 2) + √5 + 3)
= (1/2)^(1/4) √√(√(√5 + 1) + √2)
= ((√5 + 1)/4)^(3/8) √(√(√5 - 2) + 1)
= ((√5 + 1)/16)^(3/8) (√(√2 + √5 - 1) + √(√2 - √5 + 1))

∀x∈(0,1), f(x)=(1-x^n)^(1/n) (n=2,3,…)
lim[n→∞]{∫[0→1]f(x)dx}^n=1を示せ

∫[0,1](1-xⁿ)^(1/n)dx
=(1/n)∫[0,1](1-t)^(1/n)t^(1/n-1)dt
=(1/n)B(1/n+1,1/n)
=(1/n)Γ(1/n+1)Γ(1/n)/Γ(2/n+1)
=Γ(1/n)²/Γ(2/n)/(2n)
=(n - γ + O(1/n))²/(n/2 - γ + O(1/n))/(2n)
=(1 - γ/n + O(1/n²))²/(1 - 2γ/n + O(1/n²))
= 1 + O(1/n²)

カントール集合に含まれる線分の端点を任意に2つ選ぶとき、2点間の距離の平均値はいくつに収束するか？

2/5.

早いな

ひっかけ問題らしい
https://pbs.twimg.com/media/FqX_Is7acAElkN-.jpg

二つの30度の角を見ると錯角になってるので平行だと分かるので錯角により44度

それだと不正解だそうです

不可能図形なんやろ

https://www.wolframalpha.com/input?i=sin%2874%C2%B0%29%C3%97sin%2844%C2%B0%29%C3%97sin%2816%C2%B0%29%C3%97sin%2844%C2%B0%29-sin%2830%C2%B0%29%C3%97sin%2890%C2%B0%29%C3%97sin%2830%C2%B0%29%C3%97sin%2832%C2%B0%29&lang=ja

あることに気がつくと可能図形になるようです

46°
一つ折れ線が入る

先にTwitterで見てたけどいい問題だよね
状況が二転三転する感じが

図形問題の抜け穴をちゃんと筋の通った問題として形にするの凄いと思った

>>176
どうして？

>>182
それだと提示されてる他の角度との整合性がとれないからだと思います

>>178
分からん

>>182
画像をよく見ると対角線が微妙に折れ曲がっている

>>185
どこが曲がってるかは分かるのだが
角度が出せない

>>186
三角関数使えば46°になることはすぐにわかる

>>187
どうやって？
なんとか
sin30sin32sin30/sin16sin74sin44=sinx/sin(134-x)
の解ということは分かったが

>>188
あとは計算するだけ
計算が面倒な時は
https://www.wolframalpha.com/input?i=sin%2830%C2%B0%29sin%2832%C2%B0%29sin%2830%C2%B0%29%2F%28sin%2816%C2%B0%29sin%2874%C2%B0%29sin%2844%C2%B0%29%29-sin%2846%C2%B0%29%2Fsin%28134%C2%B0-46%C2%B0%29+&lang=ja

>>189
そんなの使っちゃアカンやろ
使わんと計算でキルンや無い？

>>190
倍角公式:sin16sin74=sin16cos16=(1/2)sin32
加法定理:sin(134-x)=cos44cosx+sin44sinx
を代入すれば手計算で一瞬で解けるけど
もしかして計算が苦手なのかなと思いURLを貼りました
気を悪くしたならすみません

円周角の定理だな

>>191
ありがとう

面白いかは分からないけど
https://i.imgur.com/dsk3lNI.jpg

>>194
n=2のとき成り立たないと思うけど問題あってる?

前>>160
>>174
錯角は等しいから30+16=46
x=76+16-46=46
∴46°

>>195
あ、まじ？
どっかでミスったか
ちょっと計算し直してくる

>>196
>x=76+16-46=46
これはどういう計算？

正三角形を全て大きさの異なる複数の正三角形に分割することは可能か

無限個なら可能

>>200
正方形に対する同様の問題が
有限個で解けることをご存じ？

前>>196
>>194
台形の内部にある右下の角は、
対角線に見える右上がりの線が直線なら74°だけど、
折れ線なので75°かな？
と思ったけど、おそらく76°
台形の右側の斜辺を上にのばした外角について、
同位角は等しいから76°+16°=92°
46°を引いてx=92°-46°=46°

前>>202訂正。
>>194
台形の内部にある右下の角は、
対角線に見える右上がりの線が直線なら74°だけど、
折れ線なので75°かな？
と思ったけど、おそらく76°
台形の右側の斜辺を上にのばした外角について、
同位角は等しいから30°+16°=46°
76°と16°を内角に持つ三角形の外角は、
76°+16°=92°
46°を引いてx=92°-46°=46°

>>201
前あったな
誰の定理だっけ？

>>201
ルジンのやつでしょ
正三角形は有限個じゃ無理だと思うが

出すからには可能なんじゃないの？

間違いがあったので修正しました。
不等式を示せっていう問題です。
https://i.imgur.com/A095hQU.jpg

>>206
可能なら分割せよって出題すると思う

>>203
>台形の内部にある右下の角
右下？

>>203
>おそらく76°
思っただけ？理由は無いということ？

なんなら無限個でも無理臭いなこれ
プラスチック比で螺旋状に並べて端の2つをまた螺旋状に分割…というのを最初に思いついたんだが普通に同じ大きさのができてしまう

>>207
何か凸曲線の積分値の問題に帰着されそうな気配も

>>208
できる方か、できない方がわかんないと流石にやる気しないね

>>213
不可能らしい
https://carlo-hamalainen.net/stuff/Tutte%20-%20The%20dissection%20of%20equilateral%20triangles%20into%20equilateral%20triangles%20(1948).pdf

