vを3進付値とするときn≧2に対してv(2^(3^n)-1) = n+1である
実際n=2の時は2^(3^2)-1 = 513 = 3³×19により成立
n=kで成立するとしてn=k+1の時は
2^(3^(k+1))-1
= ( 2^(3^k)-1 )( (2^(3^k))² + 2^(3^k) + 1 )
であるが仮定により2^(3^k)≡1 ( mod 9 )により
( (2^(3^k))² + 2^(3^k) + 1 )≡3 ( mod 9 )
となりv( 2^(3^k))² + 2^(3^k) + 1 ) = 1である
さらに帰納法の仮定よりv( 2^(3^k) -1 ) = k+1であるからn=k+1のときも成立する
特にv(2^(3^n)² + 2^(3^n) + 1) = 1と2^(3^n)² + 2^(3^n) + 1>3により^(3^n)² + 2^(3^n) + 1は3以外の素因子pを持つ
このときpは 2^(3^n) - 1の素因子ではない
何故ならば互除法により
( 2^(3^n) - 1, 2^(3^n)² + 2^(3^n) + 1 )
= ( 2^(3^n) - 1, 3 ) = 3
により2^(3^n) - 1と2^(3^n)² + 2^(3^n) + 1 は3以外の共通素因子を持ち得ない
以上により2^(3^(n+1))-1の素因子の数は2^(3^n)-1のそれより少なくとも大きくなる
∴2^(3^n)-1は少なくともn個の素因子を持つ