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つづき

例 9.12 (0, 1] と (0, 1] × (0, 1] の濃度は等しい. f : (0, 1] ?→ (0, 1] × (0, 1] を
f(x) = (x, 1/2) で定義すれば, これは明らかに単射である. 逆向きの単射を構
成しよう. 第 8.2 節で議論した実数の無限小数表示を思い出すと, x, y ∈ (0, 1]
に対して, (ξ1, ξ2, . . .),(η1, η2, . . .) ∈ ? が一意的に定まって,
x = 0.ξ1ξ2 ・ ・ ・ , y = 0.η1η2 ・ ・ ・
と書ける (補題 8.5).

これを用いて, 写像 g : (0, 1] × (0, 1] ?→ (0, 1] を
g(x, y) = 0.ξ1η1ξ2η2 ・ ・ ・ (9.5)
で定義する. 右辺に対応する (ξ1, η1, ξ2, η2, . . .) は確かに ? の元であるから,
g(x, y) ∈ (0, 1] となる. さらに, (9.5) の右辺から x, y を一意的に再現できるの
で, g は単射である.
2) 双方向の単射が構成できたので, カントル-ベルンシュタ
インの比較定理 9.9 を適用して |(0, 1]| = |(0, 1] × (0, 1]| がわかる.
第 7.1 節で議論したように, |(0, 1]| = |R| は既知である. したがって,
|(0, 1] × (0, 1]| = |R × R|
が得られる (補題 7.16). 一方, 例 9.12 で示したように,
|(0, 1]| = |(0, 1] × (0, 1]|
であるから,
|R| = |R × R| (9.6)
がわかる.

つづく