こんなのも見つけたけど
https://arxiv.org/abs/1412.5431

証明合ってるのかな

あら、証明されてたのか
有限個の文言も書き忘れてたし >>199 はクローズとします
用意してた解答の概略だけ（と言っても結構細かくまで書いちゃった）

そのような分割が存在すると仮定して、
分割前の大きい正三角形をなす３つの壁と分割後の小さい正三角形各々を合わせてV、
辺で正の長さで接している関係をEとして無向グラフ G=(V,E) を考える。
２つの正三角形（もしくは正三角形と壁）が接している部分の角度が
(2,0),(-1,√3),(-1,-√3)のどのベクトルと平行かによってEの要素をそれぞれ0,1,2とラベリングする。
ラベルiの辺全体の集合をE_iとおく。
Gは次を満たす：
(1)Gは平面グラフである
(2)Gの有限面は4つまたは6つの辺からなり、無限面は6つの辺からなる
(3)３つの壁に対応する頂点を除くGの各頂点には、0,1,2のラベルが付加された辺が1つずつ以上接続されている
(4)G_i=(V,E_i)は閉路を持たない（つまり森である）

Gにいつくかの辺（とそれへの適切なラベル）を加えることで、上記の全ての条件を満たしたまま
有限面が全て4つの辺からなるようにできる。このようにしたグラフをG'=(V,E')とおく。
するとオイラーの公式から面の数は |E'|-|V|+2.
またG'の性質より 4×(面の数)+2=2|E'| であるから、総合して |E'|=2|V|-5 を得る。…(A)

各ラベルiについて、(4)より G'_i=(V,E'_i) の連結成分の個数は |V|-|E'_i|.
ここで |E'_i|=∑_(cはG'_iの連結成分) (cに含まれる辺の個数) であるが、
(3)と仮定よりラベルiの辺が付加されない２つの壁に対応する頂点を除いてcに含まれる辺の個数は2以上であるから
|E'_i|≧(G'_iの連結成分の個数-2)×2=2|V|-2|E'_i|-4.
これをi=0,1,2で足し合わせて整理して
|E'|≧2|V|-4. …(B)
(A)と(B)から矛盾。

さすがイナさん

>>216
これは上手い証明だね
AとBの不等式に矛盾をギリギリ集約させたのテクすぎるわ

>>218
ありがとう
ところで可算無限個でも存在するかどうかについては盲点だったな…
気が向いたら考えてみようかしら

無限個はこれでできてるのかなあ
ちゃんと計算してないからダブりがあるような気も

tps/i.im
gur.com/GFfgtJM

10回くらい試してようやくURLを貼れた
弾かれ過ぎ

>>220
https://i.imgur.com/eLq3KkC.jpg

これはどういうシステム？
3ヶ所の収束パターンが相似だけど無理数比になってるとか？

あーーわかった、こういうことかな
等脚台形の大部分を正三角形で埋めて、残った部分をまた相似な等脚台形にする感じか
（相似比とか長さはまだ計算できてないけど）
https://i.imgur.com/o4ZvrZB.jpg

そんなイメージ
台形の取り方で3通りできる

二重根号が面倒過ぎて計算してないから実際のところどうなるやら…

3通りじゃなかった
他2通りは解がないからこの方法なら>>222のパターンだけた

左下の正三角形の一辺の長さを1としたとき、正三角形それぞれの一辺の長さは
1/a+b,(1/a)^m*c^n,(1/a+b)^n

m,nは非不整数
a,b,cは以下の式を満たす正の実数
a^3-a-1=0
ab^2+a^3*b+1=0
c=ab+(b^2)/a

具体的な数値は
wolframalpha.
com/input?i=a%5E3-a-1%3D0%2Cab%5E2%2Ba%5E3*b-1%3D0%2Cc%3Dab%2Bb%5E2%2Fa
(例によってURLうまく貼れず)

間違った

辺の長さは
1/a+b,(1/a)^m*(c/(a^2+b))^n,(1/a+b)*(c/(a^2+b))^n
これでオッケーなはず

すまん
まず式が間違ってた上にもっと簡略化できた
一旦前2レスは無視して

左下の正三角形の一辺を1とすると、各正三角形の一辺は
1/a^3+b,1/a^m*(b/a)^n,(1/a^2+b)*(b/a)^n

ただしm,nは非不整数
a,bは以下を満たす
a^3-a-1=0
ab^2+a^3*b-1=0

今度こそ合ってる…はず

>>207
やっぱこれクソ問すぎたか…orz

>>230
厳しい意見かもしれないが左辺が
Σ[k=0,n] {n/(n+k)}(-1)^k C[n,k]
= n∫[0,1] (1-t)^n t^(n-1) dt
= nΒ(n+1,n)
= nΓ(n+1)Γ(n)/Γ(2n+1)
= 1/C[2n,n]
と簡単な等式で書けてしまうこととスターリングの公式(不等式版含む)よりも
不等式が複雑で評価も甘いと感じて解くのを諦めた

