面白い数学の問題おしえて～な 42問目

[定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である

[証明]
k,xは自然数，kx≠0とする

x^3-(x+k)^2=2

を成立させる唯一の方法は、
原始ピタゴラス数の性質により、

(k+x)^2=x^2+{2(x^2-1)}

となる場合のみである
この時、x^3=3x^2 が成立する

x^3=x(x^2)なので、
∴x=3

x^3-(x+k)^2=2 から
∴k=2