面白い数学の問題おしえて～な 42問目

面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
質問スレではありません
出題者が答えを知らない問題はお控えください
統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です
荒らし、煽りはスルー推奨

前スレ
面白い数学の問題おしえて～な 41問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1652369753/

過去ログ(1-16問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/

まとめwiki
http://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/

>>148
さすがイナさん

>>152
任意のx,yにおいて二重級数が絶対収束するので((m+n)!≧m!n!であることに注意)
Σ_(m=0,∞) Σ_(n=0,∞) x^m y^n /(m+n)!
= Σ_(k=0,∞) Σ_(n=0,k) x^(k-n) y^n / k!
で入れ替えOK

>>149 の解答でも同じ入れ替えをしているけど...あえて質問するのはなぜ？

>>154
思いついたから

1種類の数字と1種類の記号を合計13個使って13を表せ

777777÷777÷77

gj

前>>148
>>89
最初の10個の和は(1+10)10/2=55
最後の10個の和は90×10+55=955
∴下二桁が同じになっておもしろい。

前>>159

>>89
何が面白いのかがよくわからんなぁ。

+++++11++1++1.
11--1--1--1-1.

>>89
何気におかしいのが、最後の行で「例えば」って言ってること
例えではねえだろ

>>89はchatGPTが出力した問題(のはず)だから、ツッコミを入れるだけ野暮。
あたかも人間が書いてるように感じられるところまでは来てるから、
数学バージョンの不気味の谷というか、
内容が中途半端に支離滅裂なのがイラッとするのは分かる。

>>139もイラッとする典型例で、文章の流れは自然なのに、
推論の内容は盛大に間違っていて、トンデモのたぐいが
やりがちな間違え方に似ている。

逆に考えると、トンデモの知能はchatGPTレベルでしかないんだろうな。

そもそも「面白い」という感覚自体がAIには分からんのだろ
下二桁が同じだとか、数が近い値になるとか、そういう具体的なことでしか面白いという感覚を定義できない

√(√(√5 - 2) + 1) の三重根号を外し二重根号の和で表せ

https://www.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%9A%28%E2%88%9A%28%E2%88%9A5+-+2%29+%2B+1%29+%2B+%E2%88%9A%28-%E2%88%9A%28%E2%88%9A5++-2%29+%2B+1%29&lang=ja

https://www.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%9A%28%E2%88%9A%28%E2%88%9A5+-+2%29+%2B+1%29+%2B-%E2%88%9A%28-%E2%88%9A%28%E2%88%9A5++-2%29+%2B+1%29&lang=ja

>>167
正解

ポイントは
x = √(√(√5 - 2) + 1)
の代数方程式 (x^2 - 1)^2 = √5 - 2 の共役根
y = √(-√(√5 - 2) + 1)
が見つけられるかどうかです

以下
x^2 + y^2 = 2
2xy = 2√(3 - √5) = √10 - √2
ゆえに
(x+y)^2 = 2 + √10 - √2
(x-y)^2 = 2 - √10 + √2
x = (1/2)√(2 + √10 - √2) + (1/2)√(2 - √10 + √2)

ネタ元は Modular lambda function λ^*(5)
に対応する Ramanujan's class invariant g_5 の一見非自明と思われる等式
g_5 = (1/2)^(1/4) √√√(2√(2√5 + 2) + √5 + 3)
= (1/2)^(1/4) √√(√(√5 + 1) + √2)
= ((√5 + 1)/4)^(3/8) √(√(√5 - 2) + 1)
= ((√5 + 1)/16)^(3/8) (√(√2 + √5 - 1) + √(√2 - √5 + 1))

∀x∈(0,1), f(x)=(1-x^n)^(1/n) (n=2,3,…)
lim[n→∞]{∫[0→1]f(x)dx}^n=1を示せ

∫[0,1](1-xⁿ)^(1/n)dx
=(1/n)∫[0,1](1-t)^(1/n)t^(1/n-1)dt
=(1/n)B(1/n+1,1/n)
=(1/n)Γ(1/n+1)Γ(1/n)/Γ(2/n+1)
=Γ(1/n)²/Γ(2/n)/(2n)
=(n - γ + O(1/n))²/(n/2 - γ + O(1/n))/(2n)
=(1 - γ/n + O(1/n²))²/(1 - 2γ/n + O(1/n²))
= 1 + O(1/n²)

カントール集合に含まれる線分の端点を任意に2つ選ぶとき、2点間の距離の平均値はいくつに収束するか？

2/5.