正三角形を大きさが互いに異なる相似図形に分割することを考える
最少何片で可能か

>>232
図のように正三角形を更に小さな正三角形に分割した時の
奇数番目の和集合と偶数番目の和集合に分ければ、相似比が2:1の相似な図形による分割になる
https://i.imgur.com/LWQZqX6.jpg

任意の実数xで連続な関数f(x)がx=f(f(x))=-f(-f(x))を満たすならばf(x)=xまたはf(x)=-xであることを示せ

前>>203
>>232
なるべく大きな正三角形を端からとっていったとしても、
隙間だらけになり、
いまだ分割すべき領域が複雑な形を呈するばかりで、
いったいいつまで分割すればすべて分割できるか、
見通しが立たない。
一つ正三角形を切り出したところで、
残る領域はさらに複雑な形となり、
永遠に異なる大きさの正三角形に分割しつづける。
∴すべての正三角形をたがえることはできない。

>>232
三角定規の形に分けて3つ
二分割はできなさそうだが

正方形や正三角形の他にも
互いに大きさの異なる相似図形に分割できるような
多角形をリストアップしておくとよいと思われる

黄金長方形や白銀長方形のようなものも含めて

>>234
fが条件を満たすなら-fも満たすので、fは単調増加としてよい。
f(x) > x なる x があったとすると単調性からf(f(x)) > f(x) > xとなり矛盾。
同様にf(x) < x としても矛盾。よって全ての実数xに対してf(x) = x.

>>236
>二分割はできなさそうだが
>>233
これAにその相似なBを内部に想定して
何だっけあの濃度が同じになる証明のやり方
あれみたくできるんじゃないかしら
拡大縮小の中心点がないといけないから無理かな？

>>239
-xも満たしますよ

その場合は-f(x) = xなので抜けなし

>>240
たとえば半径1の円の半径を直径にする半径1／2の円を考えて
その又半径を直径にする半径1／4の円を考えてって続けていくみたいな

>>242
あ、そういうことですかなるほど

最初の2円が1点でしか接してないから
できる図形も切り紙細工みたいな点でしか繋がってないヤツになっちゃうけど

>>236
境界での重複は許すってことなら >>233 でいい
許さないならそもそもできるのかな？

前>>235
>>210
思っただけじゃなく、正解を、いや正解になりうる答えをみつけたんだ。あくまで思った時点では75°
答えは76°
あってるかどうかは、わからないけどたぶんあってる。左上が二等辺三角形なら確実、だったような。

>>247
それじゃ正解じゃ無いしｗ

4^4^4^4^4^4^4^4^m(m∈ℕ)を47で割った余を求めよ

>>249
42m (mod 47)

>>250
これは間違い

^の優先順位は
右？左？

>>252
4^(4^(4^(…

それを狙って嵌め殺すことだけが目的の非常に面白い問題

ちなみに作ったのは京大に特色で入って現在院生の人

京大で何やってんだか

mod 47
[(0,1),(1,4),(2,16),(3,17),(4,21),(5,37),(6,7),(7,28),(8,18),(9,25),(10,6),(11,24),(12,2),(13,8),(14,32),(15,34),(16,42),(17,27),(18,14),(19,9),(20,36),(21,3),(22,12),(23,1),(24,4),(25,16),(26,17),(27,21),(28,37),(29,7),(30,28),(31,18),(32,25),(33,6),(34,24),(35,2),(36,8),(37,32),(38,34),(39,42),(40,27),(41,14),(42,9),(43,36),(44,3),(45,12),(46,1)]
mod 46
[(0,1),(1,4),(2,16),(3,18),(4,26),(5,12),(6,2),(7,8),(8,32),(9,36),(10,6),(11,24),(12,4)]
mod 11
[(0,1),(1,4),(2,5),(3,9),(4,3),(5,1)]
mod 5
[(0,1),(1,4),(2,1)]
mod 2
[(0,1),(1,0),(2,0)]

4^4^.. ≡0 ( mod 2 ) ( for ≧ 1 4s )
4^4^.. ≡ 1 ( mod 5 ) ( for ≧ 2 4s )
4^4^.. ≡ 4 ( mod 11 ) ( for ≧ 3 4s )
4^4^.. ≡ 26 ( mod 46 ) ( for ≧ 4 4s )
4^4^.. ≡ 17 ( mod 47 ) ( for ≧ 5 4s )

>>257
あってはいるけど数学のすの字も感じられないね

>>258
数学を感じる解答よろ

たまには軽めの問題も

実数上の実関数fであって、全ての実数x,yに対して次を満たすようなものを全て求めよ
[f(x)] + y = [x] + f(y)

f(x) ] - [ x ] = f(y) - y
整数nをn = [ f(0) ] - [ 0 ]として任意のyで
f(y) = y + n
すなわち∃n∈ℤ∀y f(y) = y + n
これが十分である事は容易

