n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3を、X^3+Y^3=(Y+m)^3…(1)とおく。
(1)をx^3+y^3=(y+1)^3…(2)とおく。x,yは有理数。
(2)を{(x^3-1)/3}^(1/2)={y(y+1)}^(1/2)…(3)と変形する。
(3)が整数解を持つならば、有理解も、持つ。
(3)のxに任意の整数を代入する。その左辺の整数部をyに代入する。
右辺は、yの増加につれて、y+0.4999999…に近づく。
左辺は、xの増加につれて、y+0.4999999…に近づかない。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
例
x=6940245…{(6940245^3-1)/3}^(1/2)
=10556053326.5000009365（左辺）
10556053326をyに代入…(10556053326*10556053327)^(1/2)
=10556053326.499999999988158（右辺）