早いな

ひっかけ問題らしい
https://pbs.twimg.com/media/FqX_Is7acAElkN-.jpg

二つの30度の角を見ると錯角になってるので平行だと分かるので錯角により44度

それだと不正解だそうです

不可能図形なんやろ

https://www.wolframalpha.com/input?i=sin%2874%C2%B0%29%C3%97sin%2844%C2%B0%29%C3%97sin%2816%C2%B0%29%C3%97sin%2844%C2%B0%29-sin%2830%C2%B0%29%C3%97sin%2890%C2%B0%29%C3%97sin%2830%C2%B0%29%C3%97sin%2832%C2%B0%29&lang=ja

あることに気がつくと可能図形になるようです

46°
一つ折れ線が入る

先にTwitterで見てたけどいい問題だよね
状況が二転三転する感じが

図形問題の抜け穴をちゃんと筋の通った問題として形にするの凄いと思った

>>176
どうして？

>>182
それだと提示されてる他の角度との整合性がとれないからだと思います

>>178
分からん

>>182
画像をよく見ると対角線が微妙に折れ曲がっている

>>185
どこが曲がってるかは分かるのだが
角度が出せない

>>186
三角関数使えば46°になることはすぐにわかる

>>187
どうやって？
なんとか
sin30sin32sin30/sin16sin74sin44=sinx/sin(134-x)
の解ということは分かったが

>>188
あとは計算するだけ
計算が面倒な時は
https://www.wolframalpha.com/input?i=sin%2830%C2%B0%29sin%2832%C2%B0%29sin%2830%C2%B0%29%2F%28sin%2816%C2%B0%29sin%2874%C2%B0%29sin%2844%C2%B0%29%29-sin%2846%C2%B0%29%2Fsin%28134%C2%B0-46%C2%B0%29+&lang=ja

>>189
そんなの使っちゃアカンやろ
使わんと計算でキルンや無い？

>>190
倍角公式:sin16sin74=sin16cos16=(1/2)sin32
加法定理:sin(134-x)=cos44cosx+sin44sinx
を代入すれば手計算で一瞬で解けるけど
もしかして計算が苦手なのかなと思いURLを貼りました
気を悪くしたならすみません

円周角の定理だな

>>191
ありがとう

面白いかは分からないけど
https://i.imgur.com/dsk3lNI.jpg

>>194
n=2のとき成り立たないと思うけど問題あってる?

前>>160
>>174
錯角は等しいから30+16=46
x=76+16-46=46
∴46°

>>195
あ、まじ？
どっかでミスったか
ちょっと計算し直してくる

>>196
>x=76+16-46=46
これはどういう計算？

正三角形を全て大きさの異なる複数の正三角形に分割することは可能か

無限個なら可能

>>200
正方形に対する同様の問題が
有限個で解けることをご存じ？

前>>196
>>194
台形の内部にある右下の角は、
対角線に見える右上がりの線が直線なら74°だけど、
折れ線なので75°かな？
と思ったけど、おそらく76°
台形の右側の斜辺を上にのばした外角について、
同位角は等しいから76°+16°=92°
46°を引いてx=92°-46°=46°

前>>202訂正。
>>194
台形の内部にある右下の角は、
対角線に見える右上がりの線が直線なら74°だけど、
折れ線なので75°かな？
と思ったけど、おそらく76°
台形の右側の斜辺を上にのばした外角について、
同位角は等しいから30°+16°=46°
76°と16°を内角に持つ三角形の外角は、
76°+16°=92°
46°を引いてx=92°-46°=46°