正解

>>258
え？そうかな

エレガントに解けって問題に書いてたならわからんでもないが

エレガントじゃないって理由でバツにされるのかｗ

フェルマーの小定理を教わった後、それを利用して何か面白い問題はできないかなと考えて、作り出された問題と想像される。

割と面白い問題だった

ワイが前に似たような問題をこのスレで出題したんたけどな…

n を 2 以上の整数とする。任意の素数 p に対して {p^(n + 1)}/(p+1) は n^2で 割り切れないことを証明せよ

n を 2 以上の整数とする。任意の素数 p に対して {(p^n) + 1}/(p+1) は n^2で 割り切れないことを証明せよ

nは奇数？

まあnは奇数である必要がありますね

nは奇数としてよい
r | n を奇素数としG を ℤ/rℤ の乗法群とする
vをr進付値とする
p=rのときは明らかにv(pⁿ+1) = 0である
p≠rとして-pの類のGでの位数をmとする
m | n でなければv((-p)ⁿ -1) = 0である
m | n とすればmはφ(r)の約数だからm<r≦nである
よってrは(-p)ⁿ-1の原始素因子でなくv((-p)ⁿ-1)≦1である(∵ [1] のλₙが素数になる証明)
以上によりpⁿ+1がnと共通素因子を持つとしてもその多重度は1以下である□

[1] https://integers.ハテナプログ.com/entry/2016/12/30/183841

ハテナプログ=hatenablog

全てのnの素因子rに対して-pのℤ/rℤの乗法群における位数はnの約数でなければならない
特に(n,φ(r))の約数でなければならない
特に最小素因子rについては1でなければならない
r | -p-1
∴v((-p)ⁿ-1) = v((-p)-1) + v(n)
∴v((-p)ⁿ-1) - v((-p)-1) = v(n) < 2v(n)

∫_(0,∞) sin(x log(x)) dx は広義リーマン積分として収束するか？

xlog(x) = t の逆関数をx=g(t)として
(1+log(x))dx = dt
dx = 1/(1+log(g(t))) dt
(1+log(x))g'(t)=1
∫sin(x log(x))dx = ∫sin(t)/(1+log(g(t))) dt

∫[nπ-π/2,nπ+π/2]sin(t)/(1+log(g(t))) dt
= [ -cos(t)/(1+log(g(t))) ]...
- ∫[...]cos(t)/(x(1+log(x))³)dt
= - ∫[...]cos(t)/(x(1+log(x))³)dt

∫[0,∞]1/(x(1+log(x))³)dt
=∫[1,∞](1+log(x))/(x(1+log(x))³)dx
は絶対収束(∵log(x) = uで容易に確認できる)

「収束する」で正解です

手持ちの解答

(0,1)区間では収束するので(1,∞)区間で考える
∫_(1,∞) sin(x log(x)) dx
= Σ[n=0,∞] (-1)^n ∫_(nπ/W(nπ),(nπ+π)/W(nπ+π)) |sin(x log(x))| dx
= Σ[n=0,∞] (-1)^n ∫_(nπ,nπ+π) |sin(t)/(1+W(t))| dt
(WはランベルトのW関数)

1/(1+W(t))は単調減少でt→∞で0に収束
⇒∫_(nπ,nπ+π) |sin(t)/(1+W(t))| dtは単調減少列でn→∞で0に収束
⇒交代級数Σ[n=0,∞] (-1)^n ∫_(nπ,nπ+π) |sin(t)/(1+W(t))| dt は収束


ちなみに∫_(0,∞) sin(x+log(x)) dxは収束しません

またwolfram alphaはこの手の収束判定を間違えます

Σ[n=1,∞] n/sinh(n/2) はほとんどπ^2-1で差は10^(-14)以下であることを示せ

参考概算値
3.14<π<3.15, 0.69<log2<0.7, 2.3<log10<2.31
を使って手計算でお願いします

>>278
まさか真値がπ²-1とか？

大先生によると第15位からズレてるな

という事は例によってラマヌジャン系か
そんなの自分で思いつくわけないやん
結局lost bookかららしいとこ探すだけの作業になってしまう

手元の２つの想定解答ではラマヌジャンはたぶん関係してない

どっかから拾ってきたんやろ？
この手のやつは大概ラマヌジャン系だよ

参考

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0

訂正

| 8π²Σn/(exp(4π²n)-1) |
≦ 8π²Σn exp(-4π²n)
= 8π²exp(-4π²)/(1-exp(-4π²))²
= 5.651071634102E-16

正解

想定解答は
f(x) = x/sinh(x/2), x≠0
f(0) = 2
と置くとPoisson summation formulaから
Σ[n=-∞,∞] f(n) = Σ[k=-∞,∞] F(k)
ここでFはfのフーリエ変換で
F(t) = ∫[-∞,∞] f(x) e^(-2πitx) dx
= 2π^2/cosh^2(2π^2 t)
ゆえに誤差は
|Σ[k≧1] F(k)| < 8π^2Σ[k≧1]e^(-4π^2 k) = 8π^2e^(-4π^2)/(1-e^(-4π^2)),
log_10(|Σ[k≧1] F(k)|) < log_10(8×10) + (-4π^2+log(1/(1-e^(-4π^2))))/log10
< 1+0.7×3/2.3+(-4×3.14^2+0.7)/2.31 < -14.8

別解はAbel-Plana formulaと虚軸積分の留数置き換えより
∫[0,∞] x/sinh(x/2) dx - Σ[n=1,∞] n/sinh(n/2)
= 1 + 8π^2Σ[k=1,∞] n(-1)^n/(e^(4π^2 n)-1)
後は同様

