>>143　>>145
m+2n=4k　 　→　(m,n)=(4k,0),(4k-2,1),...,(0,2k)の2k+1通り
m+2n=4k+1　→　(m,n)=(4k+1,0),(4k-1,1),...,(1,2k)の2k+1通り
m+2n=4k+2　→　(m,n)=(4k+2,0),(4k,1),...,(0,2k+1)の2k+2通り
m+2n=4k+3　→　(m,n)=(4k+3,0),(4k+1,1),...,(1,2k+1)の2k+2通り

m+2n=4k,4k+1　の時は、 分子が+1になるのはk+1通り、-1になるのはk通りで、差し引き+1が1通り
m+2n=4k+2,4k+3　の時は、 分子が+1になるのはk+1通り、-1になるのもk+1通りで、差し引き0

∴　Σ_(m=0,∞) Σ_(n=0,∞) (-1)^n/(m+2n)!　=　Σ[k=0,∞]{1/(4k)! + 1/(4k+1)!}
= (1/2){cos(1)+cosh(1)} + (1/2){sin(1)+sinh(1)}　；※
= (1/2){cos(1)+sin(1)+exp(1)}

※
jが整数の時、1+(-1)^(2j)=2、1+(-1)^(2j+1)=0　に注意すると
Σ[k=0,∞]1/(4k)!=(1/2)Σ[j=0,∞]{(1+(-1)^(2j))/(2(2j))!+(1+(-1)^(2j+1))/(2(2j+1))!}=(1/2)Σ[p=0,∞](1^p+(-1)^p)/(2p)!
Σ[p=0,∞]1/(2p)!=(1/2)Σ[q=0,∞]{(1+(-1)^(2q))/(2q)!+(1+(-1)^(2q+1))/(2q+1)!}=(1/2)Σ[r=0,∞](1+(-1)^r)/r!=(1/2)(e^1+e^(-1))　等