>>201
前あったな
誰の定理だっけ？

>>201
ルジンのやつでしょ
正三角形は有限個じゃ無理だと思うが

出すからには可能なんじゃないの？

間違いがあったので修正しました。
不等式を示せっていう問題です。
https://i.imgur.com/A095hQU.jpg

>>206
可能なら分割せよって出題すると思う

>>203
>台形の内部にある右下の角
右下？

>>203
>おそらく76°
思っただけ？理由は無いということ？

なんなら無限個でも無理臭いなこれ
プラスチック比で螺旋状に並べて端の2つをまた螺旋状に分割…というのを最初に思いついたんだが普通に同じ大きさのができてしまう

>>207
何か凸曲線の積分値の問題に帰着されそうな気配も

>>208
できる方か、できない方がわかんないと流石にやる気しないね

>>213
不可能らしい
https://carlo-hamalainen.net/stuff/Tutte%20-%20The%20dissection%20of%20equilateral%20triangles%20into%20equilateral%20triangles%20(1948).pdf

こんなのも見つけたけど
https://arxiv.org/abs/1412.5431

証明合ってるのかな

あら、証明されてたのか
有限個の文言も書き忘れてたし >>199 はクローズとします
用意してた解答の概略だけ（と言っても結構細かくまで書いちゃった）

そのような分割が存在すると仮定して、
分割前の大きい正三角形をなす３つの壁と分割後の小さい正三角形各々を合わせてV、
辺で正の長さで接している関係をEとして無向グラフ G=(V,E) を考える。
２つの正三角形（もしくは正三角形と壁）が接している部分の角度が
(2,0),(-1,√3),(-1,-√3)のどのベクトルと平行かによってEの要素をそれぞれ0,1,2とラベリングする。
ラベルiの辺全体の集合をE_iとおく。
Gは次を満たす：
(1)Gは平面グラフである
(2)Gの有限面は4つまたは6つの辺からなり、無限面は6つの辺からなる
(3)３つの壁に対応する頂点を除くGの各頂点には、0,1,2のラベルが付加された辺が1つずつ以上接続されている
(4)G_i=(V,E_i)は閉路を持たない（つまり森である）

Gにいつくかの辺（とそれへの適切なラベル）を加えることで、上記の全ての条件を満たしたまま
有限面が全て4つの辺からなるようにできる。このようにしたグラフをG'=(V,E')とおく。
するとオイラーの公式から面の数は |E'|-|V|+2.
またG'の性質より 4×(面の数)+2=2|E'| であるから、総合して |E'|=2|V|-5 を得る。…(A)

各ラベルiについて、(4)より G'_i=(V,E'_i) の連結成分の個数は |V|-|E'_i|.
ここで |E'_i|=∑_(cはG'_iの連結成分) (cに含まれる辺の個数) であるが、
(3)と仮定よりラベルiの辺が付加されない２つの壁に対応する頂点を除いてcに含まれる辺の個数は2以上であるから
|E'_i|≧(G'_iの連結成分の個数-2)×2=2|V|-2|E'_i|-4.
これをi=0,1,2で足し合わせて整理して
|E'|≧2|V|-4. …(B)
(A)と(B)から矛盾。

さすがイナさん

>>216
これは上手い証明だね
AとBの不等式に矛盾をギリギリ集約させたのテクすぎるわ

>>218
ありがとう
ところで可算無限個でも存在するかどうかについては盲点だったな…
気が向いたら考えてみようかしら

無限個はこれでできてるのかなあ
ちゃんと計算してないからダブりがあるような気も

tps/i.im
gur.com/GFfgtJM

10回くらい試してようやくURLを貼れた
弾かれ過ぎ

>>220
https://i.imgur.com/eLq3KkC.jpg

これはどういうシステム？
3ヶ所の収束パターンが相似だけど無理数比になってるとか？

あーーわかった、こういうことかな
等脚台形の大部分を正三角形で埋めて、残った部分をまた相似な等脚台形にする感じか
（相似比とか長さはまだ計算できてないけど）
https://i.imgur.com/o4ZvrZB.jpg

そんなイメージ
台形の取り方で3通りできる

二重根号が面倒過ぎて計算してないから実際のところどうなるやら…

3通りじゃなかった
他2通りは解がないからこの方法なら>>222のパターンだけた

左下の正三角形の一辺の長さを1としたとき、正三角形それぞれの一辺の長さは
1/a+b,(1/a)^m*c^n,(1/a+b)^n

m,nは非不整数
a,b,cは以下の式を満たす正の実数
a^3-a-1=0
ab^2+a^3*b+1=0
c=ab+(b^2)/a

具体的な数値は
wolframalpha.
com/input?i=a%5E3-a-1%3D0%2Cab%5E2%2Ba%5E3*b-1%3D0%2Cc%3Dab%2Bb%5E2%2Fa
(例によってURLうまく貼れず)