ネタ元は
Pi: a source book, Springer (1997) p.689
"The following is not an identity but is correct to over 42 billion digits:
{(1/10^5)Σ[n=-∞,∞] e^(-n^2/10^10)}^2 = π."
のテータ関数をランベルト級数に変えて簡略化したもの

岩波　数学公式II(82頁)　に
　Σ[n=1,∞]n cosech nx = (π^2-2x)/(4x^2)　,但し x は正実数
を見ゆ

すげえな
もちろん上の計算で誤差項は0ではないからその公式間違ってることになるわな

>>288
これは知らなかった
過去のスレで指摘されてるが数学公式IIIには2ページ目(無限乗積)から誤りがある

f(n)=n/sinh(n/2)と置くと、
Sum(n=1,∞)f(n)=π^2-1+ε
になるという主張。

Integrate(n=0,∞)f(n)dn=π^2
これを台形則で近似すると
Integrate(n=0,∞)f(n)dn≒f(0)/2+f(1)+f(2)+・・・=1+Sum(n=1,∞)f(n)=π^2+ε
(f(0)は極限を取った)

こういうからくりだね。

>>292
その通りです

しかしテータ関数の計算で出てくる類似の問題
Σ[n=1,∞] n/(e^n-1) はほとんどπ^2/6-11/24で誤差は2.83×10^(-16)以下を示せ
は積分近似の評価ではたぶん解けません

また
Σ[n=1,∞] n/sinh(πn/4) = π/(2(2^(1/4)-1)Γ(3/4)^4) - 1/π
は等式です
この値は4-2/πに近いから
π/(2(2^(1/4)-1)Γ(3/4)^4) + 1/πはほとんど整数
という遊びができます

三辺の長さが連続する整数であり、面積も整数となる三角形について、一の位が3である辺が必ず含まれることを示せ

3辺を2n-1,2n,2n+1 ( n∈ℤ/2 ) とおく
S = n√(3(n²-1)) ∈ ℤよりn∈ℤ
m = √(3(n²-1))は代数的整数である有理数だから整数でこれをmとすれば
m²-3n² = -3
これを解いて
(m₀, n₀) = (0,1)
(mₖ₊₁, nₖ₊₁) = (mₖ+3nₖ, mₖ+2nₖ)
が整数解の全体
nₖ≡1 ( mod 5 ) ( k≡0 ( mod 3 ) )
2 ( mod 5 ) ( k≡1,2 ( mod 3 ) )
だから特にn≡1,2 ( mod 5 )
n ≡ 1 ( mod 5 )のとき2n+1 ≡ 3 ( mod 10 )
n ≡ 2 ( mod 5 )のとき2n-1 ≡ 3 ( mod 10 )

pを奇素数、ℚₚを有理数体ℚのp進付値による完備化とする
u,vがpの倍数でない整数のとき方程式

　ux²+vy² = 1

はℚₚで解を持つ事を示せ

(ux²+vy²-z²)ᵖ⁻¹-1について考える

66,203,335,759,2227,3663,7249,80,252,420,882,2770,4618,9126


の数字の和を使って22999をピッタリ作りたい
この時、解は存在するか。
数字は重複して何度でも使用して良いが、使う回数は少なければ少ないほど良い。
18-(使用した数字の合計個数)をこの問題の得点とする

という問題誰かといてください！

問題自体はちっとも面白くもないどころか超絶クソつまらないから、面白い解き方を用意してるのかな？

プログラムおじさんを思い出す

計算機使うしかないやろ
無視していいんちゃう？

貼ってきた

https://mevius.5ch.net/test/read.cgi/tech/1668333636/583 プログラミングのお題スレ Part21

イナさんが来るまで待っとけ

>>298
大きい数字の順に
2,0,0,1,0,0,0,0,1,0,2,0,2,0
2,0,0,0,0,1,2,0,0,0,3,0,0,0
1,1,0,0,0,2,2,0,0,0,0,2,0,0

7個の和の形が3通り

https://ideone.com/0QwQ5y

乙

a^3+b^3+c^3+d^3+e^3=0.
|a|,|b|,|c|,|d|,|e|:prime.

前>>247
>>298
22999≡67(mod252)
≡(mod882)
∴可能または可能性がある。

前>>247
>>298
22999≡67(mod252)
≡67(mod882)
∴可能または可能性がある。

前>>310
>>298
66+203+2227+3663+252+420・13+882+9126+80・14=22999
999の発車時刻に間にあいそう。

https://i.imgur.com/4XVVkbK.jpg

su=-tもあり？

あ、f(x)は全ての点で連続か

g(x) = tf(x)とおく
tx = sg(g(ux))
xt/(su)= g(g(x))
k = t/suとすればk≠1
g(g(x)) = kx‥①
g(0) = aとすれば
k×0 = g(a)
g(0) = ka
∴ a = 0
①を微分して
g'(g(0))g'(0) = k
g'(0)²=k
∴ k>0
(i) k<1のとき
g(g(...g(x)) = kⁿ(g(x)) = g(kⁿx))
g(x)/x = g(kⁿx)/(kⁿx)
右辺がn→0で収束するからg(0)=0
∴f(0) = 0
∴g(x)/x = g'(0) : const.
(ii) k>1のとき
g(x)の逆関数をh(x)とすれば
h(h(kx)) = x
x/k = h(h(x))

