>>66
問題. 小数(帯小数) 1.002004008016032064128256を256乗した数が、√3よりも小さいことを証明せよ
但し、計算機禁止

証明開始
a=1.002004008016032064128256
S=1.002004008016032064128256…
a<S
小数aの代わりに総和Sを用いる
S=(2/1000)^0+(2/1000)^1+(2/1000)^2+…
=1/(1-(2/1000))=1000/998

分子を揃えて比較したいので、1000/998の分子と分母を1000で割り、比較する両方の数の分子を1で揃える
((1000/1000)/(998/1000))
=(1/0.998)=(1/(1-0.002))
√3と1/(1-0.002)を2乗する
(√3)^2=3
1/(1/3)=1/0.333……[1]
(1/(1-0.002))^2=(1/(1-0.004+0.000004))=1/0.996004

(1/0.996004)^256
256=2^8
計算機禁止により、二項定理を使用せずに小数点第四位以下切り捨てて計算する
0.996004≒0.996=1-0.004
(1/(1-0.004))^256
=(1/(1-0.004))^2^8
分母だけを8回2乗する
分母=(1-0.004)^2=1-0.008+0.000016≒1-0.008
同様に
(1-0.008)^2≒1-0.016
(1-0.016)^2≒1-0.032
…
(1-0.256)^2≒1-0.512=0.488
(1/(1-0.004))^256≒1/0.488…[2]

[1],[2]より
1/0.488<1/0.333…
よって、小数 1.002004008016032064128256を256乗した数は√3よりも小さい
証明終了