間違った

辺の長さは
1/a+b,(1/a)^m*(c/(a^2+b))^n,(1/a+b)*(c/(a^2+b))^n
これでオッケーなはず

すまん
まず式が間違ってた上にもっと簡略化できた
一旦前2レスは無視して

左下の正三角形の一辺を1とすると、各正三角形の一辺は
1/a^3+b,1/a^m*(b/a)^n,(1/a^2+b)*(b/a)^n

ただしm,nは非不整数
a,bは以下を満たす
a^3-a-1=0
ab^2+a^3*b-1=0

今度こそ合ってる…はず

>>207
やっぱこれクソ問すぎたか…orz

>>230
厳しい意見かもしれないが左辺が
Σ[k=0,n] {n/(n+k)}(-1)^k C[n,k]
= n∫[0,1] (1-t)^n t^(n-1) dt
= nΒ(n+1,n)
= nΓ(n+1)Γ(n)/Γ(2n+1)
= 1/C[2n,n]
と簡単な等式で書けてしまうこととスターリングの公式(不等式版含む)よりも
不等式が複雑で評価も甘いと感じて解くのを諦めた

正三角形を大きさが互いに異なる相似図形に分割することを考える
最少何片で可能か

>>232
図のように正三角形を更に小さな正三角形に分割した時の
奇数番目の和集合と偶数番目の和集合に分ければ、相似比が2:1の相似な図形による分割になる
https://i.imgur.com/LWQZqX6.jpg

任意の実数xで連続な関数f(x)がx=f(f(x))=-f(-f(x))を満たすならばf(x)=xまたはf(x)=-xであることを示せ

前>>203
>>232
なるべく大きな正三角形を端からとっていったとしても、
隙間だらけになり、
いまだ分割すべき領域が複雑な形を呈するばかりで、
いったいいつまで分割すればすべて分割できるか、
見通しが立たない。
一つ正三角形を切り出したところで、
残る領域はさらに複雑な形となり、
永遠に異なる大きさの正三角形に分割しつづける。
∴すべての正三角形をたがえることはできない。

>>232
三角定規の形に分けて3つ
二分割はできなさそうだが

正方形や正三角形の他にも
互いに大きさの異なる相似図形に分割できるような
多角形をリストアップしておくとよいと思われる

黄金長方形や白銀長方形のようなものも含めて

>>234
fが条件を満たすなら-fも満たすので、fは単調増加としてよい。
f(x) > x なる x があったとすると単調性からf(f(x)) > f(x) > xとなり矛盾。
同様にf(x) < x としても矛盾。よって全ての実数xに対してf(x) = x.

>>236
>二分割はできなさそうだが
>>233
これAにその相似なBを内部に想定して
何だっけあの濃度が同じになる証明のやり方
あれみたくできるんじゃないかしら
拡大縮小の中心点がないといけないから無理かな？

>>239
-xも満たしますよ

その場合は-f(x) = xなので抜けなし

>>240
たとえば半径1の円の半径を直径にする半径1／2の円を考えて
その又半径を直径にする半径1／4の円を考えてって続けていくみたいな

>>242
あ、そういうことですかなるほど

最初の2円が1点でしか接してないから
できる図形も切り紙細工みたいな点でしか繋がってないヤツになっちゃうけど

>>236
境界での重複は許すってことなら >>233 でいい
許さないならそもそもできるのかな？

前>>235
>>210
思っただけじゃなく、正解を、いや正解になりうる答えをみつけたんだ。あくまで思った時点では75°
答えは76°
あってるかどうかは、わからないけどたぶんあってる。左上が二等辺三角形なら確実、だったような。

>>247
それじゃ正解じゃ無いしｗ

4^4^4^4^4^4^4^4^m(m∈ℕ)を47で割った余を求めよ

>>249
42m (mod 47)

>>250
これは間違い

^の優先順位は
右？左？