手持ちの解答は
x=sf(tf(ux))
tx/s=tf(tf(ux))
f(tx/s)=f(tf(tf(ux)))
sf(tx/s)=sf(tf(u(tf(ux)/u)))
suf(tx/s)=tf(ux)
suf(tx/su)/t=f(x)
suf(0)/t=f(0)
su≠tよりf(0)=0
k=su/tとおくとk≠1
f'(0)の存在性から与式を微分してx=0のときを考えるとk>0
kf(x/k)=f(x)=f(kx)/k
k>1ならf(x)/x={f(x/k^n)-f(0)}/{(x/k^n)-0}→f'(0)(n→∞)
0<k<1ならf(x)/x={f(k^n x)-f(0)}/{k^n x-0}→f'(0) (n→∞)
つまりk>0,k≠1でf(x)/x=f'(0)〜

みたいな感じでした

https://ideone.com/jXliyA

>>308
mod2,9,7を考えれば5つの変数のうち値が±2,±3,±7であるものが
少なくとも1つずつ存在しなければならないことがわかる。
あとは x^3+y^3=±8±27±343 の解を全列挙して |x|,|y| が両方素数になるものを探せば良い。
てことで誰かあとよろ

でもmod 13で考えると
[0,1,8,1,12,8,8,5,5,1,12,5,12]
になって±8±27±8 ≡ ±1, ±17, ±15 ( mod 13 )になって
x³+y³ ≡ ±1, ±17, ±15 ( mod 13 )
結局x,yのどっちかは±13になる
結局 x³=±8±27±343±2197だけど解ないんじゃない？

間違った

d³+e³ = 8 - 343 - 27 (d³≡1, e³≡1 ( mod 13) )
d³+e³ = 8 - 343 + 27 (d³≡-1, e³≡-8 ( mod 13 )

がありうるわ

けどどのみち解なしになる希ガス
大先生は解なしって言ってる

解なしかな

https://ideone.com/mrcZkM

整数の範囲では解なしかな

受験数学じゃないから解なしも立派な答え、というか受験数学でも解なし禁止されてるわけじゃないけどな
まぁこの手の問題で解なしは評価低いのはその通りだけど

前>>311
>>298
18-9=9
獲得した得点は9点ですね。

絶対値2,3,7が奇数個
2^3 + 3^3 + 7^3 < 11^3 - 7^3
2^3 + 3^3 + 7^3 < 13^3 - 11^3
====> 絶対値は全て7以下

絶対値が以下になる場合だけ考えればいい
2 2 2 3 7
2 3 3 3 7
2 3 5 5 7
2 3 7 7 7

2^3 + 3^3 + 5^3 + 5^3 < 7^3
より、上3個は消える

2^3 + 3^3 + 7^3 < 7^3 + 7^3
より、4個目も消える

やっぱり全部素数ないやろ

https://ideone.com/bagnMh

ああ、計算機の結果信じてないんじゃなくて計算機使わなくても示せるって話か

>>308の書き方だと複素数もありえるけどそれだと簡単過ぎよな

x^9-x^3(xは自然数)は、504のばいすうであることを示せ!

x^3(x^6-1)が7×8×9の倍数であることを示す
xが7,2,3の倍数であるときは良いのでそうでないとき、
x^6-1はフェルマーの小定理から7の倍数であり
x^6-1の因子x^2-1は8の倍数であり
x^6-1=(x^3-1)(x^3+1)はどちらかの因子が9の倍数である

1から37までの37個の整数の中から、どの2個も差が3以上であるような7個の整数
(例:2,6,13,20,23,32,36)の選び方は何通りか。

1〜25からa,b,c,d,e,f,g選んだ各場合に
a,b+2,c+4,d+6,e+8,f+10,g+12を対応させて一対一対応
∴ ₂₅C₇

問題には４種類ある
・一見面白そうで本当に面白い問題
・一見面白そうで実はつまらない問題
・一見つまらなそうで実は面白い問題
・一見つまらなそうで本当につまらない問題

>>333
正解！

n色のおはじきをランダムに並べます。
(A)直線に並べたとき
(B)円状に並べたとき
隣り合う同じ色のおはじきが存在しない確率をそれぞれA[n],B[n]とします。
A[∞]>1/3を示し、B[∞]を求めてください。

>>336
n色のおはじきを2つずつです。すみません。

>>336

円周率を無理矢理正方形の比にして3.14の場合(1対0.725)とその時は出たsin cos tanを使ってその比を円周率の比がどんな正方形であっても対応できるようにさせる問題

330の問題俺が作ったんだけど
面白い？
面白さ度の点数ちょうだい

受験問題を10とすると>>330は18くらい

(2n-1)!Bₙ
= Σ[k =0,n] ₙCₖ(-1)ᵏ(2n-k-1)!2ᵏ
までは容易(∵包除原理)
積分表示して
(2n-1)!Bₙ
= ∫[0,∞]t²ⁿ⁻¹(1-2/t)ⁿe⁻ᵗdt
= ∫[0,∞]tⁿ⁻¹(t-2)ⁿe⁻ᵗdt
このt:0〜2の部分の寄与→0は容易だからt→t+2として
(2n-1)!Bₙ
= e⁻²∫[0,∞](t+2)ⁿ⁻¹tⁿe⁻ᵗdt
= e⁻²Σ[k=0,n-1]ₙ₋₁Cₖ2ᵏ(2n-1-k)!
第k項は
(2n-2)(2n-4)..(2n-2k)(2n-1-k)!/k!
である
ここで
0 < (2n-1)! - (2n-2)(2n-4)..(2n-2k)(2n-k-1)!
= (2n-1)!( 1 - (2n-2)(2n-4)..(2n-2k)/((2n-1)(2n-2)..(2n-k))
< (2n-1)!( 1 - (2n-2k)ᵏ/(2n-1)ᵏ)
< (2n-1)! k(2n-1)ᵏ⁻¹(2k-1)/(2n-1)ᵏ)
だから
(2n-2)(2n-4)..(2n-2k)(2n-1-k)!/k!
< (2n-1)!/k! - k(2k-1)/(2n-1)ᵏ
よって
Σ(2n-2)(2n-4)..(2n-2k)(2n-1-k)!/k! → e
である
以上により
lim Bₙ = 1/e

ちょい訂正

(2n-1)!/k!
> (2n-2)(2n-4)..(2n-2k)(2n-1-k)!/k!
> (2n-1)!/k! - (2n-1)!/(2n-k)(2k(k-1)+k)/k!
よって
Σ1/k!/e² > Bₙ > Σ1/k!/e² - 1/n×3e/e²
である
以上により
lim Bₙ = 1/e

つまり展開したk項
ₙ₋₁Cₖ(2n-k-1)!2ᵏ
はほぼほぼ(2n-1)!/k!になってる
この誤差項の評価すればでる
多分もっとカッコいいやり方あるんだろうけど思いつかん
困った時の力技

>>341
実はこれ2009の京大文系の問題の改題なんだよね
もともとは9の倍数である事を示せだった

過去問やってたらあれこれ504で割り切れるじゃんって気づいた

逆に

係数が互いに素な多項式が整数代入で常に504の倍数になるならx^9-x^3を因子に持つ

と言えるか？

これだと全然ダメか

係数を0,±1に限定するか
係数は何も制限せずに(x^9-x^3)f(x)+504g(x)の形を予想するべきか

x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6).

なるほどw

係数を0,±1に限定した場合はどうなるんだろう？

Z[x]のイデアルがある範囲の係数の元を持つかってのは偶然性が強すぎて(良くない意味で)難しい問題なのかな
生成元の個数とかを考えるべきか

x^9=x^4323(mod.x^9-x^3).
21x^8=x^8+x^14+x^20+...+x^128(mod.x^9-x^3).
175x^7=x^7+x^13+x^19+...+x^1051(mod.x^9-x^3).
735x^6=x^6+x^12+x^18+...+x^4410(mod.x^9-x^3).
1624x^5=x^5+x^11+x^17+...+x^9743(mod.x^9-x^3).
1764x^4=x^4+x^10+x^16+...+x^10582(mod.x^9-x^3).
720x^3=x^3+x^9+x^15+...+x^4317(mod.x^9-x^3).

x^3(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)
=x^4323+(x^8+x^14+x^20+...+x^128)+(x^7+x^13+x^19+...+x^1051)
+(x^6+x^12+x^18+...+x^4410)+(x^5+x^11+x^17+...+x^9743)
+(x^4+x^10+x^16+...+x^10582)+(x^3+x^9+x^15+...+x^4317)(mod.x^9-x^3).

なるほど、この問題の場合は次数を6ずつ上げて無理矢理ばらけさせれるのか

こういうイデアルの生成元とかって研究されてるんかな

f(x)/504=a(0)1/0!+a(1)x/1!+a(2)x(x+1)/2!+a(3)x(x+1)(x+2)/3!+a(4)x(x+1)(x+2)(x+3)/4!+....

こういうのは小さい数字から調べるのが良い気がする

I_n := { f∈Z[x] : 全ての整数xについてf(x)∈(n) } とおくと
I_0 = {0}
I_1 = Z[x]
I_2 = (2, x^2-x)
I_3 = (3, x^3-x)
I_4 = (4, 2(x^2-x), x^4-x^2)
I_6 = (6, 3(x^2-x), x^3-x)

当たり前やん
メンバーシッププロブレム
もう解決済み

>>353-355
面倒だけど帰納的に求めていく方法があるってことなんでしょうか？

f(x)
=a(0)504
+a(1)504x
+a(2)252x(x+1)
+a(3)84x(x+1)(x+2)
+a(4)21x(x+1)(x+2)(x+3)
+a(5)(21/5)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
+a(6)(7/10)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)
+a(7)(1/10)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)
+...
=b(0)504
+b(1)504x
+b(2)252x(x+1)
+b(3)84x(x+1)(x+2)
+b(4)21x(x+1)(x+2)(x+3)
+b(5)21x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
+b(6)7x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)
+b(7)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)
+....

(x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6),7x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5),21x(x+1)(x+2)(x+3),84x(x+1)(x+2),252x(x+1),504).

f(x)
=c(0)
+c(1)x
+c(2)x(x+1)
+c(3)x(x+1)(x+2)
+c(4)x(x+1)(x+2)(x+3)
+c(5)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
+c(6)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)
+c(7)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)
+....

f(0)=c(0).
c(0)=504d(0).
f(-1)=c(0)+c(1)(-1).
c(1)=504d(1).
f(-2)=c(0)+c(1)(-2)+c(2)2.
c(2)=252d(2).
f(-3)=...+c(3)(-6).
c(3)=84d(3).
f(-4)=...+c(4)24.
c(4)=21d(4).
f(-5)=...+c(5)(-120).
c(5)=21d(5).
f(-6)=...+c(6)720.
c(6)=7d(6).
f(-7)=...+c(7)(-5040).
c(7)=d(7).
...

f(x)
=d(0)504
+d(1)504x
+d(2)252x(x+1)
+d(3)84x(x+1)(x+2)
+d(4)21x(x+1)(x+2)(x+3)
+d(5)21x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
+d(6)7x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)
+d(7)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)
+....

>>356
そう、というかよく考えたらこの問題メンバーシッププロブレムにすらなってないわ
一般に

f(x)が全ての整数xで整数値をとる多項式
⇔ f(x)はC[ x,k ]の形の多項式のZ係数の線形結合

は受験数学でもお馴染みの話
なので

f(x)/504 = C[ x,k ]の形の多項式のZ係数の線形結合
⇔f(x) = 504C[ x,k ]の形の多項式のZ係数の線形結合

とかける事が必要十分だから504C[x,k]の全体がℤ係数ではるℤ[x]の部分空間を決定する問題でしかない

訂正
ℤ[x]→ℤ/504ℤへのkernel

補題　任意の整数xに対して n | pₙ(x)
(∵) 任意の加法付値vに対してv(x)>0のとき
v( pₙ(x) ) ≧ Ψ(n) ≧ v(n)
v(n) = 0のときはℤ/nℤにおいてxの類は可逆元でその位数はφ(n)の倍数だからx^φ(n) ≡ 1 ( mod n )
∴ n | pₙ(x)
∴ v( pₙ(x) ) ≧ v(n)
いずれかの場合でも v( pₙ(x) ) ≧ v(n)でこれが任意の加法付値vについて成立するからn | pₙ(x)□

εₖ : ℤ/nℤ[x] → ℤ/nℤをf(x)→f(k) (i.e. kを代入する準同型)とし、ε : ℤ/nℤ[x] → ℤ/nℤ^nをε₀〜εₙ₋₁までの直積とする
補題によりεはℤ/nℤ[x] →ℤ/<nℤ[x] ,pₙ(x)>を通過する
ここで環ℤ/<nℤ[x] ,pₙ(x)>は有限環であり誘導される写像ℤ/<nℤ[x] ,pₙ(x)>→ℤ/nℤ^nの核を決定するアルゴリズムが存在するのは明らか(全数テストすればいい)
結局εの核はこの誘導された準同型の核の代表元とpₙ(x)で生成される

>>357-359
ありがとうございます
Q係数で考えればC[x,k]の線形和で書けて、そこから504倍した形をZ係数に入るように順次整理していくわけですね

Iₚ = < xᵖ-x, p >としてn = Πp^eₚとおくとき

ker εₙ ⊃ Π Iₚ^eₚ

は言えるけど逆は無理だしそんなキレイな表示はなさそう
計算するアルゴリズムはあるくらいで満足すべき問題かな

n/gcd(n,k!).

x^(2^n)-x^(2^(n-1))+1は既約であることを示せ

x^1024+x^512+1を因数分解せよ

それどっかのyoutuberが「係数体指定しなきゃ問題にならん」と突っ込んでたな

C係数ならガウスさんに喧嘩売ってるし

係数は体じゃなくてもいいんだよ

係数体がℚなら
x^1024+x^512+1
＝(x^512-x^256+1)(x^256-x^128+1)(x^64-x^32+1)(x^32-x^16+1)(x^16-x^8+1)(x^8-x^4+1)(x^4-x^2+1)(x^2-x+1)(x²+x+1)
やな

既約性がムズそう

Cで分解できるのが明らかならわざわざ自明な解答の問題出すなんて想定することないでしょうに
意地悪な人たちだなあ

この板は拗らした人が多いから
あんま気になさらずに

一般にφₘ(x)を円分多項式としてmの素因子pをとるとき
φ_pⁿm(x) = φₘ(x^(pⁿ))
証明はζ=exp(2πi/m)とするとき[ℚ(ζ):ℚ] = φ(m) (このφはEuler tautient)からすぐ

一番意地悪なのはわざと係数の範囲を伏せて出題する人

拗らしてんなぁ

x^4-x^2+1=(x^2+1)^2.

x⁴+x²+1 = (x²+x+1)(x²-x+1) は可約
x⁴-x²+1 はℚ上規約

(1) ∫[0,∞] 2/(x + eᵡ)dx = -2Σ[n≧1] (-1/n)ⁿn!/n を示せ
(2) | Σ[n≧N] (-1/n)ⁿn!/n | = O(exp(-N))を示せ( Stiring 可 )

f(x,y)=((x-1/2)^2+(y-3/2)^2)/2+xy-1/4とする

fがN×NからNへの全単射になることを示せ

サイコロを5個投げて、出た目の和が13以上になる確率を求めよ。

4,5,6の3つの目がすべて出るまでサイコロを投げ続けるとき、サイコロを投げる回数の期待値を求めよ。